Calculando las raíces de un polinomio

ENUNCIADO. Encontrar todas las raíces del polinomio $P(x)=x^4+x^3+x^2+x$

SOLUCIÓN. Extrayendo factor común de $x$, llegamos a $$x\,(x^3+x^2+x+1)$$ esto es $$(x-0)\,(x^3+x^2+x+1)$$ por lo que ( teorema del factor ) una de las raíces de $P(x)$ es $r_1=0$, con multiplicidad $m_1=1$. Si el polinomio tiene más raíces, éstas deberán ser, también, raíces de $Q(x):=x^3+x^2+x+1$. Averiguaremos ahora si este polinomio tiene raíces.

Si $Q(x)$ tiene raíces enteras, éstas han de ser divisores del término independiente, que es $1$, luego las posibles raíces enteras son $\{-1,1\}$.

Veamos si alguna de ellas lo es. Como todos los términos de $Q(x)$ son positivos, $1$ no puede ser una raíz, pues no puede anular el polinomio. Por otra parte, el valor de $Q(x)$ en $x=-1$ es $Q(x)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1=0$, luego $r_2=-1$ es raíz de $Q(x)$ y, por tanto, también lo es de $P(x)$.

Dividiendo ahora $Q(x)$ entre $x-(-1)$ ( teorema del factor ), encontramos el polinomio que multiplicado por $x-(-1)$ es igual a $Q(x)$ $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & & -1 & 0 & -1 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Dicho polinomio es $x^2+1$, que no tiene raíces ( es un polinomio primo ), ya que, imponiendo la condición para encontrar raíces, $x^2+1=0$, vemos que $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$

Así pues las raíces de $P(x)$ son $\{0,-1\}$, ambas con multiplicidad $1$.
$\square$