Ejercicios resueltos y comentados del examen de sistemas de ecuaciones, realizado el viernes 16/12/2016

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Resolviendo problemas de geometría mediante el álgebra

ENUNCIADO. Un recorte de cartulina que tiene forma rectangular tiene un área de $48$ decímetros cuadrados. Se sabe, también, que la longitud de la diagonal del rectángulo es de $10$ decímetros. ¿ Cuál es el perímetro de dicho rectángulo ?.

SOLUCIÓN.

Resolución de problemas aritméticos mediante el álgebra

ENUNCIADO. Se desea comprar dos artículos. La suma de los precios respectivos es de $80$ euros. Al primero se le aplica un descuento del $70\,\%$ ( una buena oferta ), y al segundo un impuesto del $20\,\%$. Por dicha compra pagamos $90$ euros. ¿ Cuál es el precio de cada artículo ?.

SOLUCIÓN.

Resolviendo un sistema de ecuaciones no lineales

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones \emph{no lineales}: $$\left\{\begin{matrix}x^2 & - & y^2 & = & 4 \\ x^2 & + & y^2 & = & 4 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
En general, para resolver un sistema de ecuaciones no lineales no sirve el método de reducción; sin embargo, hay excepciones: este sistema, por ejemplo, sí podemos resolverlo por dicho método, y de una forma muy sencilla:

Sumando la primera y la segunda ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos una nueva ecuación equivalente, $2x^2=8$, que nos permite escribir el siguiente sistema equivalente:
$$\left\{\begin{matrix}x^2 & - & y^2 & = & 4 \\ 2\,x^2 & & & = & 8 \end{matrix}\right. $$ Así, de la nueva segunda ecuación deducimos $$x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2$$ Y sustituyendo $x^2=4$ en, por ejemplo, la primera, $$y^2=0 \Leftrightarrow y=0$$ De donde concluimos que $$\begin{matrix}\text{si} & x=-2 & \text{entonces} & y=0 \\ \\ \text{si} & x=+2 & \text{entonces} & y=0\end{matrix}$$
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Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones \emph{lineales} empleando algún método algebraico: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}\,x & - & \dfrac{2}{3}\,y & = & \dfrac{5}{12} \\ \\ \dfrac{1}{5}\,x & - & \dfrac{3}{10}\,y & = & \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Multiplicando por el mínimo común múltiplo de los denominadores en las respectivas ecuaciones, llegaremos a un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}\,x & - & \dfrac{2}{3}\,y & = & \dfrac{5}{12} \\ \\ \dfrac{1}{5}\,x & - & \dfrac{3}{10}\,y & = & \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right. \overset{e_1\cdot \text{m.c.m}(2,3,12)\rightarrow e_1\quad;\quad e_2\cdot \text{m.c.m}(5,10,4)\rightarrow e_2}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}12\cdot \dfrac{3}{2}\,x & - & 12\cdot \dfrac{2}{3}\,y & = & 12\cdot \dfrac{5}{12} \\ \\ 20\cdot\dfrac{1}{5}\,x & - & 20\cdot \dfrac{3}{10}\,y & = & 20\cdot \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right. \sim $

Procedemos ahora a reducir el sistema mediante la operación elemental que se indica:

$ \sim \left\{\begin{matrix}6\cdot 3\,x & - & 4\cdot 2 \,y & = & 5 \\ \\ 4\,x & - & 2\cdot 3 \,y & = & 5\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\,y & = & 5 \\ \\ 4\,x & - & 6\,y & = & 5\end{matrix}\right. \overset{-2\,e_1+9\,e_2 \;\rightarrow\; e_2}{\sim} $

$ \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\,y & = & 5 \\ \\ & - & 38\,y & = & 35\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\cdot (-\dfrac{35}{38}) & = & 5 \\ \\ & & y & = & -\dfrac{35}{38}\end{matrix}\right. \sim $

$\sim \left\{\begin{matrix}x & & & = & -\dfrac{5}{38} \\ \\ & & y & = & -\dfrac{35}{38}\end{matrix}\right.$
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Otro problema de combinatoria ordenando letras

ENUNCIADO. ¿ Cuántas palabras de dos vocales y dos consonantes podemos formar eligiendo dichas letras entre cuatro consonantes y dos vocales, de manera que las dos vocales no estén juntas ?. NOTA: Las 'palabras' resultantes no tienen por qué tener un significado en el lenguaje usual.

