Permutaciones

ENUNCIADO. ¿ Cuántas palabras podemos formar reordenando las letras de la palabra $\text{BAR}$Í$\text{TONO}$, de modo que las letras $\text{B}$, $\text{A}$ y $\text{R}$, estén juntas en todas las palabras resultantes ?. NOTA: Las 'palabras' pedidas no tienen por qué tener un significado en el lenguaje usual.

SOLUCIÓN. Considerando el conjunto $\{\text{B},\text{A},\text{R}\}$ como un sólo caracter/símbolo, debemos permutar los $6$ caracteres/símbolos siguientes: el bloque $\{\text{B},\text{A},\text{R}\}$, el símbolo Í, el símbolo $\text{T}$, el símbolo $\text{N}$, y las dos $\text{O}$s; así que, teniendo en cuenta que la $\text{O}$ aparece dos veces, obtenemos $$\dfrac{6!}{2!}\; \text{posibilidades}$$ Por otra parte, las letras del grupo $\{\text{B},\text{A},\text{R}\}$ pueden a su vez permutarse entre sí de $3!$ maneras distintas; por tanto, tendremos un total de $$\dfrac{3! \cdot 6!}{2!}=2160\;\text{palabras}$$
$\square$