Ecuaciones no polinómicas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$x^x=x^2$$

SOLUCIÓN. Tomando logaritmos en cada miembro, $$\ln\,x^x=\ln\,x^2$$ y por las propiedades de los logaritmos podemos escribir $$x\,\ln\,x=2\,\ln\,x$$ agrupando en un sólo miembro $$(x-2)\ln\,x=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ln\,x=0 \Leftrightarrow x=1 \\ \\ x-2=0 \Leftrightarrow x=2\end{matrix}\right.$$

Así, pues, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto $\{1,2\}$
$\square$

Ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x^2-1}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores de las fracciones algebraicas obtendremos una ecuación equivalente, más sencilla ( una ecuación polinómica ).

Los polinomio $x-1$ y $x+1$ son primos, y el polinomio $x^2-1=x^2-1^2$ factoriza como $(x-1)(x+1)$ ( por la identidad notable ). Entonces $$\text{m.c.m}(x-1,x+1,(x-1)(x+1))=(x-1)(x+1)$$

Multiplicando pues la ecuación original por dicho mínimo común múltiplo, $$(x-1)(x+1)\,\dfrac{x}{x-1}+(x-1)(x+1)\,\dfrac{2}{x+1}=(x-1)(x+1)\,\dfrac{3}{(x-1)(x+1)}$$ simplificando $$x(x+1)+2(x-1)=3$$ esto es $$x^2+x+2x-2=3$$ y por tanto $$x^2+3x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-5)\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 7}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\ -5\end{matrix}\right.$$

La solución de la ecuación pedida viene pues dada por el conjunto $\{-5,2\}$
$\square$

Resolviendo ecuaciones con logaritmos

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$2^{2^x}=3$$

SOLUCIÓN.
$2^{2^x}=3$
  $\ln\,2^{2^x}=\ln\,3$
    $(2^x)\cdot\ln\,2=\ln\,3$
      $(2^x)=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2}$
        $\ln\,2^x=\ln\,(\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2})$
          $x\,\ln\,2=\ln\,\left(\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2}\right)$
            $x=\dfrac{\ln\,\left(\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2}\right)}{\ln\,2} \approx 0,6644$
$\square$

Resolviendo ecuaciones con términos exponenciales

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$2^{2^x}=2$$

SOLUCIÓN.
$$2^{2^x}=2 \Leftrightarrow 2^x=1$$ y como $1$ puede expresarse como $2^0$ se tiene que $$2^x=2^0 \Leftrightarrow x=0$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación polinómica $$x^4-13\,x^2+36=0$$

SOLUCIÓN. A pesar de que el polinomio del primer miembro es de grado $4$, sus términos tienen grados respectivos $4$, $2$ y $0$; y siendo el segundo miembro cero, la ecuación se conoce con el nombre de bicuadrada -- ya que puede expresarse de la siguiente forma $$(x^2)^2-13\,x^2+36=0$$ -- con lo que mediante la transformación $t=x^2$, llegamos a una ecuación cuadrática ( en la variable $t$ ) que sí sabemos resolver. Después de resolverla, y a partir de los valores obtenidos para $t$, tendremos que deshacer la transformación para calcular los valores de $x$ que son solución de la ecuación original.

Así, pues, tenemos que $$t^2-13t+36=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot 1}=\sqrt{13 \pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\\\9\end{matrix}\right.$$ Entonces, deshaciendo la transformación, $x=\sqrt{t}$; con lo cual, si $t=4$, $x=\sqrt{4}=\pm 2$. Y si $t=9$, $x=\sqrt{9}=\pm 3$. Por consiguiente, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-2,2,3\}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación polinómica $$x^4-13\,x^2+36=0$$

SOLUCIÓN. A pesar de la dificultad que pueda suponer el tener que resolver una ecuación con un polinomio de grado $4$ en el primer miembro y cero en el segundo miembro, sus términos de dicho polinomio tienen grados respectivos $4$, $2$ y $0$ ( la ecuación se conoce con el nombre de bicuadrada ) y el proceso de resolución se torna bastante sencillo tal y como vamos a ver enseguida. En efecto, la ecuación puede expresarse de la siguiente forma $$(x^2)^2-13\,x^2+36=0$$, por lo que, mediante la transformación $t=x^2$, llegamos a una ecuación cuadrática ( en la variable $t$ ) que sí sabemos resolver. Después de resolverla, y a partir de los valores obtenidos para $t$, tendremos que deshacer la transformación para calcular los valores de $x$ que son solución de la ecuación original.

