martes, 26 de noviembre de 2019
miércoles, 16 de octubre de 2019
Intervalo de incertidumbre del resultado de un cálculo con datos afectados de error
ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes aproximaciones por redondeo simétrico: $a \approx \bar{a}=2,6\,\text{(2 c.s.)}$ y $a \approx \bar{b}=34,14\,\text{(4 c.s.)}$. Exprésense los resultados de los siguientes cálculos con el número de cifras significativas que corresponda a cada uno y determínese una cota razonable del error absoluto asociado a cada uno de ellos:
(1) $4\,a-3b$
(2) $5\,a \, b$
SOLUCIÓN.
Al aproximar por redondeo simétrico una cierta cantidad, y desconociendo el valor exacto $x$ y, por tanto, el error absoluto $E$, podemos tomar media unidad del orden de magnitud de la última cifra significativa como cota razonable de dicho error absoluto, $\Delta \ge E$, que se produce en dicha aproximación; así, en el caso que nos ocupa, $\Delta_{a}=0,05$ y $\Delta_{b}=0,005$, por lo que podemos escribir que $a=2,6\,\pm\,0,05$ y $b=34,14\,\pm\,0,005$
En esta situación ( de desconocimiento de $x$ y, por consiguiente, de $E$ ), una cota razonable del error relativo, $\varepsilon$, la tomaremos razonando de la siguiente manera: el error relativo, $e$, es tal que $e\overset{\text{Def}}{=}\dfrac{E}{|x|}$ luego $e \prec \dfrac{\Delta}{|\bar{x}|-\Delta}$. Así, con los datos del problema: $\varepsilon_a=\dfrac{0,05}{2,6-0,05} \overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,02=2\,\%$, y, por otra parte, $\varepsilon_b=\dfrac{0,005}{34,14-0,005} \overset{\text{por exceso}}{\approx}0,0002=0,02\,\%$
Hemos justificado en clase que en el caso de que las operaciones aritméticas sean sumas ( o restas ), una cota razonable de error absoluto en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error absoluto de los datos. Y, en caso de que entre las operaciones haya productos ( o cocientes ), una cota razonable de error relativo en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos.
Al realizar los cálculos pedidos y presentar los resultados con las cifras significativas correctas encontramos: $4\,a-3b \approx -92,02$ ( limitando el número de cifras decimales significativas (c.s.) a dos, puesto, que al realizar sumas/restas, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de cifras decimales significativas )
$5\,a\,b = 443,82 \approx 440$ ( limitando el número de cifras significativas (c.s.) a dos, puesto que, al intervenir en el cálculo multiplicaciones/divisiones, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de c.s. )
Entonces, como en (1) aparecen sumas ( 7 sumas/restas ) con los datos afectados de error, $\Delta_1=4\,\Delta_a+3\,\Delta_b=0,215\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,22$; por otra parte, como en la operación (2) aparece un producto ( con datos afectados de error -- el factor '5' es exacto -- ), tenemos que, según lo dicho arriba, $\varepsilon_2=0,02+0,0002=0,02002 \Rightarrow \Delta_2 = (5\cdot 2,6\cdot 34,14) =$
$=440 \cdot 0,02002\overset{\text{por exceso}}{\approx} 8,8$ ( aproximando a 2 c.s.)
Así pues, la incertidumbre de los resultados de sendos cálculos ( con sus intervalos ) son:
$4\,a-3b \in (-92.02-0.22\,,\,-92.02+0.22)=(-92.24\,,\,-91.80)$, dicho de otro modo: $4\,a-3b=-92,02\,\pm 0.22$
y
$5\,a\,b =\in (440-8.8\,,\,440+8.8)=(431.2\,,\,448.8)$, dicho de otro modo: $5\,a\,b=440\,\pm 8,8$
$\square$
Se han realizado las siguientes aproximaciones por redondeo simétrico: $a \approx \bar{a}=2,6\,\text{(2 c.s.)}$ y $a \approx \bar{b}=34,14\,\text{(4 c.s.)}$. Exprésense los resultados de los siguientes cálculos con el número de cifras significativas que corresponda a cada uno y determínese una cota razonable del error absoluto asociado a cada uno de ellos:
(1) $4\,a-3b$
(2) $5\,a \, b$
SOLUCIÓN.
Al aproximar por redondeo simétrico una cierta cantidad, y desconociendo el valor exacto $x$ y, por tanto, el error absoluto $E$, podemos tomar media unidad del orden de magnitud de la última cifra significativa como cota razonable de dicho error absoluto, $\Delta \ge E$, que se produce en dicha aproximación; así, en el caso que nos ocupa, $\Delta_{a}=0,05$ y $\Delta_{b}=0,005$, por lo que podemos escribir que $a=2,6\,\pm\,0,05$ y $b=34,14\,\pm\,0,005$
En esta situación ( de desconocimiento de $x$ y, por consiguiente, de $E$ ), una cota razonable del error relativo, $\varepsilon$, la tomaremos razonando de la siguiente manera: el error relativo, $e$, es tal que $e\overset{\text{Def}}{=}\dfrac{E}{|x|}$ luego $e \prec \dfrac{\Delta}{|\bar{x}|-\Delta}$. Así, con los datos del problema: $\varepsilon_a=\dfrac{0,05}{2,6-0,05} \overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,02=2\,\%$, y, por otra parte, $\varepsilon_b=\dfrac{0,005}{34,14-0,005} \overset{\text{por exceso}}{\approx}0,0002=0,02\,\%$
Hemos justificado en clase que en el caso de que las operaciones aritméticas sean sumas ( o restas ), una cota razonable de error absoluto en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error absoluto de los datos. Y, en caso de que entre las operaciones haya productos ( o cocientes ), una cota razonable de error relativo en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos.
Al realizar los cálculos pedidos y presentar los resultados con las cifras significativas correctas encontramos: $4\,a-3b \approx -92,02$ ( limitando el número de cifras decimales significativas (c.s.) a dos, puesto, que al realizar sumas/restas, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de cifras decimales significativas )
$5\,a\,b = 443,82 \approx 440$ ( limitando el número de cifras significativas (c.s.) a dos, puesto que, al intervenir en el cálculo multiplicaciones/divisiones, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de c.s. )
Entonces, como en (1) aparecen sumas ( 7 sumas/restas ) con los datos afectados de error, $\Delta_1=4\,\Delta_a+3\,\Delta_b=0,215\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,22$; por otra parte, como en la operación (2) aparece un producto ( con datos afectados de error -- el factor '5' es exacto -- ), tenemos que, según lo dicho arriba, $\varepsilon_2=0,02+0,0002=0,02002 \Rightarrow \Delta_2 = (5\cdot 2,6\cdot 34,14) =$
$=440 \cdot 0,02002\overset{\text{por exceso}}{\approx} 8,8$ ( aproximando a 2 c.s.)
