Enunciado:
Calcular: a) el volumen, y b) el área lateral de un cono, cuya generatriz mide $10\,\text{dm}$ y que tiene una base de $6\,\text{dm}$ de radio.
Resolución:
Denotando por: $V$, el volumen del cono; $r$, el radio de la base; $h$, la altura; $g$, la generatriz, y $A_{lat}$, el área lateral:
a) $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h \underset{(1)}{=}\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 6^2\cdot \sqrt{10^2-6^2}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 302 \, \text{dm}^3$
(1) por el Teorema de Pitágoras
b)
$A_{lat}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\,\pi \, \text{dm}^2 \approx 188 \, \text{dm}^2$
$\square$
lunes, 28 de abril de 2014
Calcular el volumen de un cubo cuya diagonal mide $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\text{m}$.
Enunciado:
Calcular el volumen de un cubo cuya diagonal mide $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\text{m}$.
Resolución:
Designemos por: $V$ el volumen del cubo; $d$, la diagonal del cubo; $x$, la diagonal de una cara del cubo; $a$, la arista del cubo. Entonces, siendo $d=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, podemos escribir $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \underset{(1)}{=} \sqrt{x^2+a^2} \underset{(2)}{=} \sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3\,a^2}=\sqrt{3}\,a$, luego $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$, por tanto $V=\big(\dfrac{1}{3}\big)^3=\dfrac{1}{27}\,\text{m}^3$ .
(1): Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo interior al cubo que se forma con la diagonal de la cara de la base y uno de las arista ( vertical ) del cubo
(2): Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal, $x$, en la cara ( cuadrado ) de la base sobre la que se eleva el triángulo rectángulo descrito en (1).
$\square$
Calcular el volumen de un cubo cuya diagonal mide $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\text{m}$.
Resolución:
Designemos por: $V$ el volumen del cubo; $d$, la diagonal del cubo; $x$, la diagonal de una cara del cubo; $a$, la arista del cubo. Entonces, siendo $d=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, podemos escribir $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \underset{(1)}{=} \sqrt{x^2+a^2} \underset{(2)}{=} \sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3\,a^2}=\sqrt{3}\,a$, luego $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$, por tanto $V=\big(\dfrac{1}{3}\big)^3=\dfrac{1}{27}\,\text{m}^3$ .
(1): Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo interior al cubo que se forma con la diagonal de la cara de la base y uno de las arista ( vertical ) del cubo
(2): Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal, $x$, en la cara ( cuadrado ) de la base sobre la que se eleva el triángulo rectángulo descrito en (1).
$\square$
Determinar el dominio de definición de la función $f(x)=|\sqrt{x-2}|$
Enunciado:
Determinar el dominio de definición de la función $f(x)=|\sqrt{x-2}|$
Resolución:
La condición para que un número real, $x$, tenga imagen es, en este caso, $x-2 \ge 0$, luego $x \ge 2$, luego $D_{f}=[2\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}
$\square$
Determinar el dominio de definición de la función $f(x)=|\sqrt{x-2}|$
Resolución:
La condición para que un número real, $x$, tenga imagen es, en este caso, $x-2 \ge 0$, luego $x \ge 2$, luego $D_{f}=[2\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}
$\square$
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$$ Se pide: a) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de ordenadas b) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de abscisas
Enunciado:
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$$ Se pide:
a) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de ordenadas
b) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de abscisas
Resolución:
(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de ordenadas, que denotamos aquí por $A$, tiene abscisa igual a cero, esto es $x=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $y$, o sea la imagen del cero, sustituimos en la ecuación y despejamos:
$\dfrac{0-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$
$y-3=-\dfrac{3}{2}$
$y=-\dfrac{3}{2}+3$
$y=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{6}{2}=\dfrac{3}{2}$
Así, pues, las coordenadas de $A$ son $\big(0\,,\,\dfrac{3}{2}\big)$
(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de abscisas, que denotamos aquí por $B$, tiene ordenada igual a cero, esto es $y=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $x$, llamado raiz de dicha función lineal afín, sustituimos en la ecuación y despejamos:
$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{0-3}{3}$
$x-1=-1 \cdot 2 $
$x=-2+1=-1$
Así, pues, las coordenadas de $B$ son $\big(-1\,,\,0\big)$
$\square$
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$$ Se pide:
a) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de ordenadas
b) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de abscisas
Resolución:
(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de ordenadas, que denotamos aquí por $A$, tiene abscisa igual a cero, esto es $x=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $y$, o sea la imagen del cero, sustituimos en la ecuación y despejamos:
$\dfrac{0-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$
$y-3=-\dfrac{3}{2}$
$y=-\dfrac{3}{2}+3$
$y=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{6}{2}=\dfrac{3}{2}$
Así, pues, las coordenadas de $A$ son $\big(0\,,\,\dfrac{3}{2}\big)$
(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de abscisas, que denotamos aquí por $B$, tiene ordenada igual a cero, esto es $y=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $x$, llamado raiz de dicha función lineal afín, sustituimos en la ecuación y despejamos:
$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{0-3}{3}$
$x-1=-1 \cdot 2 $
$x=-2+1=-1$
Así, pues, las coordenadas de $B$ son $\big(-1\,,\,0\big)$
$\square$
Sean los puntos del plano $A(0,1)$ y $B(3,4)$. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.
Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(0,1)$ y $B(3,4)$. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.
Resolución:
Como nos dan dos puntos de la recta, podemos escribir una ecuación en forma continua sin ninguna dificultad:
$$\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$$
es decir
$$\dfrac{x-3}{3-0}=\dfrac{y-4}{4-1}$$
y simplificando
$$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-4}{3}$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-4}{1}$$ ( ecuación en forma continua )
A partir de una ecuación de la recta en forma continua, podemos expresarla en su forma explícita ( $r:\,y=m\,x+k$, donde $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen ); para ello, basta despejar la variable dependiente $y$:
$$y=x-3+4$$
y simplificando
$$y=x+1$$
$\square$
Sean los puntos del plano $A(0,1)$ y $B(3,4)$. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.
Resolución:
Como nos dan dos puntos de la recta, podemos escribir una ecuación en forma continua sin ninguna dificultad:
$$\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$$
es decir
$$\dfrac{x-3}{3-0}=\dfrac{y-4}{4-1}$$
y simplificando
$$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-4}{3}$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-4}{1}$$ ( ecuación en forma continua )
A partir de una ecuación de la recta en forma continua, podemos expresarla en su forma explícita ( $r:\,y=m\,x+k$, donde $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen ); para ello, basta despejar la variable dependiente $y$:
$$y=x-3+4$$
y simplificando
$$y=x+1$$
$\square$
¿ Cuál es el valor de la pendiente de la recta $r$ que pasa por los puntos $O(0,0)$ y $A(-1,-2)$ ?
Enunciado:
¿ Cuál es el valor de la pendiente de la recta $r$ que pasa por los puntos $O(0,0)$ y $A(-1,-2)$ ?.
Resolución:
Sea la recta $r:\,y=m\,x+k$, donde $m$ denota la pendiente y $k$ la ordenada en el origen. Entonces, al ser $O(0,0)$ un punto de $r$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, esto es, $0=m\cdot 0+k$, luego la ordenada en el origen es $k=0$, por lo que la ecuación es $y=m\,x$. Nos queda determinar el valor de $m$, y lo haremos de la siguiente manera: como $A(-1,-2)$ es, también, un punto de $r$, sus coordenadas tienen que verificar la ecuación de $r$, o sea, $-2=m\cdot (-1)$, por tanto, $m=2$. Así, pues, $r:\,y=2\,x$.
$\square$
¿ Cuál es el valor de la pendiente de la recta $r$ que pasa por los puntos $O(0,0)$ y $A(-1,-2)$ ?.
Resolución:
Sea la recta $r:\,y=m\,x+k$, donde $m$ denota la pendiente y $k$ la ordenada en el origen. Entonces, al ser $O(0,0)$ un punto de $r$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, esto es, $0=m\cdot 0+k$, luego la ordenada en el origen es $k=0$, por lo que la ecuación es $y=m\,x$. Nos queda determinar el valor de $m$, y lo haremos de la siguiente manera: como $A(-1,-2)$ es, también, un punto de $r$, sus coordenadas tienen que verificar la ecuación de $r$, o sea, $-2=m\cdot (-1)$, por tanto, $m=2$. Así, pues, $r:\,y=2\,x$.
$\square$
Representar gráficamente la función $f(x)=3^x$. ¿ Qué tipo de función es ?.
Enunciado:
Representar gráficamente la función $f(x)=3^x$. ¿ Qué tipo de función es ?.
Resolución:
La función es de tipo exponencial, y, al ser la base mayor que uno y el coeficiente del exponente positivo ( es $1$ ) es monótona creciente. Necesitamos, además, calcular algunos elementos notables para hacer un esbozo del gráfico como son: a) las raíces ( en este caso no hay, a distancia finita, pues el trazo de la función únicamente toca al eje de abscisas cuando $x \rightarrow -\infty$ ), y, b) la ordenada en el origen, que es $f(0)=3^0=1$, luego el trazo de la función corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,1)$.