SOLUCIÓN.
Tengamos en cuenta que:
  1. Pensando en el grupo de cuatro caracteres ( dos consonantes y dos vocales ), y reparando en el requerimiento ( del enunciado ) que las vocales no puedan estar juntas, debemos entender que hay que restar de las $\text{P}_4=4!$ posibilidades ( sin esa restricción ) las que corresponden a estar éstas juntas las dos vocales, esto es, $\text{P}_3\cdot 2!$ ( donde consideramos el bloque de las dos vocales como un sólo símbolo y tenemos en cuenta que esas dos vocales se permutan la una con la otra ); por consiguiente tenemos $4!- 3!\cdot 2=12$ posibilidades
  2. En relación a las dos consonantes que deben tener dichas palabras, hay $\displaystyle \binom{4}{2}$ maneras de elegirlas
Así pues, de (1) y (2), por el principio multiplicativo, tenemos $\displaystyle 12 \cdot \binom{4}{2}=72$ palabras con las condiciones pedidas.
$\square$

Formando 'palabras'

ENUNCIADO. ¿ Cuántas palabras de dos vocales y dos consonantes podemos formar eligiendo dichas letras entre cuatro consonantes y dos vocales ?. NOTA: Las 'palabras' resultantes no tienen por qué tener un significado en el lenguaje usual.

SOLUCIÓN.
Tengamos en cuenta que:
  1. Hay $4!$ posibilidades al permutar las cuatro letras de la palabra que queremos formar
  2. En relación a las dos consonantes que deben tener dichas palabras, hay $\displaystyle \binom{4}{2}$ maneras de elegirlas
Así pues, de (1) y (2), por el principio multiplicativo, tenemos $\displaystyle 4!\cdot \binom{4}{2}=144$ palabras con las condiciones pedidas.
$\square$

Permutaciones

ENUNCIADO. ¿ Cuántas palabras podemos formar reordenando las letras de la palabra $\text{BAR}$Í$\text{TONO}$, de modo que las letras $\text{B}$, $\text{A}$ y $\text{R}$, estén juntas en todas las palabras resultantes ?. NOTA: Las 'palabras' pedidas no tienen por qué tener un significado en el lenguaje usual.

SOLUCIÓN. Considerando el conjunto $\{\text{B},\text{A},\text{R}\}$ como un sólo caracter/símbolo, debemos permutar los $6$ caracteres/símbolos siguientes: el bloque $\{\text{B},\text{A},\text{R}\}$, el símbolo Í, el símbolo $\text{T}$, el símbolo $\text{N}$, y las dos $\text{O}$s; así que, teniendo en cuenta que la $\text{O}$ aparece dos veces, obtenemos $$\dfrac{6!}{2!}\; \text{posibilidades}$$ Por otra parte, las letras del grupo $\{\text{B},\text{A},\text{R}\}$ pueden a su vez permutarse entre sí de $3!$ maneras distintas; por tanto, tendremos un total de $$\dfrac{3! \cdot 6!}{2!}=2160\;\text{palabras}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones con términos logarítmicos

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$\log\,x+\log\,x^2=3$$

SOLUCIÓN. Aplicando las propiedades de los logaritmos en el primer miembro llegamos a $$\log\,(x\cdot x^2)=3$$ y por tanto $$\log\,x^3=3$$ con lo cual $$3\,\log\,x=3$$ es decir $$\log\,x=1$$ y siendo $10$ la base del logaritmo, $$x= 10^1=10$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones con términos exponenciales

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$2^x-\dfrac{1}{2^{x-1}}+1=0$$