Así pues, la incertidumbre de los resultados de sendos cálculos ( con sus intervalos ) son:
$4\,a-3b \in (-92.02-0.22\,,\,-92.02+0.22)=(-92.24\,,\,-91.80)$, dicho de otro modo: $4\,a-3b=-92,02\,\pm 0.22$
y
$5\,a\,b =\in (440-8.8\,,\,440+8.8)=(431.2\,,\,448.8)$, dicho de otro modo: $5\,a\,b=440\,\pm 8,8$
$\square$
jueves, 3 de octubre de 2019
Número razonable de cifras significativas que se debe dar como resultado de un cálculo a partir de datos afectados de error
ENUNCIADO. Se han medido tres magnitudes, $a,b$ y $c$, obteniéndose:
$a \approx \bar{a}=24,256$; con 4 cifras significativs (4 c.s.), 3 de las cuales son de la parte decimal ( 3 c.d.s.)
$b\approx \bar{b}=1,38$; con 3 cifras significativs (3 c.s.), 2 de las cuales son de la parte decimal (2 c.d.s.)
$c\approx \bar{b}=1001,1$; con 5 cifras significativs (5 c.s.) , 1 de las cuales es de la parte decimal ( 1 c.d.s.)
Opérese y exprésese el resultado con el número de cifras significativa que proceda:
a) $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c}$
b) $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c}$
c) $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b}$
SOLUCIÓN.
Nota preliminar:
Recordemos el criterio de limitación en el número de cifras significativas del resultado en el que nos tenemos que basar para decidir el número de cifras significativas del resultado, y que viene dado, lógicamente, por el nivel de precisión de los datos y por las operaciones que intervangan en el cálculo, teniendo en cuenta que las sumas y las restas no amplifican tanto los errores como puedan hacerlo las multiplicaciones y la divisiones, por lo que en el caso de que únicamente hagamos sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras decimales significativas ( si entre los datos hay alguna cantidad con parte decimal ), y, de haber multiplicaciones o divisiones, consideraremos el número total de cifras significativas de los datos. Resumiendo:
i) Si en la operación ( combinada, en general ) intervienen sólo sumas o bien restas, el número de cifras decimales significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras decimales significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los sumandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al del dato con menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
ii) Si en la operación ( combinada, en general ) interviene alguna operación de multiplicación/división, el número de cifras significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los operandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al que tenga el menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
-oOo-
a) $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c} \overset{\text{cálculo}}{=} 1023,976$; ahora bien, al haber sólo sumas y restas en esta operación combinada, limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras decimales significativas ( que corresponde al de $\bar{c}$, con $1$ cifra decimal significativa ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden decimal de las décimas escribiremos $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c} = 1024,0 \, \text{(1 c.d.s.)}$
b) $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c} \overset{\text{cálculo}}{=} 426\,812,1195$; ahora bien, al haber multiplicaciones/divisiones en esta operación combinada, limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{b}$, con $3$ cifras significativas ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden de la última cifra significativa de dicho dato, escribiremos $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c} = 427\,000 \, \text{(3 c.s.)}$
c) $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b} \overset{\text{cálculo}}{=} 24\,281,3016$; y, al haber multiplicaciones/divisiones en esta operación combinada -- si bien también hay una resta --, el factor limitante es el del número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{b}$, con $3$ cifras significativas ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden de la última cifra significativa de dicho dato, escribiremos $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b} = 24\,300 \, \text{(3 c.s.)}$
$\square$
$a \approx \bar{a}=24,256$; con 4 cifras significativs (4 c.s.), 3 de las cuales son de la parte decimal ( 3 c.d.s.)
$b\approx \bar{b}=1,38$; con 3 cifras significativs (3 c.s.), 2 de las cuales son de la parte decimal (2 c.d.s.)
$c\approx \bar{b}=1001,1$; con 5 cifras significativs (5 c.s.) , 1 de las cuales es de la parte decimal ( 1 c.d.s.)
Opérese y exprésese el resultado con el número de cifras significativa que proceda:
a) $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c}$
b) $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c}$
c) $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b}$
SOLUCIÓN.
Nota preliminar:
Recordemos el criterio de limitación en el número de cifras significativas del resultado en el que nos tenemos que basar para decidir el número de cifras significativas del resultado, y que viene dado, lógicamente, por el nivel de precisión de los datos y por las operaciones que intervangan en el cálculo, teniendo en cuenta que las sumas y las restas no amplifican tanto los errores como puedan hacerlo las multiplicaciones y la divisiones, por lo que en el caso de que únicamente hagamos sumas y restas, nos fijaremos en el número de cifras decimales significativas ( si entre los datos hay alguna cantidad con parte decimal ), y, de haber multiplicaciones o divisiones, consideraremos el número total de cifras significativas de los datos. Resumiendo:
i) Si en la operación ( combinada, en general ) intervienen sólo sumas o bien restas, el número de cifras decimales significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras decimales significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los sumandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al del dato con menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
ii) Si en la operación ( combinada, en general ) interviene alguna operación de multiplicación/división, el número de cifras significativas del resultado vendrá dado por el número de cifras significativas del dato con el menor número de ellas, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden. Y, desde luego, si los operandos son números enteros, daremos el número de cifras significativas que corresponde al que tenga el menor número de ellas, sustituyendo el resto de las mismas por ceros, aproximando por redondeo simétrico a dicho orden.
