Un ejercicio de demostración sobre logaritmos

Se nos pide que, siendo $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{b}{a}$ y $k$ números reales positivos, demostremos que $$\log_k\,\left(\dfrac{a}{b}\right)+\log_k\,\left(\dfrac{b}{a}\right)=0$$

Demostrémoslo:
  $\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{b}{a})=$
    $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{1}{\frac{a}{b}})$
      $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(1) - \log_k\,(\frac{a}{b})$
        $=\log_k\,(\frac{a}{b})+0- \log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=\log_k\,(\frac{a}{b})-\log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=0$

$\diamond$