SOLUCIÓN. Podemos expresar la ecuación de la forma $$2^x-2^{1-x}+1=0$$ que es equivalente a $$2^x-2\cdot 2^{-x}+1=0$$ Denotando $2^x$ por $t$, transformamos la ecuación equivalente con términos exponenciales en una ecuación con términos racionales y polinómicos $$t-\dfrac{2}{t}+1=0$$ Multiplicando ambos miembros por $t$, la trasformamos en una ecuación equivalente con términos polinómicos y de segundo grado $$t^2+t-2=0$$ cuya solución viene dada por $$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}1\\\\-2\end{matrix}\right.$$ Entonces, si $t=1$, se tiene que $2^x=1$, esto es, $2^x=2^0$, luego $x=0$; y, por otra parte, si $t=-2$, podemos escribir que $2^x=-2$, pero para este caso no existe ningún valor de $x$ que satisfaga la igualdad. Por tanto, la solución de la ecuación pedida viene dada por un sólo valor, que es $x=0$.
$\square$

Ejercicios resueltos del examen de los temas 3 y 4 de 4.º de ESO, realizado el martes 29/11/2016

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Factorizando polinomios

ENUNCIADO. Factorizar el polinomio $$P(x)=x^3+2x^2-x-2$$

SOLUCIÓN. Hay una fórmula para encontrar las raíces de los polinomios de tercer grado, pero como se ha comentado en clase, no la usamos, por su complejidad. Como alternativa, trataremos de buscar, primero, las raíces enteras ( si las hubiera ).

Sabemos ( por un teorema enunciado en clase ) que toda raíz entera de $P(x)$ ha de ser divisor del término independiente, que en la ecuación pedida es $-2$. Como $$\text{div}(-2)=\{-2,-1,1,2\}$$ veremos a continuación si alguno de esos números cumple la condición para que sea raíz del polinomio dado, que, como sabemos es la de anular el polinomio cuando $x$ toma dicho valor.

Observemos que $P(1)=1^3+2\cdot 1^2-1-2=0$, luego $r_1=1$ es una raíz de $P(x)$, así que, por el teorema del factor, podemos escribir $$P(x)=(x-r_1)\cdot Q(x)$$ siendo $Q(x)$ el polinomio que resulta de $P(x) \div (x-1)$. Calculemos dicho polinomio.
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 2 & -1 & -2 \\
1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}$$ luego $Q(x)=x^2+3\,x+2$.

Entonces, las restantes raíces de $P(x)$ ( si las hubiera ), también han de ser raíces de $Q(x)$. Así, que vamos a calcular las raíces de $Q(x)$, esto es $\{x\in \mathbb{x}:Q(x)=0\}$ $$x^2+3\,x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm \sqrt{3^3-4\cdot 1 \cdot2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$$ por lo tanto, $P(x)$ tiene dos raíces más ( además de $r_1=1$, con multiplicidad igual a $1$ ), que son $r_2=-1$ y $r_2=-2$; ambas, con multiplicidad $1$, ya que al ser el polinomio $P(x)$ de grado $3$, la suma de las multiplicidades de las raíces encontradas ha de ser, a lo sumo, $3$.

Así, pues, por el teorema del factor, podemos escribir la forma factorizada de $P(x)$ pedida como $$P(x)=(x-1)(x-(-1))(x-(-2))$$ esto es $$P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)$$
$\square$

Calculando las raíces de un polinomio

ENUNCIADO. Encontrar todas las raíces del polinomio $P(x)=x^4+x^3+x^2+x$

SOLUCIÓN. Extrayendo factor común de $x$, llegamos a $$x\,(x^3+x^2+x+1)$$ esto es $$(x-0)\,(x^3+x^2+x+1)$$ por lo que ( teorema del factor ) una de las raíces de $P(x)$ es $r_1=0$, con multiplicidad $m_1=1$. Si el polinomio tiene más raíces, éstas deberán ser, también, raíces de $Q(x):=x^3+x^2+x+1$. Averiguaremos ahora si este polinomio tiene raíces.

Si $Q(x)$ tiene raíces enteras, éstas han de ser divisores del término independiente, que es $1$, luego las posibles raíces enteras son $\{-1,1\}$.