Así, pues, tenemos que $$t^2-13t+36=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot 1}=\dfrac{13\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}9\\\\ 4\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer el cambio $t=x^2$. Si $t=9$, entonces $x=\sqrt{9}=\pm 3$; y, si $t=4$, entonces $x=\sqrt{4}=\pm 2$.

Concluimos pues que la solución de la ecuación pedida viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-4,-2,2,4\}$
$\square$

Resolviendo ecuaciones logarítmicas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$3\log\,x=\log\,100+\log\,x$$
SOLUCIÓN.
$3\log\,x=\log\,100+\log\,x$
  $3\log\,x-\log\,x=\log\,100$
    $\log\,x^3-\log\,x=\log\,100$
      $\log\,\left(\dfrac{x^3}{x}\right)=\log\,100$
        $\log\,x^2=\log\,100 \Leftrightarrow x^2=100 \Leftrightarrow x=\pm 10$
Ahora bien, $x=-10$ debe descartarse como solución de la ecuación original, pues $\log\,(-10)$ no está definido; por tanto, la solución a la ecuación pedida es $x=+10$
$\square$

Dividiendo polinomios

ENUNCIADO. Realizar la división de polinomios $(2x^5+1)\div (x^2-1)$

SOLUCIÓN.
Debemos tener en cuenta el teorema de la división euclídea. Sea $M(x)$ el polinomio dividendo y $N(x)$ el p. divisor, tales que $\text{grado}(M(x))\ge\text{grado}(N(x)$; $Q(x)$ el p. cociente, y $R(x)$ el p. resto. Entonces deberá cumplirse
    1. $M(x)=N(x)\cdot Q(x)+R(x)$
    2. $\text{grado}(R(x))\prec \text{grado}(N(x))$

Vamos a organizar los cálculos en la siguiente tabla:

dividendo   divisor   cociente    dividendo-divisor·cociente
---------   -------   --------    --------------------------
2x^5+1      x^2-1     x^3         (2x^5+1)-(x^2-1)·x^3=2x^3+1
2x^3+1      x^2-1     2x^3+2x     2x+1 (grado(2x+1) menor que grado(x^2-1) -> fin )

obteniendo, $$Q(x)=2x^3+2x$$ y $$R(x)=2x+1$$
$\square$

Ecuaciones con términos exponenciales

ENUNCIADO. Resuélvase la ecuación $$2^{2x}-4\cdot 2^x+4=0$$

SOLUCIÓN. Éste es el plan: Transformaremos la ecuación pedida en una ecuación con términos polinómicos y la resolveremos; finalmente, desharemos la transformación.
$2^{2x}-4\cdot 2^x+4=0$
  $=(2^{x})^2-4\cdot 2^x+4=0$
    $\overset{\text{transformación:}\; t=2^x}{=}\quad t^2-4\cdot t+4=0\Leftrightarrow (t-2)^2=0 \Leftrightarrow t=2$
Deshaciendo ahora la transformación $t=2^x$ tenemos que $$2=2^x \Leftrightarrow x=1$$
$\square$

Un ejercicio de resolución de ecuaciones con radicales

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$\sqrt{x}+2=x$$

SOLUCIÓN. La ecuación tiene un término irracional, pero podemos transformarla en una ecuación polinómica:
$\sqrt{x}+2=x$
  $\sqrt{x}=x-2$
    $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=(x-2)^2$
      $x^{\frac{1}{2}\cdot 2}=(x-2)^2$
        $x^{\frac{2}{2}}=(x-2)^2$
          $x^{1}=(x-2)^2$
            $x=(x-2)^2$
              $x=x^2-4x+4$
                $0=x^2-5x+4 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\\\1\end{matrix}\right.$
$\square$

Suma de fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación con fracciones algebraicas $$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}$$

SOLUCIÓN. Para efectuar esta suma de estas fracciones, $\dfrac{x}{x^2-1}$ y $\dfrac{1}{x-1}$, debemos reducirlas a común denominador, y, para ello, calcularemos el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores -- hacemos algo análogo cuando sumamos fracciones numéricas --; así que, primero, es necesario descomponer dichos polinomios en factores ( polinómicos ) primos.

