Ejercicio de cinemática

ENUNCIADO. Dos móviles inician un movimiento rectilíneo desde el mismo punto de partida. El primer móvil se mueve de acuerdo con la fórmula $e=t$ y el segundo según la fórmula $e=\dfrac{1}{9}\,t^2$ , donde $t$ indica el tiempo transcurrido desde la partida ( medido en segundos ) y $e$ la distancia al punto de partida ( medida en metros ). Se pide:
a) Dibujar las dos gráficas en un mismo diagrama cartesiano
b) ¿ Cuánto tiempo tiene que transcurrir hasta que el segundo móvil alcance al primero ? ¿ A qué distancia del punto de partida lo alcanzará ?

SOLUCIÓN.
a)

b)
La respuesta a la pregunta viene dada por las coordenadas del punto de intersección de las dos funciones, luego $$t=\dfrac{1}{9}\,t^2$$ y por tanto $$9t-t^2=0$$ con lo cual $$t\,(9-t)=0 \Leftrightarrow t=\left\{\begin{matrix}0 \\ 9\end{matrix}\right.$$ Es evidente que el valor de la solución que nos interesa es el segundo, $9\,\text{s}$, pues el primer valor corresponde al instante en que los dos móviles salen (del mismo) punto de partida.

La distancia ( medida desde el punto de partida ) a la que el segundo móvil da alcance al primero es igual a $e(9)=9\,\text{m}$

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Un ejercicio sobre las nociones de función de oferta y función de demanda. Equilibrio del mercado.

ENUNCIADO. En un mercado, las funciones de oferta y de demanda ( cuyos valores se miden en miles de unidades ) de un determinado producto, en función del precio $x$ ( medido en euros ) son $f(x)=\dfrac{1}{4}\,x^2$ y $g(x)=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3$, respectivamente. Se pide:

a) Dibujar las gráficas de dichas funciones en un mismo diagrama

b) Decir cuáles son los dominios de definición de sendas funciones, teniendo en cuenta su significado

c) Calcular las coordenadas del punto de intersección de dichas gráficas.
Nota: Este punto representa un cierto equilibrio del mercado.

SOLUCIÓN.

a)
Representado las dos parábolas en un mismo diagrama cartesiando,

b)
Teniendo en cuenta que no tiene sentido que el valor de función de $g$ sea negativo, $\text{Dom}\,g=[0,r]\subset \mathbb{R}$, donde $r$ es la raíz positiva de dicha función, que obtenemos de igualar a cero el valor de función $$0=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3 \Leftrightarrow x=\left|\sqrt{6}\right|$$ luego $$\text{Dom}\,g=[0,\left|\sqrt{6}\right|]\subset \mathbb{R}$$

Por otra parte es claro que
$$\text{Dom}\,f = [0,+\infty)\subset \mathbb{R}$$

c)
Obtenemos la abscisa del punto de intersección, $E$, de las dos parábolas igualando los valores de función $$\dfrac{1}{4}\,x^2=-\dfrac{1}{2}\,x^2+3$$ y por tanto $$x^2=-2\,x^2+12$$ luego $x^2=4$ con lo cual $x_{E}=\left|\sqrt{4}\right|=2\, \text{euros}$. Así, pues, la ordenada de dicho punto, $y_E$, es igual a $f(x_E)=f(2)=\dfrac{1}{4}\cdot 2^2=1\,\text{millar de unidades}$

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Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa

ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+3$ mediante traslaciones del trazo de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa $g(x)=\dfrac{1}{x}$

SOLUCIÓN.
Desplazando rígidamente el trazo verde, $y=\dfrac{1}{x}$, dos unidades en la dirección y sentido positivo del eje de abscisas obtenemos el trazo de color rojo, $y=\dfrac{1}{x-2}$; y desplazando éste tres unidades en la dirección y sentido positivo del eje de ordenadas obtenemos el trazo azul, que corresponde a la función pedida $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+3$, tal como se muestra en el gráfico:

Funciones cuadráticas. Parábolas. Elementos notables

ENUNCIADO. Hallar los elementos notables de la parábola $f(x)=(x+2)^2-1$ y dibujar la gráfica.