a) $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c} \overset{\text{cálculo}}{=} 1023,976$; ahora bien, al haber sólo sumas y restas en esta operación combinada, limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras decimales significativas ( que corresponde al de $\bar{c}$, con $1$ cifra decimal significativa ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden decimal de las décimas escribiremos $\bar{a}-\bar{b}+\bar{c} = 1024,0 \, \text{(1 c.d.s.)}$
b) $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c} \overset{\text{cálculo}}{=} 426\,812,1195$; ahora bien, al haber multiplicaciones/divisiones en esta operación combinada, limitaremos el número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{b}$, con $3$ cifras significativas ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden de la última cifra significativa de dicho dato, escribiremos $\dfrac{\bar{a}^2}{\bar{b}}\cdot \bar{c} = 427\,000 \, \text{(3 c.s.)}$
c) $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b} \overset{\text{cálculo}}{=} 24\,281,3016$; y, al haber multiplicaciones/divisiones en esta operación combinada -- si bien también hay una resta --, el factor limitante es el del número de cifras significativas del dato con menor número de cifras significativas ( que corresponde al de $\bar{b}$, con $3$ cifras significativas ); por consiguiente, aproximando por redondeo simétrico al orden de la última cifra significativa de dicho dato, escribiremos $\bar{c}\cdot \bar{a}-\bar{b} = 24\,300 \, \text{(3 c.s.)}$
$\square$
miércoles, 2 de octubre de 2019
Intervalos en la recta numérica definidos con ayuda de la operación valor absoluto
ENUNCIADO. Describe en la recta numérica el conjunto de números reales $x$ que cumplen la siguiente condición $|x-2|\succ 3$ y expresa el resultado en la notación de paréntesis
SOLUCIÓN. El cojunto de números reales del que se está hablando es
$\{x\in \mathbb{R}:|x-2|\succ 3\}=\{x\in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2)\succ 3\}\overset{(1)}{=}$
$\{x \in \mathbb{R}: -\infty \prec x \prec -1\} \cup \{x \in \mathbb{R}: 5 \prec x \prec +\infty\} =$
$=(-\infty,-1) \cup (5,+\infty)$ ( unión de semirrectas )
Aclaración (1):
$\text{distancia}(x-2)\succ 3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2\succ 3 \Rightarrow x \succ 2+3 \Rightarrow x \succ 5 \\ \\ -(x-2)\succ 3 \Rightarrow -x\succ 3-2 \Rightarrow -x\succ 1 \Rightarrow x \prec -1\end{matrix}\right.$
$\square$
SOLUCIÓN. El cojunto de números reales del que se está hablando es
$\{x\in \mathbb{R}:|x-2|\succ 3\}=\{x\in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2)\succ 3\}\overset{(1)}{=}$
$\{x \in \mathbb{R}: -\infty \prec x \prec -1\} \cup \{x \in \mathbb{R}: 5 \prec x \prec +\infty\} =$
$=(-\infty,-1) \cup (5,+\infty)$ ( unión de semirrectas )
Aclaración (1):
$\text{distancia}(x-2)\succ 3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2\succ 3 \Rightarrow x \succ 2+3 \Rightarrow x \succ 5 \\ \\ -(x-2)\succ 3 \Rightarrow -x\succ 3-2 \Rightarrow -x\succ 1 \Rightarrow x \prec -1\end{matrix}\right.$
$\square$
Sobre el uso de la operación/función valor absoluto para definir intervalos en la recta numérica
ENUNCIADO. Describe en la recta numérica el conjunto de números reales $x$ que cumplen la siguiente condición $|x-2|\prec 3$ y expresa el resultado en la notación de paréntesis
SOLUCIÓN. El cojunto de números reales del que se está hablando es
$\{x\in \mathbb{R}:|x-2|\prec 3\}=\{x\in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2)\prec 3\}\overset{(1)}{=}\{x \in \mathbb{R}: -1 \prec x \prec 5\}=$
$=(-1,5)\subset \mathbb{R}$ ( intervalo abierto de extremos $-1$ y $5$ )
Aclaración (1):
$\text{distancia}(x-2)\prec 3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2\prec 3 \Rightarrow x \prec 2+3 \Rightarrow x \prec 5 \\ \\ -(x-2)\prec 3 \Rightarrow -x\prec 3-2 \Rightarrow -x\prec -1 \Rightarrow x \succ -1\end{matrix}\right.$
$\square$
SOLUCIÓN. El cojunto de números reales del que se está hablando es
$\{x\in \mathbb{R}:|x-2|\prec 3\}=\{x\in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2)\prec 3\}\overset{(1)}{=}\{x \in \mathbb{R}: -1 \prec x \prec 5\}=$
$=(-1,5)\subset \mathbb{R}$ ( intervalo abierto de extremos $-1$ y $5$ )
Aclaración (1):
$\text{distancia}(x-2)\prec 3 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2\prec 3 \Rightarrow x \prec 2+3 \Rightarrow x \prec 5 \\ \\ -(x-2)\prec 3 \Rightarrow -x\prec 3-2 \Rightarrow -x\prec -1 \Rightarrow x \succ -1\end{matrix}\right.$
$\square$
jueves, 13 de junio de 2019
Extrayendo bolas de colores
ENUNCIADO. En una bolsa hay $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras. Se extraen $2$ bolas, una tras otra, sin que se devuelva a la bolsa la primera bola extraída antes de realizar la segunda extracción.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
b) Una vez se han extraído las dos bolas, nos informa que la segunda bola ha resultado ser negra. ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca ?
SOLUCIÓN.
a) La probabilidad pedida es
$P((B_1 \cap B_2) \cup (N_1 \cap N_2) )=$
$=P(B_1 \cap B_2)+P(N_1 \cap N_2)$ ( por ser $B_1 \cap B_2$ y $N_1 \cap N_2$ dos sucesos incompatibles )
$=P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$
$=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{2}{5}$
b)
Teniendo en cuenta que $P(B_1 \cap N_2 ) = P( N_2 \cap B_1)$ y por la definición de probabilidad condicionada, $$P(B_1 | N_2)\cdot P(N_2) = P(N_2 | B_1)\cdot P(B_1)$$ llegamos al siguiente resultado ( teorema de Bayes ) $$P(B_1|N_2)=\dfrac{P(B_1\cap N_2)}{P(N_2)}=\dfrac{P(N_2|B_1)\cdot P(B_1)}{P(N_2)} \quad\quad [1]$$
Por otra parte1, por el teorema de la probabilidad total: $$P(N_2)=P(N_2|B_1)\cdot P(B_1)+P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$$ que, con los datos,tiene el siguiente valor $P(N_2)=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{2}{5}$
Y sustituyéndolo en [1] encontramos la probabilidad pedida: $$P(N_2|B_1)=\dfrac{(3/5)\cdot (2/4)}{2/5}=\dfrac{3}{4}$$
Observación: Lo realizado en este ejercicio se puede esquematizar en un diagrama de árbol, con el que podemos evitar el uso del lenguaje del álgebra de sucesos, si bien éste constituye un modo natural de expresión en los problemas de probabilidad, a cuyo uso os aconsejo que os acostumbréis.
$\square$
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
b) Una vez se han extraído las dos bolas, nos informa que la segunda bola ha resultado ser negra. ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca ?
SOLUCIÓN.
a) La probabilidad pedida es
$P((B_1 \cap B_2) \cup (N_1 \cap N_2) )=$
$=P(B_1 \cap B_2)+P(N_1 \cap N_2)$ ( por ser $B_1 \cap B_2$ y $N_1 \cap N_2$ dos sucesos incompatibles )
$=P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$
$=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}$
$=\dfrac{2}{5}$
b)
Teniendo en cuenta que $P(B_1 \cap N_2 ) = P( N_2 \cap B_1)$ y por la definición de probabilidad condicionada, $$P(B_1 | N_2)\cdot P(N_2) = P(N_2 | B_1)\cdot P(B_1)$$ llegamos al siguiente resultado ( teorema de Bayes ) $$P(B_1|N_2)=\dfrac{P(B_1\cap N_2)}{P(N_2)}=\dfrac{P(N_2|B_1)\cdot P(B_1)}{P(N_2)} \quad\quad [1]$$
Por otra parte1, por el teorema de la probabilidad total: $$P(N_2)=P(N_2|B_1)\cdot P(B_1)+P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$$ que, con los datos,tiene el siguiente valor $P(N_2)=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{2}{5}$
Y sustituyéndolo en [1] encontramos la probabilidad pedida: $$P(N_2|B_1)=\dfrac{(3/5)\cdot (2/4)}{2/5}=\dfrac{3}{4}$$
Observación: Lo realizado en este ejercicio se puede esquematizar en un diagrama de árbol, con el que podemos evitar el uso del lenguaje del álgebra de sucesos, si bien éste constituye un modo natural de expresión en los problemas de probabilidad, a cuyo uso os aconsejo que os acostumbréis.