Para descomponerlos, hay que calcular sus raíces. Las raíces de $x^2-1$ son $-1$ y $1$, ya que $x^2-1=0 \Leftrightarrow x \in \{-1,+1\}$, luego por el teorema del factor, podemos escribir $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Por otra parte, el polinomio del denominador de la segunda fracción, $x-1$, es primo ( no admite descomposición ). Hecho ésto, por la regla de los factores, sabemos que el polinomio mínimo común múltiplo es el producto de los factores de base común y no común ( a cada una de las descomposiciones ), tomando de cada uno de ellos el exponente máximo ( igual que hacemos con los números enteros ). Por todo ello, $$\text{m.c.m.}(x^2-1,x-1)=\text{m.c.m.}\left((x-1)(x+1),x-1\right)=(x-1)(x+1)=x^2-1$$

Reduciendo pues las fracciones a común denominador tenemos que la primera fracción, $\dfrac{x}{x^2-1}$ no requiere ninguna transformación, pues su denominador es el propio mínimo común múltiplo. Y la segunda fracción $\dfrac{1}{x-1}$, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}$, esto es, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{x^2-1}$.

Ahora ya podemos proceder a realizar la suma,
$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}=$
  $=\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{x+1}{x^2-1}$
    $=\dfrac{x+(x+1)}{x^-1}$
      $=\dfrac{2x+1}{x^-1}$
y hemos terminado.
$\square$

Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo

ENUNCIADO. Considérese el polinomio $P(x)=x^4+2\,x^3+2\,x^2+2\,x+1$. Se pide:
a) Encontrar sus raíces
b) Factorizar el polinomio dado

SOLUCIÓN.
Por definición, el conjunto de raíces viene dado por $$\{x\in \mathbb{R}: P(x)=0\}$$ Para encontrarlas ( si tuviera ), imponemos pues la condición $$x^4+2\,x^3+2\,x^2+2\,x+1=0$$ por lo que deberemos resolver esta ecuación. Empezaremos buscando posibles raíces enteras. Sabemos ( propiedad explicada en clase ) que las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente, que es $1$, esto es $\{-1,+1\}$. Ensayemos estos números: $$P(-1)=(+1)^4+2\cdot(+1)^3+2\cdot(+1)^2+2\cdot (+1)+1 \neq 0 \Leftrightarrow +1 \; \text{no es raíz de}\, P(x)$$ sin embargo, $-1$, sí es raíz de $P(x)$, como vamos a ver a continuación
$$P(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)^2+2\cdot (-1)+1=0 \Rightarrow r_1=-1$$ así que, por el teorema del factor, $(x-(-1))$, esto es $x+1$, es un polinomio primo de la descomposición ( en factores ) de $P(x)$. El polinomio que multiplicado por $x+1$ es igual a $P(x)$ se obtiene haciendo la división $P(x)\div (x-(-1))$ $$\begin{array}{r|rrrrr}
& 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
-1 & & -1 & -1 & -1 & 1\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}$$ luego, por el momento, podemos escribir $$P(x)=(x+1)(x^3+x^2+x+1)$$ Si $P(x)$ tiene más raíces, éstas lo serán también del polinomio $x^3+x^2+x+1$. Como el término independiente es $1$, las posibles raíces enteras son, otra vez, $\{-1,1\}$. Para ensayarlas, utilizaremos el teorema del resto: si la división de $x^3+x^2+x+1$ entre $(x-(-1))$ tiene resto $0$, entonces $-1$ vuelve a participar como raíz de $P(x)$. Veámoslo: $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Como el resto es $0$, la raíz $r_1=-1$ aparece dos veces, luego su multiplicidad es $m_1=2$. Otra vez, por el teorema del factor, podemos escribir otro paso de factorización de $P(x)$ $$P(x)=(x-(-1))^2\,(x^2+1)$$ Observemos, ahora, que el polinomio que aparece como tercer factor, $x^2+1$, es primo, ya que no tiene raíces, pues si imponemos la condición de raíz, no encontramos ninguna: $x^2+1=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$

En resumen, el polinomio $P(x)$ sólo tiene una raíz, que es $-1$, y su multiplicidad es $2$; con lo cual puede escribirse ( teorema del factor ) de la forma $$P(x)=(x+1)^2\,(x^2+1)$$
$\square$