$\square$
Representar gráficamente la función $f(x)=3^x$. ¿ Qué tipo de función es ?.
Resolución:
La función es de tipo exponencial, y, al ser la base mayor que uno y el coeficiente del exponente positivo ( es $1$ ) es monótona creciente. Necesitamos, además, calcular algunos elementos notables para hacer un esbozo del gráfico como son: a) las raíces ( en este caso no hay, a distancia finita, pues el trazo de la función únicamente toca al eje de abscisas cuando $x \rightarrow -\infty$ ), y, b) la ordenada en el origen, que es $f(0)=3^0=1$, luego el trazo de la función corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,1)$.
$\square$
Sea el vector $\vec{u}=(1,3)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular: a) la longitud de dicho vector b) el ángulo polar del vector
Enunciado:
Sea el vector $\vec{u}=(1,3)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular:
a) la norma o módulo del vector ( la longitud de dicho vector )
b) el ángulo polar del vector
Resolución:
a)
Denotamos por $\left\|\vec{u}\right\|$ la longitud de dicho vector - al tratar con vectores libres ( equivalentes en dirección, módulo y sentido), se ha representado con origen en el origen de coordenadas -, que calculamos utilizando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que queda configurado entre el extremo del vector, su pie sobre el eje horizontal y el origen de dicho vector ( figura ). Entonces, $\left\|\vec{u}\right\|=|\sqrt{1^2+3^2}|=|\sqrt{10}| \approx 3$
b)
Denotamos por $\alpha$ al ángulo polar del vector ( ángulo de giro en el sentido contrario a las agujas del reloj partiendo del semieje de abscisas positivo yendo a busca la posición del mismo ); por ello, y a partir del triángulo rectángulo al que nos referíamos al calcular la norma o módulo del vector, utilizando la trigonometría elemental podemos escribir $\tan \alpha = \dfrac{3}{1}$, luego $\alpha = \text{arctan}(3) \approx 71^{\circ}\, 34^{'}$
Nota: Observemos que $0^{\circ} \prec \alpha \prec 90^{\circ}$ por estar el afijo del vector ( el extremo ) en el primer cuadrante, con lo cual, en este caso, no hace falta hacer reducciones de cuadrante a partir del resultado que obtenemos directamente de la calculadora.
$\square$
Sea el vector $\vec{u}=(1,3)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular:
a) la norma o módulo del vector ( la longitud de dicho vector )
b) el ángulo polar del vector
Resolución:
a)
Denotamos por $\left\|\vec{u}\right\|$ la longitud de dicho vector - al tratar con vectores libres ( equivalentes en dirección, módulo y sentido), se ha representado con origen en el origen de coordenadas -, que calculamos utilizando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que queda configurado entre el extremo del vector, su pie sobre el eje horizontal y el origen de dicho vector ( figura ). Entonces, $\left\|\vec{u}\right\|=|\sqrt{1^2+3^2}|=|\sqrt{10}| \approx 3$
b)
Denotamos por $\alpha$ al ángulo polar del vector ( ángulo de giro en el sentido contrario a las agujas del reloj partiendo del semieje de abscisas positivo yendo a busca la posición del mismo ); por ello, y a partir del triángulo rectángulo al que nos referíamos al calcular la norma o módulo del vector, utilizando la trigonometría elemental podemos escribir $\tan \alpha = \dfrac{3}{1}$, luego $\alpha = \text{arctan}(3) \approx 71^{\circ}\, 34^{'}$
Nota: Observemos que $0^{\circ} \prec \alpha \prec 90^{\circ}$ por estar el afijo del vector ( el extremo ) en el primer cuadrante, con lo cual, en este caso, no hace falta hacer reducciones de cuadrante a partir del resultado que obtenemos directamente de la calculadora.