Veamos si alguna de ellas lo es. Como todos los términos de $Q(x)$ son positivos, $1$ no puede ser una raíz, pues no puede anular el polinomio. Por otra parte, el valor de $Q(x)$ en $x=-1$ es $Q(x)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1=0$, luego $r_2=-1$ es raíz de $Q(x)$ y, por tanto, también lo es de $P(x)$.

Dividiendo ahora $Q(x)$ entre $x-(-1)$ ( teorema del factor ), encontramos el polinomio que multiplicado por $x-(-1)$ es igual a $Q(x)$ $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Dicho polinomio es $x^2+1$, que no tiene raíces ( es un polinomio primo ), ya que, imponiendo la condición para encontrar raíces, $x^2+1=0$, vemos que $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$

Así pues las raíces de $P(x)$ son $\{0,-1\}$, ambas con multiplicidad $1$.
$\square$

Resolviendo ecuaciones con términos exponenciales

ENUNCIADO. Resolver la ecuación y expresar el resultado aproximado a las diezmilésimas $$4^x=3$$

SOLUCIÓN. La ecuación pedida tiene un término exponencial, luego podemos resolverla extrayendo logaritmos en ambos miembros, con lo que la transformaremos en una ecuación polinómica.

$4^x=3$
  $\ln\,4^x=\ln\,3$
    $x\,\ln\,4=\ln\,3$ ( por las propiedades de los logaritmos )
      y despejando $x$ y aproximando el resultado,
      $x=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,4}\approx 0,7925$
$\square$

Resolviendo ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resuélvase la ecuación $$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{x}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. La ecuación pedida tiene términos del tipo fracción algebraico, por lo que reduciremos dicha ecuación a una e. polinómica multiplicando los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores de los términos de la ecuación.

Los polinomios $x-3$ y $x+3$ son primos, mientras que el polinomio $x^2 -9$, que es lo mismo que $x^2-3^2$ se factoriza (fácilmente), obteniéndose $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Así, pues, por la regla de los factores, tenemos que $$\text{m.c.m}(x-3,x+3,x^2-9)=(x-3)(x+3)$$

Multiplicando en los dos miembros de la ecuación original por el mínimo común múltiplo, llegamos a $$(x-3)(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{2}{x+3}=(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}$$ y simplificando se obtiene la ecuación polinómica $$x+3+2(x-3)=1$$ esto es $$x+3+2x-6=1$$ y por tanto $$3x=4$$ con lo cual $$x=\dfrac{4}{3}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$x^4-5x^2+4=0$$

SOLUCIÓN. La ecuación pedida es bicuadrada, ya que
podemos escribirla de la forma $$(x^2)^2-5x^2+4=0$$
y, por tanto, podemos transformarla en una ecuación cuadrática realizando el cambio $$t=x^2$$, con lo que nos queda $$t^2-5t+4=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\ \\1\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer la transformación realizada. Como $t=x^2$, entonces $x=\sqrt{t}$. Y, por consiguiente, tenemos que de $t=4$ se desprende que $x=\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\2\end{matrix}\right.$; y, si $t=1$, $x=\sqrt{1}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\1\end{matrix}\right.$
Por lo tanto, la solución viene dada por el conjunto $$\{-2,-1,1,2\}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones con radicales

ENUNCIADO. Resuélvase la ecuación
$$x-6=\sqrt{x+31}-7$$

SOLUCIÓN.
La ecuación pedida tiene un término radical. El índice de dicho radical es $2$ ( raíz cuadrada ), así que, después de arreglar la ecuación pedida de modo que en el segundo miembro sólo esté dicho radical, elevaremos al cuadrado en ambos miembros, al objeto de obtener una ecuación polinómica equivalente.
$x-6=\sqrt{x+31}-7$
  $x-6+7=\sqrt{x+31}$
    $x+1=\sqrt{x+31}$
      $(x+1)^2=(\sqrt{x+31})^2$
        $x^2+2x+1=x+31$
          $x^2+2x+1-x-31=0$
            $x^2+x-30=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-30)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm 11}{2}=\left\{\begin{matrix}-6\\\\5\end{matrix}\right.$
$\square$