Factorizando polinomios

ENUNCIADO. Factorizar el polinomio $$P(x)=x^3+2x^2-x-2$$

SOLUCIÓN. Hay una fórmula para encontrar las raíces de los polinomios de tercer grado, pero como se ha comentado en clase, no la usamos, por su complejidad. Como alternativa, trataremos de buscar, primero, las raíces enteras ( si las hubiera ).

Sabemos ( por un teorema enunciado en clase ) que toda raíz entera de $P(x)$ ha de ser divisor del término independiente, que en la ecuación pedida es $-2$. Como $$\text{div}(-2)=\{-2,-1,1,2\}$$ veremos a continuación si alguno de esos números cumple la condición para que sea raíz del polinomio dado, que, como sabemos es la de anular el polinomio cuando $x$ toma dicho valor.

Observemos que $P(1)=1^3+2\cdot 1^2-1-2=0$, luego $r_1=1$ es una raíz de $P(x)$, así que, por el teorema del factor, podemos escribir $$P(x)=(x-r_1)\cdot Q(x)$$ siendo $Q(x)$ el polinomio que resulta de $P(x) \div (x-1)$. Calculemos dicho polinomio.
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 2 & -1 & -2 \\
1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}$$ luego $Q(x)=x^2+3\,x+2$.

Entonces, las restantes raíces de $P(x)$ ( si las hubiera ), también han de ser raíces de $Q(x)$. Así, que vamos a calcular las raíces de $Q(x)$, esto es $\{x\in \mathbb{x}:Q(x)=0\}$ $$x^2+3\,x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm \sqrt{3^3-4\cdot 1 \cdot2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$$ por lo tanto, $P(x)$ tiene dos raíces más ( además de $r_1=1$, con multiplicidad igual a $1$ ), que son $r_2=-1$ y $r_2=-2$; ambas, con multiplicidad $1$, ya que al ser el polinomio $P(x)$ de grado $3$, la suma de las multiplicidades de las raíces encontradas ha de ser, a lo sumo, $3$.

Así, pues, por el teorema del factor, podemos escribir la forma factorizada de $P(x)$ pedida como $$P(x)=(x-1)(x-(-1))(x-(-2))$$ esto es $$P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)$$
$\square$