$\square$
Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide: a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables
Enunciado:
Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide:
a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas
b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función
c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables
Resolución:
a)
Puntos de corte con el eje de abscisas:
Si la función corta al eje de abscisas, calculando las raíces de la función obtenemos las abscisas de dichos puntos; con lo cual buscamos valores de $x$ tales que $f(x)=0$, es decir, las soluciones de la ecuación $(x-1)^2-3=0$, que es equivalente a $(x-1)^2=3 \Leftrightarrow x-1=\pm |\sqrt{3}| \Leftrightarrow x=1\pm |\sqrt{3}|$, con lo qual obtenemos dos raíces: $x_1=1 - |\sqrt{3}| \approx -0,7$ y $x_2=1+ |\sqrt{3}| \approx 2,7$, por lo que la función corta al eje de abscisas en dos puntos: $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$
Puntos de corte con el eje de ordenadas: Siendo el dominio de definición la recta al completo de los n úmeros reales, hay un sólo punto de corte, de ordenada igual a $f(0)$, pues la abscisa de un punto tal ha de ser cero; entonces, $f(0)=(0-1)^2-3=1-3=-2$, luego dicho punto de corte tiene coordenadas $C(0\,,\,-2)$
b)
Podemos considerar la función dada, que es una función cuadrática ( una parábola ), como el resultado de trasladar el trazo ( se traslada com si se tratase de un alambre rígido ) de otra función cuadrática más sencilla, que es $y=x^2$, y cuyo vértice está en el origen de coordenadas. Caben dos traslaciones: (1) una traslación horizontal en el sentido positivo del eje $Ox$, desde el origen de coordenadas, lo cual nos lleva la parábola original a la posición del plano con el vértice en el punto $(1,0)$, describiéndose dicho trazo de la forma $y=(x-1)^2$. A continuación, y a partir de la posición en la que acabamos de dejar el trazo, debemos hacer otra traslación más; esta vez, de tres unidades en el sentido negativo del eje $Oy$, lo cual nos lleva la parábola obtenida por la primera traslación a la posición del plano tal que su vértice es el punto $V(1\,,\,-3)$. Éste es, pues, el vértice de la parábola descrita por la función $f(x)=(x-1)^2-3$.
Nota: El orden de las traslaciones es irrelevante.
c)
Nota: En lugar de hacer la representación gráfica por traslaciones, que es muy elegante, también podríamos haberla hecho recogiendo todos los elementos notables de la parábola. Así, como sabemos que la recta o eje de simetría ( que toda parábola tiene ) es la mediatriz de los puntos $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$ de corte con el eje de abscisas, basta calcular la abscisa del vértice $V$ haciendo la semisuma de las abscisas de los puntos de corte, luego $x_v=\dfrac{(1- |\sqrt{3}|)+(1+ |\sqrt{3}|)}{2}=1$, y, por tanto, $y_v \underset{def}{=}f(x_v)=f(1)=(1-1)^2-3=0-3=-3$. Recordemos que conocemos también las coordenadas del punto de corte con el eje $Oy$, de todo lo cual, podemos dibujar el mismo trazo que hemos encontrado con las traslaciones.
Conviene comentar, sin embargo, que en caso de no cortar la parábola al eje $Ox$, o sea, si la función no tuviese raíces ( que no es el caso ), ¿ cómo calcularíamos la abscisa $x_V$ del vértice ?. Bien, pues, lo haríamos de una forma parecida, solo que, en ese caso, deberíamos cortar la parábola por cualquier recta paralela al eje de abscisas ( ya que éste no la corta ), obteniendo, así, dos puntos de corte con la misma, $A'$ y $B'$, que, al ser la curva simétrica, y por tanto siendo válida la propiedad de que la recta de simetría pasa por el punto medio del segmento ( paralelo al eje $Ox$ ) formado por dichos dos puntos, haciendo un cálculo sencillo, se obtiene que, si expresamos la función de la forma equivalente $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$, la abscisa del vértice es $x_V=-\dfrac{b}{2a}$
Comprobemoslo con el propio ejercicio: Expresando la función $f(x)=(x-1)^2-3$ de la forma indicada ( forma general ), podemos escribirla así $f(x)=x^2-2x-2$ ( basta con desarrollar la potencia del binomio y agrupar los términos semejantes), de lo cual vemos que: $a=1$, $b=-2$ y $c=-2$. Entonces, aplicando la expresión que permite calcular la abscisa del vértice sin conocer previamente las raíces ( o incluso sin que las haya ), obtenemos $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1$, como debe ser.
