Suma de fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación con fracciones algebraicas $$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}$$

SOLUCIÓN. Para efectuar esta suma de estas fracciones, $\dfrac{x}{x^2-1}$ y $\dfrac{1}{x-1}$, debemos reducirlas a común denominador, y, para ello, calcularemos el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores -- hacemos algo análogo cuando sumamos fracciones numéricas --; así que, primero, es necesario descomponer dichos polinomios en factores ( polinómicos ) primos.

Para descomponerlos, hay que calcular sus raíces. Las raíces de $x^2-1$ son $-1$ y $1$, ya que $x^2-1=0 \Leftrightarrow x \in \{-1,+1\}$, luego por el teorema del factor, podemos escribir $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Por otra parte, el polinomio del denominador de la segunda fracción, $x-1$, es primo ( no admite descomposición ). Hecho ésto, por la regla de los factores, sabemos que el polinomio mínimo común múltiplo es el producto de los factores de base común y no común ( a cada una de las descomposiciones ), tomando de cada uno de ellos el exponente máximo ( igual que hacemos con los números enteros ). Por todo ello, $$\text{m.c.m.}(x^2-1,x-1)=\text{m.c.m.}\left((x-1)(x+1),x-1\right)=(x-1)(x+1)=x^2-1$$

Reduciendo pues las fracciones a común denominador tenemos que la primera fracción, $\dfrac{x}{x^2-1}$ no requiere ninguna transformación, pues su denominador es el propio mínimo común múltiplo. Y la segunda fracción $\dfrac{1}{x-1}$, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}$, esto es, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{x^2-1}$.

Ahora ya podemos proceder a realizar la suma,
$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}=$
  $=\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{x+1}{x^2-1}$
    $=\dfrac{x+(x+1)}{x^-1}$
      $=\dfrac{2x+1}{x^-1}$
y hemos terminado.
$\square$