Cambio de base logarítmica

ENUNCIADO. Calcular $\log_{2}\,5$ a partir de los logaritmos naturales ( en base $e=2,7182\ldots$ ), con ayuda de la calculadora científica

SOLUCIÓN
Podemos escribir la siguiente identidad numérica $$5=e^{\ln\,5} \quad \quad (1)$$
Sacando logaritmos en base $2$ en cada miembro de (1), $$\log_2\,5=\log_2\,(e^{\ln\,5})$$ y por las propiedades de los logaritmos, llegamos a $$\log_2\,5=\ln\,5 \cdot \log_2\,e \quad \quad (2)$$ Por otra parte, sea $$t\equiv\log_2\,e$$ entonces $$e=2^t$$ y sacando logaritmos naturales $$\ln\,e=t\,\ln\,2$$ con lo cual $$t=\dfrac{\ln\,e}{\ln\,2}\overset{\ln\,e=1}{=}\dfrac{1}{\ln\,2}$$ es decir $$\log_2\,e=\dfrac{1}{\ln\,2}$$ Sustituyendo esto en (2) $$\log_2\,5=\ln\,5 \cdot \dfrac{1}{\ln\,2} $$ esto es $$\log_2\,5= \dfrac{\ln\,5 }{\ln\,2} $$ y empleando ahora la calculadora $$\log_2\,5\overset{\text{4 c.d.}}{=} 2,3219 $$

$\square$

Cálculos con logaritmos

ENUNCIADO. El logaritmo decimal de $5$, aproximado a las diezmilésimas, es $0,6990$. Sin usar las utilidades logarítmicas de la calculadora, se pide calcular $\log\,20$ ( donde $\log$ denota logaritmo en base $10$ ).

SOLUCIÓN.
$\log\,20=$

  $=\log\,(2\cdot 10)$

    $=\log\,2+\log\,10$

      $=\log\,\dfrac{10}{5}+\log\,10$

        $=\log\,10-\log\,5+\log\,10$

          $=2\cdot \log\,10-\log\,5$

            $\overset{\log\,10=1}{=}2\cdot 1-\log\,5$

              $=2-\log\,5$

                $\overset{\text{4 c.d.}}{=}2-0,6990$

                  $\overset{\text{4 c.d.}}{=}1,3010$

$\square$

Ecuaciones exponenciales

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$4=3^x$$ aproximando el resultado a las diezmilésimas

SOLUCIÓN.
$4=3^x$
  $\ln\,4=\ln\,3^x$
    $\ln\,4=x\,\ln\,3$
      $x=\dfrac{\ln\,4}{\ln\,3}\overset{\text{4 c.d.}}{=} 1,2619$
$\square$

Resolver la ecuación

ENUNCIADO. Encontrar el valor o valores de $x$ que satisfacen la siguiente igualdad $$(x+1)^8=2345$$ y expresar el resultado hasta las diezmilésimas

SOLUCIÓN.
Procedimiento I.
$(x+1)^8=2345$
  $\left((x+1)^8\right)^{\frac{1}{8}}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
    $(x+1)^{8\cdot \frac{1}{8}}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
      $(x+1)^{1}=(2345)^{\frac{1}{8}}$
        $x+1=(2345)^{\frac{1}{8}}$
          $x=(2345)^{\frac{1}{8}}-1$
            $x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\pm 2,6384-1$
              $x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\left\{\begin{matrix}2,6384-1=1,6384 \\ -2,6384-1=-3,6384 \end{matrix}\right.$


Procedimiento II.
$(x+1)^8=2345$
  $\ln\,(x+1)^8=\ln\,2345$
    $8\cdot\ln\,(x+1)=\ln\,2345$
      $\ln\,(x+1)=\dfrac{1}{8}\cdot\ln\,2345$
        $\ln\,(x+1)=\ln\,2345^{\frac{1}{8}}$
          $x+1=2345^{\frac{1}{8}}$
            $x=(2345)^{\frac{1}{8}}-1$
              $x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\pm 2,6384-1$
                $x\overset{\text{4 c.d.}}{=}\left\{\begin{matrix}2,6384-1=1,6384 \\ -2,6384-1=-3,6384 \end{matrix}\right.$

$\square$