$\square$
Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide:
a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas
b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función
c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables
Resolución:
a)
Puntos de corte con el eje de abscisas:
Si la función corta al eje de abscisas, calculando las raíces de la función obtenemos las abscisas de dichos puntos; con lo cual buscamos valores de $x$ tales que $f(x)=0$, es decir, las soluciones de la ecuación $(x-1)^2-3=0$, que es equivalente a $(x-1)^2=3 \Leftrightarrow x-1=\pm |\sqrt{3}| \Leftrightarrow x=1\pm |\sqrt{3}|$, con lo qual obtenemos dos raíces: $x_1=1 - |\sqrt{3}| \approx -0,7$ y $x_2=1+ |\sqrt{3}| \approx 2,7$, por lo que la función corta al eje de abscisas en dos puntos: $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$
Puntos de corte con el eje de ordenadas: Siendo el dominio de definición la recta al completo de los n úmeros reales, hay un sólo punto de corte, de ordenada igual a $f(0)$, pues la abscisa de un punto tal ha de ser cero; entonces, $f(0)=(0-1)^2-3=1-3=-2$, luego dicho punto de corte tiene coordenadas $C(0\,,\,-2)$
b)
Podemos considerar la función dada, que es una función cuadrática ( una parábola ), como el resultado de trasladar el trazo ( se traslada com si se tratase de un alambre rígido ) de otra función cuadrática más sencilla, que es $y=x^2$, y cuyo vértice está en el origen de coordenadas. Caben dos traslaciones: (1) una traslación horizontal en el sentido positivo del eje $Ox$, desde el origen de coordenadas, lo cual nos lleva la parábola original a la posición del plano con el vértice en el punto $(1,0)$, describiéndose dicho trazo de la forma $y=(x-1)^2$. A continuación, y a partir de la posición en la que acabamos de dejar el trazo, debemos hacer otra traslación más; esta vez, de tres unidades en el sentido negativo del eje $Oy$, lo cual nos lleva la parábola obtenida por la primera traslación a la posición del plano tal que su vértice es el punto $V(1\,,\,-3)$. Éste es, pues, el vértice de la parábola descrita por la función $f(x)=(x-1)^2-3$.
Nota: El orden de las traslaciones es irrelevante.
c)
Nota: En lugar de hacer la representación gráfica por traslaciones, que es muy elegante, también podríamos haberla hecho recogiendo todos los elementos notables de la parábola. Así, como sabemos que la recta o eje de simetría ( que toda parábola tiene ) es la mediatriz de los puntos $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$ de corte con el eje de abscisas, basta calcular la abscisa del vértice $V$ haciendo la semisuma de las abscisas de los puntos de corte, luego $x_v=\dfrac{(1- |\sqrt{3}|)+(1+ |\sqrt{3}|)}{2}=1$, y, por tanto, $y_v \underset{def}{=}f(x_v)=f(1)=(1-1)^2-3=0-3=-3$. Recordemos que conocemos también las coordenadas del punto de corte con el eje $Oy$, de todo lo cual, podemos dibujar el mismo trazo que hemos encontrado con las traslaciones.
Conviene comentar, sin embargo, que en caso de no cortar la parábola al eje $Ox$, o sea, si la función no tuviese raíces ( que no es el caso ), ¿ cómo calcularíamos la abscisa $x_V$ del vértice ?. Bien, pues, lo haríamos de una forma parecida, solo que, en ese caso, deberíamos cortar la parábola por cualquier recta paralela al eje de abscisas ( ya que éste no la corta ), obteniendo, así, dos puntos de corte con la misma, $A'$ y $B'$, que, al ser la curva simétrica, y por tanto siendo válida la propiedad de que la recta de simetría pasa por el punto medio del segmento ( paralelo al eje $Ox$ ) formado por dichos dos puntos, haciendo un cálculo sencillo, se obtiene que, si expresamos la función de la forma equivalente $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$, la abscisa del vértice es $x_V=-\dfrac{b}{2a}$
Comprobemoslo con el propio ejercicio: Expresando la función $f(x)=(x-1)^2-3$ de la forma indicada ( forma general ), podemos escribirla así $f(x)=x^2-2x-2$ ( basta con desarrollar la potencia del binomio y agrupar los términos semejantes), de lo cual vemos que: $a=1$, $b=-2$ y $c=-2$. Entonces, aplicando la expresión que permite calcular la abscisa del vértice sin conocer previamente las raíces ( o incluso sin que las haya ), obtenemos $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1$, como debe ser.
