Resolviendo ecuaciones con términos exponenciales

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$2^x-\dfrac{1}{2^{x-1}}+1=0$$

SOLUCIÓN. Podemos expresar la ecuación de la forma $$2^x-2^{1-x}+1=0$$ que es equivalente a $$2^x-2\cdot 2^{-x}+1=0$$ Denotando $2^x$ por $t$, transformamos la ecuación equivalente con términos exponenciales en una ecuación con términos racionales y polinómicos $$t-\dfrac{2}{t}+1=0$$ Multiplicando ambos miembros por $t$, la trasformamos en una ecuación equivalente con términos polinómicos y de segundo grado $$t^2+t-2=0$$ cuya solución viene dada por $$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}1\\\\-2\end{matrix}\right.$$ Entonces, si $t=1$, se tiene que $2^x=1$, esto es, $2^x=2^0$, luego $x=0$; y, por otra parte, si $t=-2$, podemos escribir que $2^x=-2$, pero para este caso no existe ningún valor de $x$ que satisfaga la igualdad. Por tanto, la solución de la ecuación pedida viene dada por un sólo valor, que es $x=0$.
$\square$