$\square$
martes, 28 de mayo de 2019
Acerca de la base y del argumento de un logaritmo
ENUNCIADO ¿ Qué tipo de números reales pueden ser base logarítmica ? Y el argumento de un logaritmo, ¿ qué tipo de número real debe ser para que, según la definición, todo sea coherente ?
SOLUCIÓN. Recordemos que ( definición ) $$\log_{b}\,a=\ell \Leftrightarrow b^{\ell}=a$$, siendo $a,b$ y $\ell$ números reales. El valor del logaritmo, $\ell$, puede tomar cualquier valor finito: positivo, negativo o cero; por otra parte, $b$ es lo que llamamos "base" del logaritmo. Veamos ahora cómo debe ser el número real que elijamos como base logarítmica. Reflexionando sobre ello, veremos también cómo debe ser el argumento $a$ de un logaritmo ( un número real positivo ).
Es evidente que:
i) La base $b$ ha de ser distinta de $0$, puesto que de ser así, para $a\neq 0$, tendríamos que $0^\ell = 0 \neq a$
ii) La base $b$ ha de ser mayor que $0$. Pogamos que fuese negativa; por ejemplo ( y sin pérdida de generalidad ), igual a $-3$, y que nos propusiésemos calcula $\log_{-3}\,3$; entonces el valor del logaritmos $\ell \in \mathbb{R}$ debería cumplir la igualdad $(-3)^{\ell}=3$, que es imposible satisfacer.
iii) En particular, tampoco puede ser la base igual a $1$, puesto que si así fuese, nos encontraríamos que $\log_{1}\,a=\ell \Rightarrow 1^{\ell}=1\neq a$
Resumiendo: $b$ ha de ser necesariamente un número positivo y distinto de $1$. Con lo cual podemos asegurar que $a$ ha de ser, también, un número ( real ) positivo, puesto que de ser negativo, y teniendo en cuenta las conclusiones que acabamos de sacar, no podría satisfacerse la igualdad que define el logaritmo. Subrayemos que tampoco $a$ puede $0$, ya que en ese caso $\log_{b}\,0=\ell$ y, siendo así, $\ell$ no sería finito, como debe ser de acuerdo con la definición, ya que de la misma cabría escribir: $0=b^{-\infty}$.
Algunos ejemplos:
$\log_{-2}\;(3)$ Este logaritmo no está mal definido, pues su base es un número negativo
$\log_{2}\;(8)=3$, ya que $2^3=8$
$\log_{1}\;(5)$ Este logaritmo no está bien definido pues su base es $1$, y ocurre que, suponiendo que su valor fuese $\ell$ entonces $1^\ell = 1 \neq 5$, incumpliéndose la definición
$\log_{b}\;(-6)\;\text{donde}\; b\succ 0$. En este caso, si bien la base $b$ es positiva, el logaritmo no está definido para $-6$ por ser dicho argumento un número negativo
Observación: Denominamos logaritmo natural de un número $a \succ 0$ al logaritmo con base el número trascendente $e=2,718281\ldots$. Encontramos dicha constante como límite de la sucesión $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ al hacer tender la variable de control del límite, $n\in \mathbb{N}$, a infinito.
$\square$
SOLUCIÓN. Recordemos que ( definición ) $$\log_{b}\,a=\ell \Leftrightarrow b^{\ell}=a$$, siendo $a,b$ y $\ell$ números reales. El valor del logaritmo, $\ell$, puede tomar cualquier valor finito: positivo, negativo o cero; por otra parte, $b$ es lo que llamamos "base" del logaritmo. Veamos ahora cómo debe ser el número real que elijamos como base logarítmica. Reflexionando sobre ello, veremos también cómo debe ser el argumento $a$ de un logaritmo ( un número real positivo ).
Es evidente que:
i) La base $b$ ha de ser distinta de $0$, puesto que de ser así, para $a\neq 0$, tendríamos que $0^\ell = 0 \neq a$
ii) La base $b$ ha de ser mayor que $0$. Pogamos que fuese negativa; por ejemplo ( y sin pérdida de generalidad ), igual a $-3$, y que nos propusiésemos calcula $\log_{-3}\,3$; entonces el valor del logaritmos $\ell \in \mathbb{R}$ debería cumplir la igualdad $(-3)^{\ell}=3$, que es imposible satisfacer.
iii) En particular, tampoco puede ser la base igual a $1$, puesto que si así fuese, nos encontraríamos que $\log_{1}\,a=\ell \Rightarrow 1^{\ell}=1\neq a$
Resumiendo: $b$ ha de ser necesariamente un número positivo y distinto de $1$. Con lo cual podemos asegurar que $a$ ha de ser, también, un número ( real ) positivo, puesto que de ser negativo, y teniendo en cuenta las conclusiones que acabamos de sacar, no podría satisfacerse la igualdad que define el logaritmo. Subrayemos que tampoco $a$ puede $0$, ya que en ese caso $\log_{b}\,0=\ell$ y, siendo así, $\ell$ no sería finito, como debe ser de acuerdo con la definición, ya que de la misma cabría escribir: $0=b^{-\infty}$.
Algunos ejemplos:
$\log_{-2}\;(3)$ Este logaritmo no está mal definido, pues su base es un número negativo
$\log_{2}\;(8)=3$, ya que $2^3=8$
$\log_{1}\;(5)$ Este logaritmo no está bien definido pues su base es $1$, y ocurre que, suponiendo que su valor fuese $\ell$ entonces $1^\ell = 1 \neq 5$, incumpliéndose la definición
$\log_{b}\;(-6)\;\text{donde}\; b\succ 0$. En este caso, si bien la base $b$ es positiva, el logaritmo no está definido para $-6$ por ser dicho argumento un número negativo
Observación: Denominamos logaritmo natural de un número $a \succ 0$ al logaritmo con base el número trascendente $e=2,718281\ldots$. Encontramos dicha constante como límite de la sucesión $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ al hacer tender la variable de control del límite, $n\in \mathbb{N}$, a infinito.
