Encontrar las raíces del polinomio y factorizarlo

ENUNCIADO. Considérese el polinomio $P(x)=x^4+2\,x^3+2\,x^2+2\,x+1$. Se pide:
a) Encontrar sus raíces
b) Factorizar el polinomio dado

SOLUCIÓN.
Por definición, el conjunto de raíces viene dado por $$\{x\in \mathbb{R}: P(x)=0\}$$ Para encontrarlas ( si tuviera ), imponemos pues la condición $$x^4+2\,x^3+2\,x^2+2\,x+1=0$$ por lo que deberemos resolver esta ecuación. Empezaremos buscando posibles raíces enteras. Sabemos ( propiedad explicada en clase ) que las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente, que es $1$, esto es $\{-1,+1\}$. Ensayemos estos números: $$P(-1)=(+1)^4+2\cdot(+1)^3+2\cdot(+1)^2+2\cdot (+1)+1 \neq 0 \Leftrightarrow +1 \; \text{no es raíz de}\, P(x)$$ sin embargo, $-1$, sí es raíz de $P(x)$, como vamos a ver a continuación
$$P(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)^2+2\cdot (-1)+1=0 \Rightarrow r_1=-1$$ así que, por el teorema del factor, $(x-(-1))$, esto es $x+1$, es un polinomio primo de la descomposición ( en factores ) de $P(x)$. El polinomio que multiplicado por $x+1$ es igual a $P(x)$ se obtiene haciendo la división $P(x)\div (x-(-1))$ $$\begin{array}{r|rrrrr}
& 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
-1 & & -1 & -1 & -1 & 1\\
\hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}$$ luego, por el momento, podemos escribir $$P(x)=(x+1)(x^3+x^2+x+1)$$ Si $P(x)$ tiene más raíces, éstas lo serán también del polinomio $x^3+x^2+x+1$. Como el término independiente es $1$, las posibles raíces enteras son, otra vez, $\{-1,1\}$. Para ensayarlas, utilizaremos el teorema del resto: si la división de $x^3+x^2+x+1$ entre $(x-(-1))$ tiene resto $0$, entonces $-1$ vuelve a participar como raíz de $P(x)$. Veámoslo: $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Como el resto es $0$, la raíz $r_1=-1$ aparece dos veces, luego su multiplicidad es $m_1=2$. Otra vez, por el teorema del factor, podemos escribir otro paso de factorización de $P(x)$ $$P(x)=(x-(-1))^2\,(x^2+1)$$ Observemos, ahora, que el polinomio que aparece como tercer factor, $x^2+1$, es primo, ya que no tiene raíces, pues si imponemos la condición de raíz, no encontramos ninguna: $x^2+1=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$

En resumen, el polinomio $P(x)$ sólo tiene una raíz, que es $-1$, y su multiplicidad es $2$; con lo cual puede escribirse ( teorema del factor ) de la forma $$P(x)=(x+1)^2\,(x^2+1)$$
$\square$