$\square$
La ecuación en forma explícita de una cierta recta, $r$, es $y=2\,x+1$. Calcular: a) la imagen de $10$; esto es, la ordenada de un punto de $r$ con abscisa igual a $10$ b) la antiimagen de $-2$; esto es, la abscisa de un punto de $r$ que tiene ordenada igual a $-2$
Enunciado:
La ecuación en forma explícita de una cierta recta, $r$, es $y=2\,x+1$. Calcular:
a) la imagen de $10$; esto es, la ordenada de un punto de $r$ con abscisa igual a $10$
b) la antiimagen de $-2$; esto es, la abscisa de un punto de $r$ que tiene ordenada igual a $-2$
Resolución:
a)
La función que describe la recta $r$ es $f(x)=2\,x+1$, luego la imagen de $10$ es $f(10)=2\cdot 10+2=20+1=21$
b)
La abscisa de un punto $P$ de la recta que tenga ordenada $y_{P}=-2$ es la antiimagen de dicho valor, que denotamos por $f^{-1}(-2)$, y calculamos resolviendo la ecuación que viene de lo dicho, $-2=2\,x_{P}+1$, cuya solución es $x_{P}=-\dfrac{3}{2}$
$\square$
La ecuación en forma explícita de una cierta recta, $r$, es $y=2\,x+1$. Calcular:
a) la imagen de $10$; esto es, la ordenada de un punto de $r$ con abscisa igual a $10$
b) la antiimagen de $-2$; esto es, la abscisa de un punto de $r$ que tiene ordenada igual a $-2$
Resolución:
a)
La función que describe la recta $r$ es $f(x)=2\,x+1$, luego la imagen de $10$ es $f(10)=2\cdot 10+2=20+1=21$
b)
La abscisa de un punto $P$ de la recta que tenga ordenada $y_{P}=-2$ es la antiimagen de dicho valor, que denotamos por $f^{-1}(-2)$, y calculamos resolviendo la ecuación que viene de lo dicho, $-2=2\,x_{P}+1$, cuya solución es $x_{P}=-\dfrac{3}{2}$
$\square$
martes, 8 de abril de 2014
Determinar el dominio de definición y el recorrido de la función $f(x)=|\sqrt{2\,x+3}\,|$
Enunciado:
Determinar el dominio de definición y el recorrido de la función $$f(x)=|\sqrt{2\,x+3}\,|$$
Resolución:
En esta función, para que un valor de la variable independiente, $x$, tenga imagen, el argumento de la raíz ( cuadrada ) tiene que ser positivo o cero, es decir, se debe cumplir que $2\,x+3 \ge 0$, luego $x \ge -\dfrac{3}{2}$, por consiguiente $\mathcal{D}_{f}=[-\dfrac{3}{2}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$
En cuanto al recorrido, es evidente que los valores que puede tomar la variable dependiente son todos los números reales positivos, además del cero, esto es: $\mathcal{R}_f=[0,\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$
$\blacksquare$
Determinar el dominio de definición y el recorrido de la función $$f(x)=|\sqrt{2\,x+3}\,|$$
Resolución:
En esta función, para que un valor de la variable independiente, $x$, tenga imagen, el argumento de la raíz ( cuadrada ) tiene que ser positivo o cero, es decir, se debe cumplir que $2\,x+3 \ge 0$, luego $x \ge -\dfrac{3}{2}$, por consiguiente $\mathcal{D}_{f}=[-\dfrac{3}{2}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$
En cuanto al recorrido, es evidente que los valores que puede tomar la variable dependiente son todos los números reales positivos, además del cero, esto es: $\mathcal{R}_f=[0,\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$
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¿ Qué tipo de función es $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ ? ¿ Tiene alguna raíz ? ¿ Cuál es la ordenada en el origen de esa función ?.
Enunciado:
¿ Qué tipo de función es $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ ? ¿ Tiene alguna raíz ? ¿ Cuál es la ordenada en el origen de esa función ?.
Resolución:
El gráfico de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ se puede ver como la traslación de una unidad ( del gráfico ) en el sentido positivo de la función de proporcionalidad inversa $g(x)=\dfrac{1}{x}$, luego es, también, una función de proporcionalidad inversa.
No tiene raíces pues no existe ningún valor finito de la variable independiente, $x$, para el cual se cumpla $\dfrac{1}{x-1}$, al ser el numerador, $1$, una constante. Sólo podría anularse el denominador si $x$ fuese infinito.
La ordenada en el origen de la función, $f(0)$, es igual a $\dfrac{1}{0-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$
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¿ Qué tipo de función es $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ ? ¿ Tiene alguna raíz ? ¿ Cuál es la ordenada en el origen de esa función ?.
Resolución:
El gráfico de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ se puede ver como la traslación de una unidad ( del gráfico ) en el sentido positivo de la función de proporcionalidad inversa $g(x)=\dfrac{1}{x}$, luego es, también, una función de proporcionalidad inversa.
No tiene raíces pues no existe ningún valor finito de la variable independiente, $x$, para el cual se cumpla $\dfrac{1}{x-1}$, al ser el numerador, $1$, una constante. Sólo podría anularse el denominador si $x$ fuese infinito.