$\square$
lunes, 27 de mayo de 2019
Dos LED que se encienden y apagan de forma aleatoria
ENUNCIADO. Se ha diseñado un circuito electrónico que enciende al azar dos LED, uno rojo y otro azul, de manera aleatoria. En un intervalo de tiempo lo suficientemente largo, se ha contabilizado la duración de tiempo en que ambos LED han estado encendidos: un $4\,\%$ el LED rojo, un $6\,\%$ el LED azul, y un $1\,\%$ los dos a la vez. Sin mirar los LED, nos preguntamos por la probabilidad de que en un cierto instante de tiempo:
a) Esté encendido algún LED
b) No esté encendido ningún LED
c) Se encienda el LED rojo, estando informados de que está encendido el LED azul
d) Se encienda el LED azul, estando informados de que está encendido el LED rojo
e) ¿ Es independiente el encendido de un LED con respecto al del otro ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso "encederse el LED azul" y por $R$ al suceso "encenderse el LED rojo.
a) Por la fórmula de inclusión-exclusión $$P(A \cup R ) = P(A)+P(R)-P(A\cap R)$$ y, con los datos, llegamos a $$P(A \cup R ) = 0,04+0,06-0,01=0,09=9\,\%$$
b) P("no esté encendido ningún LED")=1-P("esté encendido almenos uno")=
$=1-P(A \cap R)=1-0,09=0,91 = 91 \,\%$
c) $P(R|A)=\dfrac{P(R \cap A}{P(A)}=\dfrac{0,01}{0,04}=\dfrac{1}{4}=25\,\% $
d) $P(A|R)=\dfrac{P(A \cap R}{P(R)}=\dfrac{0,01}{0,06}=\dfrac{1}{6}\approx 17\,\%$
e) Como $P(A|R)=\dfrac{1}{6}\neq P(A)=\dfrac{6}{100}$ y $P(R|A)=\dfrac{1}{4}\neq P(R)=\dfrac{4}{100}$, los sucesos $A$ y $R$ no son independientes.
$\square$
a) Esté encendido algún LED
b) No esté encendido ningún LED
c) Se encienda el LED rojo, estando informados de que está encendido el LED azul
d) Se encienda el LED azul, estando informados de que está encendido el LED rojo
e) ¿ Es independiente el encendido de un LED con respecto al del otro ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso "encederse el LED azul" y por $R$ al suceso "encenderse el LED rojo.
a) Por la fórmula de inclusión-exclusión $$P(A \cup R ) = P(A)+P(R)-P(A\cap R)$$ y, con los datos, llegamos a $$P(A \cup R ) = 0,04+0,06-0,01=0,09=9\,\%$$
b) P("no esté encendido ningún LED")=1-P("esté encendido almenos uno")=
$=1-P(A \cap R)=1-0,09=0,91 = 91 \,\%$
c) $P(R|A)=\dfrac{P(R \cap A}{P(A)}=\dfrac{0,01}{0,04}=\dfrac{1}{4}=25\,\% $
d) $P(A|R)=\dfrac{P(A \cap R}{P(R)}=\dfrac{0,01}{0,06}=\dfrac{1}{6}\approx 17\,\%$
e) Como $P(A|R)=\dfrac{1}{6}\neq P(A)=\dfrac{6}{100}$ y $P(R|A)=\dfrac{1}{4}\neq P(R)=\dfrac{4}{100}$, los sucesos $A$ y $R$ no son independientes.
$\square$
martes, 14 de mayo de 2019
Acerca de la noción de dependencia de sucesos. Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes.
Para introducir el concepto de sucesos condicionados y estos dos importantes teoremas ( t. de la Probabilidad Total y t. de Bayes ) nos centraremos en un problema sencillo, tal como éste:
Consideremos una bolsa que contiene $7$ bolas, todas del mismo tamaño, textura y peso; sin embargo $3$ de ellas son blancas y $4$ son negras; y, por otra parte, sabemos que algunas de las bolas están hechas de plástico: concretamente, $2$ de las bolas blancas y $1$ de las bolas negras. Extraemos una bola al azar. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que esté hecha de plástico ?
b) Supongamos ahora que alguien nos ha informado de que la bola extraída ha resultado ser de plástico, ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanca/negra ?
SOLUCIÓN.
a) Hay una forma muy sencilla de responder a esta primera pregunta: como hay un total de $3$ bolas de plástico y $7$ bolas en total, por aplicación directa de la regla de Laplace, concluimos sin ninguna dificultad que la probabilidad de que la bola extraída sea de plástico es $\dfrac{3}{7}$.
Sin embargo, la respuesta a la pregunta del segundo apartado ya no es tan evidente. Para poder contestar a esta segunda pregunta, necesitamos rastrear un poco en el meollo del asunto; lo cual nos brindará un buen escenario para reflexionar sobre el importante concepto de probabilidad condicionada.
Enunciaremos y justificaremos también dos importantes resultados, muy útiles para resolver otros problemas más complicados: el Teorema de la Probabilidad Total ( que nos servirá para encontrar el resultado del primer apartado, desde otra persepectiva ) y el Teorema de Bayes.
Para mayor detalle, véanse invito al lector a que después de leer lo que sigue, lea también las observaciones y las notas que he añadido al final del artículo, que reinciden en todo lo que vamos a decir al hilo de las preguntas del problema.
