Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación polinómica $$x^4-13\,x^2+36=0$$

SOLUCIÓN. A pesar de la dificultad que pueda suponer el tener que resolver una ecuación con un polinomio de grado $4$ en el primer miembro y cero en el segundo miembro, sus términos de dicho polinomio tienen grados respectivos $4$, $2$ y $0$ ( la ecuación se conoce con el nombre de bicuadrada ) y el proceso de resolución se torna bastante sencillo tal y como vamos a ver enseguida. En efecto, la ecuación puede expresarse de la siguiente forma $$(x^2)^2-13\,x^2+36=0$$ , por lo que, mediante la transformación $t=x^2$, llegamos a una ecuación cuadrática ( en la variable $t$ ) que sí sabemos resolver. Después de resolverla, y a partir de los valores obtenidos para $t$, tendremos que deshacer la transformación para calcular los valores de $x$ que son solución de la ecuación original.

Así, pues, tenemos que $$t^2-13t+36=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot 1}=\dfrac{13\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}9\\\\ 4\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer el cambio $t=x^2$. Si $t=9$, entonces $x=\sqrt{9}=\pm 3$; y, si $t=4$, entonces $x=\sqrt{4}=\pm 2$.

Concluimos pues que la solución de la ecuación pedida viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-4,-2,2,4\}$
$\square$