Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones \emph{lineales} empleando algún método algebraico: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}\,x & - & \dfrac{2}{3}\,y & = & \dfrac{5}{12} \\ \\ \dfrac{1}{5}\,x & - & \dfrac{3}{10}\,y & = & \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Multiplicando por el mínimo común múltiplo de los denominadores en las respectivas ecuaciones, llegaremos a un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}\,x & - & \dfrac{2}{3}\,y & = & \dfrac{5}{12} \\ \\ \dfrac{1}{5}\,x & - & \dfrac{3}{10}\,y & = & \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right. \overset{e_1\cdot \text{m.c.m}(2,3,12)\rightarrow e_1\quad;\quad e_2\cdot \text{m.c.m}(5,10,4)\rightarrow e_2}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}12\cdot \dfrac{3}{2}\,x & - & 12\cdot \dfrac{2}{3}\,y & = & 12\cdot \dfrac{5}{12} \\ \\ 20\cdot\dfrac{1}{5}\,x & - & 20\cdot \dfrac{3}{10}\,y & = & 20\cdot \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right. \sim $

Procedemos ahora a reducir el sistema mediante la operación elemental que se indica:

$ \sim \left\{\begin{matrix}6\cdot 3\,x & - & 4\cdot 2 \,y & = & 5 \\ \\ 4\,x & - & 2\cdot 3 \,y & = & 5\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\,y & = & 5 \\ \\ 4\,x & - & 6\,y & = & 5\end{matrix}\right. \overset{-2\,e_1+9\,e_2 \;\rightarrow\; e_2}{\sim} $

$ \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\,y & = & 5 \\ \\ & - & 38\,y & = & 35\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\cdot (-\dfrac{35}{38}) & = & 5 \\ \\ & & y & = & -\dfrac{35}{38}\end{matrix}\right. \sim $

$\sim \left\{\begin{matrix}x & & & = & -\dfrac{5}{38} \\ \\ & & y & = & -\dfrac{35}{38}\end{matrix}\right.$
$\square$