La ordenada en el origen de la función, $f(0)$, es igual a $\dfrac{1}{0-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$
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Calcular las raíces de la función $f(x)=x^3+3\,x^2-4\,x$
Enunciado:
Calcular las raíces de la función $f(x)=x^3+3\,x^2-4\,x$
Resolución:
Imponiendo la condición para que un valor de la variable, $x$, sea raíz de la función, $f(x)=0$, vemos que $$x^3+3\,x^2-4\,x=0 \Leftrightarrow x\,(x^2+3\,x-4)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\ \\\text{ó}\\x^2+3x-4=0 \Leftrightarrow {\left\{\begin{matrix}1 \\ \text{ó}\\-4 \end{matrix}\right.}\end{matrix}\right.$$
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Calcular las raíces de la función $f(x)=x^3+3\,x^2-4\,x$
Resolución:
Imponiendo la condición para que un valor de la variable, $x$, sea raíz de la función, $f(x)=0$, vemos que $$x^3+3\,x^2-4\,x=0 \Leftrightarrow x\,(x^2+3\,x-4)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\ \\\text{ó}\\x^2+3x-4=0 \Leftrightarrow {\left\{\begin{matrix}1 \\ \text{ó}\\-4 \end{matrix}\right.}\end{matrix}\right.$$
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Determinar la función lineal afín correspondiente a la recta del plano que pasa por los puntos: $A(1,1)$ y $B(-1,2)$
Enunciado:
Determinar la función lineal afín correspondiente a la recta del plano que pasa por los puntos: $A(1,1)$ y $B(-1,2)$
Resolución:
Tratándose de una función lineal afín, podemos escribirla así: $f(x)=m\,x+k$. Procedemos a determinar los coeficientes $m$ y $k$ ( pendiente y ordenada en el origen de la recta, respectivamente ):
Como $A(1,1)$ es un punto de la recta, sus coordenadas cumplen dicha ecuación, luego $1=m\cdot 1+k$, y, como $B(-1,2)$ es otro punto de la recta, entonces $2=m \cdot (-1)+k$.
Resolviendo el sistema de ecuaciones
$\left\{\begin{matrix}m+k=1 \\ \\-m+k=2 \end{matrix}\right.$
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, obtenemos $k=\dfrac{3}{2}$, y, sustituyendo este valor en la primera obtenemos $m=-\dfrac{1}{2}$. Por tanto, $f(x)=-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$
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Determinar la función lineal afín correspondiente a la recta del plano que pasa por los puntos: $A(1,1)$ y $B(-1,2)$
Resolución:
Tratándose de una función lineal afín, podemos escribirla así: $f(x)=m\,x+k$. Procedemos a determinar los coeficientes $m$ y $k$ ( pendiente y ordenada en el origen de la recta, respectivamente ):
Como $A(1,1)$ es un punto de la recta, sus coordenadas cumplen dicha ecuación, luego $1=m\cdot 1+k$, y, como $B(-1,2)$ es otro punto de la recta, entonces $2=m \cdot (-1)+k$.
Resolviendo el sistema de ecuaciones
$\left\{\begin{matrix}m+k=1 \\ \\-m+k=2 \end{matrix}\right.$
Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, obtenemos $k=\dfrac{3}{2}$, y, sustituyendo este valor en la primera obtenemos $m=-\dfrac{1}{2}$. Por tanto, $f(x)=-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$
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La función $f(x)=2^x-4$ tiene una única raíz. Calcúlese dicha raíz.
Enunciado:
La función $f(x)=2^x-4$ tiene una única raíz. Calcúlese dicha raíz.
Resolución:
Sea $x=r$ dicha raíz, entonces $f(r)=0$, con lo cual $$2^r-4=0 \Leftrightarrow 2^r=4 \Leftrightarrow 2^r=2^2 \Leftrightarrow r=2$$
$\blacksquare$
La función $f(x)=2^x-4$ tiene una única raíz. Calcúlese dicha raíz.
Resolución:
Sea $x=r$ dicha raíz, entonces $f(r)=0$, con lo cual $$2^r-4=0 \Leftrightarrow 2^r=4 \Leftrightarrow 2^r=2^2 \Leftrightarrow r=2$$
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Calcular la ordenada en el origen de la función $f(x)=3^x-9$
Enunciado:
Calcular la ordenada en el origen de la función $f(x)=3^x-9$
Resolución:
Llamamos ordenada en el origen de una función a la ordenada del punto de corte del gráfico de dicha función con el eje de ordenadas, que es único.
Entonces, $f(0)=3^0-9=1-9=8$
$\blacksquare$
Calcular la ordenada en el origen de la función $f(x)=3^x-9$
Resolución:
Llamamos ordenada en el origen de una función a la ordenada del punto de corte del gráfico de dicha función con el eje de ordenadas, que es único.
Entonces, $f(0)=3^0-9=1-9=8$
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Representar gráficamente la función $h(x)=-x^2+9$ a partir de sus elementos notables ( raíces, ordenada en el origen, coordenadas del vértice, y eje de simetría de la parábola correspodiente ).