Vamos a ello. Denotemos por $B$ al sucesor "extraer bola blanca"; por $N$, a "extraer bola negra"; y, por $\mathcal{P}$, al suceso "extraer una bola hecha de plástico"
Teniendo en cuenta que $$\mathcal{P}=(\mathcal{P}\cap B) \cup (\mathcal{P}\cap N)$$
podemos escribir $$P(\mathcal{P})=P\left((\mathcal{P}\cap B) \cup (\mathcal{P}\cap N)\right)$$ Y como los sucesos $\mathcal{P}\cap B$ y $\mathcal{P}\cap N$ son incompatibles ( disjuntos ), por el tercer axioma sabemos que $$P(\mathcal{P})=P(\mathcal{P}\cap B) + P(\mathcal{P}\cap N)$$ Ahora bien, la probabilidad de obtener una bola que sea de plástico y blanca es igual al producto de la probabilidad de que, sabiendo que sea blanca, dicha bola sea de plástico -- que denotaremos por $P(\mathcal{P}|B)$ ( probabilidad condicionada ) -- y la probabilidad de que sea blanca, esto es: $$P(\mathcal{P}\cap B)=P(\mathcal{P}|B)\,P(B)$$ y la probabilidad de obtener una bola que sea de plástico y negra es igual al producto de la probabilidad de que, sabiendo que sea negra, dicha bola sea de plástico -- que denotaremos por $P(\mathcal{P}|N)$ ( probabilidad condicionada ) -- y la probabilidad de que sea negra, esto es: $$P(\mathcal{P}\cap N)=P(\mathcal{P}|B)\,P(N)$$ Por todo ello puede escribirse lo siguiente $$P(\mathcal{P})=P(\mathcal{P}|B)\,P(B)+P(\mathcal{P}|N)\,P(N)$$
Y teniendo en cuenta que, según el enunciado, y por la regla de Laplace: $P(B)=\dfrac{3}{7}$, $P(N)=\dfrac{4}{7}$, $P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{2}{3}$ y $P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{1}{4}$, encontramos que, como cabría esperar, $$P(\mathcal{P})=\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{7}$$
El siguiente diagrama de árbol resume lo que se ha hecho:
b) Se nos pide ahora que calculemos la siguiente probabilidad $P(B|\mathcal{P})$, siendo ahora $\mathcal{P}$, el suceso condicionador. Partiremos de la siguiente igualdad, que resulta evidente al ser la intersección una operación conmutativa: $$P(\mathcal{P} \cap B) = P(B \cap \mathcal{P})$$ Por lo que se ha dicho anteriormente, el primer miembro es igual a $P(\mathcal{P}|B)\,P(B)$ y el segundo miembro es igual a $P(B|\mathcal{P})\,P(\mathcal{P}$, así que ambas cantidades han de ser iguales: $$P(\mathcal{P}|B)\,P(B)=P(B|\mathcal{P})\,P(\mathcal{P}$$ y, despejando $P(B|\mathcal{P})$, encontramos $$P(B|\mathcal{P})=\dfrac{P(\mathcal{P}|B)\,P(B)}{P(\mathcal{P}}$$ que es lo que afirma el teorema de Bayes. Y con los datos del problema, $$P(B|\mathcal{P})=\dfrac{(3/7)\cdot (2/3)}{3/7}=\dfrac{2}{3}$$ De manera análoga $$P(N|\mathcal{P})=\dfrac{P(\mathcal{P}|N)\,P(N)}{P(\mathcal{P}}$$ que, con los datos del problema, $$P(N|\mathcal{P})=\dfrac{(4/7)\cdot (1/4)}{3/7}=\dfrac{1}{3}$$
-oOo- Observación ( Una reflexión acerca de la noción de independencia de sucesos y de la definición de probabilidad condicionada ): Notemos que si todas las bolas fuesen de plástico, la pareja de sucesos $\mathcal{P}$ y $B$ serían independientes, y por tanto, $P(\mathcal{P}|B)=P(\mathcal{P})$. Y lo mismo sucedería con la pareja de sucesos $\mathcal{P}$ y $N$, también serían independientes, y por tanto $P(\mathcal{P}|N)=P(\mathcal{P})$.
Si $\mathcal{P}$ y $B$ no son independientes, tendremos que $P(\mathcal{P}\cap B)\neq P(\mathcal{P})$; y, lo mismo, con respecto a $\mathcal{P}$ y $B$, si no son independientes: $P(\mathcal{P}\cap N)\neq P(\mathcal{P})$
Deduciremos una expresión de $P(\mathcal{P}\cap B)$ y de $P(\mathcal{P}\cap N)$ a partir de lo que se ha dicho en el desarrollo del primer apartado, que viene a ser una definición natural de probabilidad condicionada ( por la información que tenemos de haber sacado bola blanca ): $$P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{P(\mathcal{P}\cap B)}{P(B)}$$ y, respectivamente, $$P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{P(\mathcal{P}\cap N)}{P(N)}$$, contando con la información de haber extraído una bola negra.
Nota ( Otra manera de justificar la definición de probabilidad condicionada )
Consideremos los sucesos $\mathcal{P}$ y $B$. En buena lógica podemos postular que $P(\mathcal{P}|B)$ ha de ser proporcional a $P(\mathcal{P} \cap B)$, sea cual sea el suceso $B$, que estará incluido en el espacio muestral $\Omega$ asociado a la experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ "extraer una bola de la bolsa". Entonces, existirá una constante ( de proporcionalidad) $k$, de tal manera que $$P(\mathcal{P}|B)=k\,P(\mathcal{P} \cap B)$$ Para determinar dicha constante $k$, supongamos ahora, que sin pérdida de generalidad, $\mathcal{P}:=\Omega$; con lo cual deberá cumplirse que $$P(\Omega|B)=k\,P(\Omega \cap B)$$ Ahora bien, como $B$ está incluído en $\Omega$, $P(\Omega|B)=P(\Omega)=1$ ( que es el suceso seguro ); y, por otra parte, y por la misma razón, $\Omega \cap B = B$, luego $P(\Omega \cap B)=P(B)$. En consecuencia, $$1=k\,P(B) \Rightarrow k = \dfrac{1}{P(B)}$$ por lo cual justificamos así la definición de probabilidad condicionada que hemos dado $$P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{P(\mathcal{P} \cap B)}{P(B)}$$ Y, por supuesto, también podemos decir ( aplicándolo al caso que nos ocupa ) que $$P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{P(\mathcal{P} \cap B)}{P(N)}$$
-oOo- A continuación, y para terminar, una manera más de resolver el problema, empleando una tabla de contingencia:
Consideremos una bolsa que contiene $7$ bolas, todas del mismo tamaño, textura y peso; sin embargo $3$ de ellas son blancas y $4$ son negras; y, por otra parte, sabemos que algunas de las bolas están hechas de plástico: concretamente, $2$ de las bolas blancas y $1$ de las bolas negras. Extraemos una bola al azar. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que esté hecha de plástico ?
b) Supongamos ahora que alguien nos ha informado de que la bola extraída ha resultado ser de plástico, ¿ cuál es la probabilidad de que sea blanca/negra ?
SOLUCIÓN.
a) Hay una forma muy sencilla de responder a esta primera pregunta: como hay un total de $3$ bolas de plástico y $7$ bolas en total, por aplicación directa de la regla de Laplace, concluimos sin ninguna dificultad que la probabilidad de que la bola extraída sea de plástico es $\dfrac{3}{7}$.
Sin embargo, la respuesta a la pregunta del segundo apartado ya no es tan evidente. Para poder contestar a esta segunda pregunta, necesitamos rastrear un poco en el meollo del asunto; lo cual nos brindará un buen escenario para reflexionar sobre el importante concepto de probabilidad condicionada.
Enunciaremos y justificaremos también dos importantes resultados, muy útiles para resolver otros problemas más complicados: el Teorema de la Probabilidad Total ( que nos servirá para encontrar el resultado del primer apartado, desde otra persepectiva ) y el Teorema de Bayes.
Para mayor detalle, véanse invito al lector a que después de leer lo que sigue, lea también las observaciones y las notas que he añadido al final del artículo, que reinciden en todo lo que vamos a decir al hilo de las preguntas del problema.
