Resolviendo ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resuélvase la ecuación $$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{x}{x^2-9}$$

SOLUCIÓN. La ecuación pedida tiene términos del tipo fracción algebraico, por lo que reduciremos dicha ecuación a una e. polinómica multiplicando los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores de los términos de la ecuación.

Los polinomios $x-3$ y $x+3$ son primos, mientras que el polinomio $x^2 -9$, que es lo mismo que $x^2-3^2$ se factoriza (fácilmente), obteniéndose $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Así, pues, por la regla de los factores, tenemos que $$\text{m.c.m}(x-3,x+3,x^2-9)=(x-3)(x+3)$$

Multiplicando en los dos miembros de la ecuación original por el mínimo común múltiplo, llegamos a $$(x-3)(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{2}{x+3}=(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}$$ y simplificando se obtiene la ecuación polinómica $$x+3+2(x-3)=1$$ esto es $$x+3+2x-6=1$$ y por tanto $$3x=4$$ con lo cual $$x=\dfrac{4}{3}$$
$\square$