Ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x^2-1}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores de las fracciones algebraicas obtendremos una ecuación equivalente, más sencilla ( una ecuación polinómica ).

Los polinomio $x-1$ y $x+1$ son primos, y el polinomio $x^2-1=x^2-1^2$ factoriza como $(x-1)(x+1)$ ( por la identidad notable ). Entonces $$\text{m.c.m}(x-1,x+1,(x-1)(x+1))=(x-1)(x+1)$$

Multiplicando pues la ecuación original por dicho mínimo común múltiplo, $$(x-1)(x+1)\,\dfrac{x}{x-1}+(x-1)(x+1)\,\dfrac{2}{x+1}=(x-1)(x+1)\,\dfrac{3}{(x-1)(x+1)}$$ simplificando $$x(x+1)+2(x-1)=3$$ esto es $$x^2+x+2x-2=3$$ y por tanto $$x^2+3x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-5)\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 7}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\ -5\end{matrix}\right.$$

La solución de la ecuación pedida viene pues dada por el conjunto $\{-5,2\}$
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