Enunciado:
Representar gráficamente la función $h(x)=-x^2+9$ a partir de sus elementos notables ( raíces, ordenada en el origen, coordenadas del vértice, y eje de simetría de la parábola correspodiente ).
Resolución:
Veamos cuáles son los elementos notables: a) raíces: imponiendo $f(x)=0$, que es la condición necesaria para un valor de la variable independiente $x$ sea raíz de la función $f$, obtenemos $-x^2+9=0 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow x=\pm 3$; b) abscisa del vértice, $V$ de la parábola: abscisa del punto medio del segmento de extremos $(-3\,,\,0)$ y $(3\,,\,0)$, luego $x_v=0$, luego su ordenada es $f(0)=9$, es decir, $V(0,9)$ es el punto de corte del trazo con el eje de ordenadas, y coincide, en este caso, con el vértice de la parábola; c) el eje de simetría de la parábola: $r:x=0$ ( eje de ordenadas ).
$\blacksquare$
Representar gráficamente la función $h(x)=-x^2+9$ a partir de sus elementos notables ( raíces, ordenada en el origen, coordenadas del vértice, y eje de simetría de la parábola correspodiente ).
Resolución:
Veamos cuáles son los elementos notables: a) raíces: imponiendo $f(x)=0$, que es la condición necesaria para un valor de la variable independiente $x$ sea raíz de la función $f$, obtenemos $-x^2+9=0 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow x=\pm 3$; b) abscisa del vértice, $V$ de la parábola: abscisa del punto medio del segmento de extremos $(-3\,,\,0)$ y $(3\,,\,0)$, luego $x_v=0$, luego su ordenada es $f(0)=9$, es decir, $V(0,9)$ es el punto de corte del trazo con el eje de ordenadas, y coincide, en este caso, con el vértice de la parábola; c) el eje de simetría de la parábola: $r:x=0$ ( eje de ordenadas ).
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Sabiendo que $-3$ y $5$ son raíces de una cierta función polinómica, calcular la abscisa del vértice de la parábola, que es el gráfico de dicho función.
Enunciado:
Sabiendo que $-3$ y $5$ son raíces de una cierta función polinómica, calcular la abscisa del vértice de la parábola, que es el gráfico de dicho función.
Resolución:
La abscisa del vértice de una parábola es igual al punto medio de cualquier segmento formado por dos puntos simétricos uno del otro, por ejemplo, los puntos de corte con el eje de abscisas ( si la parábola en cuestión corta a dicho eje, claro está, y, en este caso lo hace ), luego $x_v=\dfrac{-3+5}{2}=2$
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Sabiendo que $-3$ y $5$ son raíces de una cierta función polinómica, calcular la abscisa del vértice de la parábola, que es el gráfico de dicho función.
Resolución:
La abscisa del vértice de una parábola es igual al punto medio de cualquier segmento formado por dos puntos simétricos uno del otro, por ejemplo, los puntos de corte con el eje de abscisas ( si la parábola en cuestión corta a dicho eje, claro está, y, en este caso lo hace ), luego $x_v=\dfrac{-3+5}{2}=2$
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Calcular el valor de la ordenada en el origen...
Enunciado:
Calcular el valor de la ordenada en el origen de la siguiente función $$g(x)=4\,(x-1)^3+5$$
Resolución:
La ordenada en el origen es la imagen del cero, luego $g(0)=4\,(0-1)^3+5=4\cdot (-1)^3+5=-4+5=1$
$\blacksquare$
Calcular el valor de la ordenada en el origen de la siguiente función $$g(x)=4\,(x-1)^3+5$$
Resolución:
La ordenada en el origen es la imagen del cero, luego $g(0)=4\,(0-1)^3+5=4\cdot (-1)^3+5=-4+5=1$
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Calcular las raíces de la función $f(x)=x^2-4\,x+5$
Enunciado:
Calcular las raíces de la función $f(x)=x^2-4\,x+5$
Resolución:
Por la condición de existencia de raíces, $f(x)=0$, podemos escribir $x^2-4\,x+5=0$ y resolviendo dicha ecuación de segundo grado, $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot 1} \notin \mathbb{R}$, por ser el discriminante negativo, luego la función propuesta no tiene raíces ( no corta al eje de abscisas ).
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Calcular las raíces de la función $f(x)=x^2-4\,x+5$
Resolución:
Por la condición de existencia de raíces, $f(x)=0$, podemos escribir $x^2-4\,x+5=0$ y resolviendo dicha ecuación de segundo grado, $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot 1} \notin \mathbb{R}$, por ser el discriminante negativo, luego la función propuesta no tiene raíces ( no corta al eje de abscisas ).
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