Vamos a ello. Denotemos por $B$ al sucesor "extraer bola blanca"; por $N$, a "extraer bola negra"; y, por $\mathcal{P}$, al suceso "extraer una bola hecha de plástico"
Teniendo en cuenta que $$\mathcal{P}=(\mathcal{P}\cap B) \cup (\mathcal{P}\cap N)$$
podemos escribir $$P(\mathcal{P})=P\left((\mathcal{P}\cap B) \cup (\mathcal{P}\cap N)\right)$$ Y como los sucesos $\mathcal{P}\cap B$ y $\mathcal{P}\cap N$ son incompatibles ( disjuntos ), por el tercer axioma sabemos que $$P(\mathcal{P})=P(\mathcal{P}\cap B) + P(\mathcal{P}\cap N)$$ Ahora bien, la probabilidad de obtener una bola que sea de plástico y blanca es igual al producto de la probabilidad de que, sabiendo que sea blanca, dicha bola sea de plástico -- que denotaremos por $P(\mathcal{P}|B)$ ( probabilidad condicionada ) -- y la probabilidad de que sea blanca, esto es: $$P(\mathcal{P}\cap B)=P(\mathcal{P}|B)\,P(B)$$ y la probabilidad de obtener una bola que sea de plástico y negra es igual al producto de la probabilidad de que, sabiendo que sea negra, dicha bola sea de plástico -- que denotaremos por $P(\mathcal{P}|N)$ ( probabilidad condicionada ) -- y la probabilidad de que sea negra, esto es: $$P(\mathcal{P}\cap N)=P(\mathcal{P}|B)\,P(N)$$ Por todo ello puede escribirse lo siguiente $$P(\mathcal{P})=P(\mathcal{P}|B)\,P(B)+P(\mathcal{P}|N)\,P(N)$$
Y teniendo en cuenta que, según el enunciado, y por la regla de Laplace: $P(B)=\dfrac{3}{7}$, $P(N)=\dfrac{4}{7}$, $P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{2}{3}$ y $P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{1}{4}$, encontramos que, como cabría esperar, $$P(\mathcal{P})=\dfrac{3}{7}\cdot \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{7}$$
El siguiente diagrama de árbol resume lo que se ha hecho:
b) Se nos pide ahora que calculemos la siguiente probabilidad $P(B|\mathcal{P})$, siendo ahora $\mathcal{P}$, el suceso condicionador. Partiremos de la siguiente igualdad, que resulta evidente al ser la intersección una operación conmutativa: $$P(\mathcal{P} \cap B) = P(B \cap \mathcal{P})$$ Por lo que se ha dicho anteriormente, el primer miembro es igual a $P(\mathcal{P}|B)\,P(B)$ y el segundo miembro es igual a $P(B|\mathcal{P})\,P(\mathcal{P}$, así que ambas cantidades han de ser iguales: $$P(\mathcal{P}|B)\,P(B)=P(B|\mathcal{P})\,P(\mathcal{P}$$ y, despejando $P(B|\mathcal{P})$, encontramos $$P(B|\mathcal{P})=\dfrac{P(\mathcal{P}|B)\,P(B)}{P(\mathcal{P}}$$ que es lo que afirma el teorema de Bayes. Y con los datos del problema, $$P(B|\mathcal{P})=\dfrac{(3/7)\cdot (2/3)}{3/7}=\dfrac{2}{3}$$ De manera análoga $$P(N|\mathcal{P})=\dfrac{P(\mathcal{P}|N)\,P(N)}{P(\mathcal{P}}$$ que, con los datos del problema, $$P(N|\mathcal{P})=\dfrac{(4/7)\cdot (1/4)}{3/7}=\dfrac{1}{3}$$
Si $\mathcal{P}$ y $B$ no son independientes, tendremos que $P(\mathcal{P}\cap B)\neq P(\mathcal{P})$; y, lo mismo, con respecto a $\mathcal{P}$ y $B$, si no son independientes: $P(\mathcal{P}\cap N)\neq P(\mathcal{P})$
Deduciremos una expresión de $P(\mathcal{P}\cap B)$ y de $P(\mathcal{P}\cap N)$ a partir de lo que se ha dicho en el desarrollo del primer apartado, que viene a ser una definición natural de probabilidad condicionada ( por la información que tenemos de haber sacado bola blanca ): $$P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{P(\mathcal{P}\cap B)}{P(B)}$$ y, respectivamente, $$P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{P(\mathcal{P}\cap N)}{P(N)}$$, contando con la información de haber extraído una bola negra.
Nota ( Otra manera de justificar la definición de probabilidad condicionada )
Consideremos los sucesos $\mathcal{P}$ y $B$. En buena lógica podemos postular que $P(\mathcal{P}|B)$ ha de ser proporcional a $P(\mathcal{P} \cap B)$, sea cual sea el suceso $B$, que estará incluido en el espacio muestral $\Omega$ asociado a la experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ "extraer una bola de la bolsa". Entonces, existirá una constante ( de proporcionalidad) $k$, de tal manera que $$P(\mathcal{P}|B)=k\,P(\mathcal{P} \cap B)$$ Para determinar dicha constante $k$, supongamos ahora, que sin pérdida de generalidad, $\mathcal{P}:=\Omega$; con lo cual deberá cumplirse que $$P(\Omega|B)=k\,P(\Omega \cap B)$$ Ahora bien, como $B$ está incluído en $\Omega$, $P(\Omega|B)=P(\Omega)=1$ ( que es el suceso seguro ); y, por otra parte, y por la misma razón, $\Omega \cap B = B$, luego $P(\Omega \cap B)=P(B)$. En consecuencia, $$1=k\,P(B) \Rightarrow k = \dfrac{1}{P(B)}$$ por lo cual justificamos así la definición de probabilidad condicionada que hemos dado $$P(\mathcal{P}|B)=\dfrac{P(\mathcal{P} \cap B)}{P(B)}$$ Y, por supuesto, también podemos decir ( aplicándolo al caso que nos ocupa ) que $$P(\mathcal{P}|N)=\dfrac{P(\mathcal{P} \cap B)}{P(N)}$$
jueves, 9 de mayo de 2019
Distribución de un conjunto de lápices de colores entre un conjunto de personas
ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices ( de distintos colores ) entre $4$ personas
SOLUCIÓN. Denotemos por $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$, cada una de las personas entre las que queremos distribuir los lápices $L_1,L_2,L_3,L_4$ y $L_5$. Ello es equivalente a formar "palabras" del tipo:
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_2 & P_4 & P_3\end{matrix}$
cuyo significado es: asignar los lápice $L_1$ y $L_2$ a $P_1$; el lápiz $L_3$ a $P_2$; el lápiz $L_4$ a $P_3$, y el lápiz $L_5$ a $P_4$
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_1 & P_1 & P_4\end{matrix}$
con el siguiente significado: asignar los lápices $L_1$, $L_2$, $L_3$ y $L_4$ a $P_1$, el lápiz $L_5$ a $P_4$ y ningún lápiz ni a $P_2$ ni a $P_3$
... etcétera
Reflexionando sobre ésto, es evidente que importa el orden de asignación (de persona a cada lápiz), luego se trata de un problema de variaciones. Y, al poder repetir la asignación de una misma persona a varios lápices ( dicha persona se queda con tales lápices ), se trata de variaciones con repetición.