SOLUCIÓN.
Raíces: $0=(x+2)^2-1 \Leftrightarrow x+2=\pm 1 \Leftrightarrow x=-2\pm 1 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2+1=-1\\ \\ -2-1= -3\end{matrix}\right.$
Entonces, $r_1=-3$ y $r_2=-1$. Hay pues dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(-3,0)$ y $A_2(-1,0)$

Vértice de la parábola: $x_v=\dfrac{r_1+r_2}{2}=\dfrac{-1+(-3)}{2}=-2$; $y_v=f(x_V)=f(-2)=(-2+2)^2-1=-1$. Luego el vértice es $V(-2,-1)$

Ecuación de la recta de simetría de la parábola: $x=x_v$, esto es, $\text{r.s.}:x=-2$

Ordenada en el origen: $f(0)=(0+2)^2-1=4-1=3$. Así pues el punto de corte con el eje de ordenadas es $B(0,3)$

Gráfica de la función:

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Calculando la tasa de variación media de una función en diversos intervalos. Información que se desprende de sus valores.

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^2+3$. Se pide:
a) La tasa de variación media TVM de la función en los intervalos $[\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$ y $[-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]$
b) Con los resultados del apartado anterior, ¿ qué información se obtiene sobre el comportamiento de la función para valores próximos a $\dfrac{1}{3}$ y $-\dfrac{1}{2}$, respectivamente ?

SOLUCIÓN.
a) Recordemos que $\text{TVM}([a,b])\overset{\text{def}}{=}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Entonces, $$\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}])=\dfrac{f(\frac{1}{2})-f(\frac{1}{3})}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\dfrac{(-(\frac{1}{2})^2+3)-(-(\frac{1}{3})^2+3)}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=-\dfrac{5}{6} \prec 0$$

$$\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}])=\dfrac{f(-\frac{1}{3})-(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})}=\dfrac{(-(-\frac{1}{3})^2+3)-(-(-\frac{1}{2})^2+3)}{-\frac{1}{3}-(-\frac{1}{2})} = \dfrac{5}{6} \succ 0$$

b)
Como $\text{TVM}([\frac{1}{3},\frac{1}{2}]) \prec 0$, la función es decreciente alrededor de $x=\dfrac{1}{3}$
Como $\text{TVM}([-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}]) \succ 0$, la función es creciente alrededor de $x=-\dfrac{1}{2}$

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Introducción a las demostraciones matemáticas. Ejemplo: La operación composición de funciones no conmuta

ENUNCIADO. Demuéstrese que la operación composición de funciones no es conmutativa

SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Supongamos que la composición de funciones sea conmutativa. Consideremos ahora dos funciones, pongamos que, $f(x):=2\,x+1$ y $g(x):=x+3$. Entonces, para todo $x$ de $D_f$ ( dominio de definición de $f$ ) y de $D_g$ ( dominio de definición de $g$ ) se cumple que $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=2\,(x+3)+1=2\,x+6+1=2\,x+7$$ y, sin embargo, $$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(2\,x+1)=2\,(x+1)+3=2\,x+3+2=2\,x+5 \neq (f \circ g)(x)$$ que contradice la hipótesis de partida, luego se desprende de ello que, en general ( para todo par de funciones ) no se cumple la propiedad conmutativa, ya que, debido a la contradicción a la que hemos llegado, nos vemos obligados a negar la hipótesis de partida. $\square$

Acerca de la función recíproca de una función dada: no siempre existe

ENUNCIADA. Demuéstrese que la función $f(x)=x^4$ no tiene función recíproca.

SOLUCIÓN. Una función $f$, definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, tiene asociada una ( y sólo una ) función recíproca $f^{-1}$ si y sólo si $f$ es biyectiva. Y, para que una función sea biyectiva, ha de ser sobreyectiva e inyectiva. Vamos a probar que la función pedida no es inyectiva; para ello basta encontrar dos valores de su dominio de definición, $x_1$ y $x_2$, distintos, y tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Y, en efecto, para $x_1=-2$ y $x_2=2$, vemos que $f(-2)=f(x_2)=5$, luego $f$ no es inyectiva, luego no es biyectiva, luego no tiene función recíproca. $\square$