Concretamente, tenemos $4$ posibilidades a la hora de elegir la persona que asignaremos al lápiz $L_1$; $4$ posibilidades para asignar una persona al lápiz $L_2$; las mismas para hacer la asignación de persona al lápiz $L_3$, y otras tantas para las asignaciones de persona a los lápices $L_4$ y $L_5$. Por consiguiente, aplicando el principio de independencia de elecciones ( p. multiplicativo ), resulta que el número de maneras de distribuir los lápices es $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$, esto es $VR_{4,5}=4^5=1024$.
NOTA ( Generalización a un número genérico de lápices, $\ell$, y de personas $p$):
$\text{VR}_{p,\ell}=p^{\ell}$ maneras de efectuar la distribución de los $\ell$ lápices entre las $p$ personas.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$, cada una de las personas entre las que queremos distribuir los lápices $L_1,L_2,L_3,L_4$ y $L_5$. Ello es equivalente a formar "palabras" del tipo:
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_2 & P_4 & P_3\end{matrix}$
cuyo significado es: asignar los lápice $L_1$ y $L_2$ a $P_1$; el lápiz $L_3$ a $P_2$; el lápiz $L_4$ a $P_3$, y el lápiz $L_5$ a $P_4$
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_1 & P_1 & P_4\end{matrix}$
con el siguiente significado: asignar los lápices $L_1$, $L_2$, $L_3$ y $L_4$ a $P_1$, el lápiz $L_5$ a $P_4$ y ningún lápiz ni a $P_2$ ni a $P_3$
... etcétera
Reflexionando sobre ésto, es evidente que importa el orden de asignación (de persona a cada lápiz), luego se trata de un problema de variaciones. Y, al poder repetir la asignación de una misma persona a varios lápices ( dicha persona se queda con tales lápices ), se trata de variaciones con repetición.
Concretamente, tenemos $4$ posibilidades a la hora de elegir la persona que asignaremos al lápiz $L_1$; $4$ posibilidades para asignar una persona al lápiz $L_2$; las mismas para hacer la asignación de persona al lápiz $L_3$, y otras tantas para las asignaciones de persona a los lápices $L_4$ y $L_5$. Por consiguiente, aplicando el principio de independencia de elecciones ( p. multiplicativo ), resulta que el número de maneras de distribuir los lápices es $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$, esto es $VR_{4,5}=4^5=1024$.
NOTA ( Generalización a un número genérico de lápices, $\ell$, y de personas $p$):
$\text{VR}_{p,\ell}=p^{\ell}$ maneras de efectuar la distribución de los $\ell$ lápices entre las $p$ personas.
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El problema del camarero. Combinaciones con repetición.
ENUNCIADO. Cinco amigos se reúnen en una terraza de un bar. Cada uno pide una bebida. El camarero, habiéndoles preguntado qué quieren tomar, ya en la barra para llenar la bandeja recuerda que han le han podido pedir cafés, cervezas y tónicas ( 3 tipos de bebidas ); sin embargo, ha olvidado cuántas personas han pedido café, cuántas han pedido cervezas y cuántas han pedido tónicas. ¿ De cuántas maneras pueden haberle hecho el pedido ?.
SOLUCIÓN. Podemos pensar la situación de modo que a cada tipo de bebida se le asignen personas del grupo de amigos; por consiguiente, no importa el orden de asignación, puesto que al camarero sólo le importa cuántos tipos de bebidas le han pedido; además, es evidente que varias personas pueden pedir el mismo tipo de bebida, luego el problema es de combinaciones con repetición.
Veamos una manera de plantearlo adecuada que nos ayude a pensar los cálculos de forma clara. Para ello, supongamos que distribuimos 5 símbolos iguales ( pongamos que cruces, que representan las personas ) en un conjunto de 3 compartimentos adyacentes ( los 3 tipos de bebia ), luego necesitaremos 3-1=2 símbolos para separar un compartimento de otro.
De esta manera, los posibles pedidos se codificarán de la manera siguiente:
La primera significa que el pedido consta de 3 cafés, 1 cerveza y 1 tónica; la segunda, de 1 café, 3 cervezas y 1 tónica; la cuarta, de cinco cafés, etcétera
Por consiguiente, el problema queda reducido al de permutar entre sí $5$ cruces (x) y $3-1=2$ barras separadoras (|), luego el número de posibilidades es: $$\dfrac{(5+(3-1))!}{5!\cdot (3-1)!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} = \dfrac{42}{2}=21$$
La solución del problema puede generalizarse fácilmente al de $n$ personas que, en conjunto, han pedido hasta $k$ tipos de bebidas ( donde no necesariamente $n$ tenga que ser mayor o igual que $k$, y, recordemos que piden una cada uno ): $$\dfrac{(m+(n-1))!}{m!\cdot (n-1)!}$$
En los libros suele utilizarse la siguiente notación: $$\text{CR}_{k,n}=\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}$$ y representa la solución del problema genérico de repartir $n$ bolas idénticas en $k$ urnas, que es un caso concreto de un problema de combinaciones con repetición de $n$ objetos elegidos en $k$ clases, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$.
$\square$
SOLUCIÓN. Podemos pensar la situación de modo que a cada tipo de bebida se le asignen personas del grupo de amigos; por consiguiente, no importa el orden de asignación, puesto que al camarero sólo le importa cuántos tipos de bebidas le han pedido; además, es evidente que varias personas pueden pedir el mismo tipo de bebida, luego el problema es de combinaciones con repetición.
Veamos una manera de plantearlo adecuada que nos ayude a pensar los cálculos de forma clara. Para ello, supongamos que distribuimos 5 símbolos iguales ( pongamos que cruces, que representan las personas ) en un conjunto de 3 compartimentos adyacentes ( los 3 tipos de bebia ), luego necesitaremos 3-1=2 símbolos para separar un compartimento de otro.
De esta manera, los posibles pedidos se codificarán de la manera siguiente:
café | cerveza | tónica =============================== xxx | x | x ------------------------------- x | xxx | x ------------------------------- xx | xx | x ------------------------------- xxxxx | | ------------------------------- ...
La primera significa que el pedido consta de 3 cafés, 1 cerveza y 1 tónica; la segunda, de 1 café, 3 cervezas y 1 tónica; la cuarta, de cinco cafés, etcétera
Por consiguiente, el problema queda reducido al de permutar entre sí $5$ cruces (x) y $3-1=2$ barras separadoras (|), luego el número de posibilidades es: $$\dfrac{(5+(3-1))!}{5!\cdot (3-1)!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} = \dfrac{42}{2}=21$$
La solución del problema puede generalizarse fácilmente al de $n$ personas que, en conjunto, han pedido hasta $k$ tipos de bebidas ( donde no necesariamente $n$ tenga que ser mayor o igual que $k$, y, recordemos que piden una cada uno ): $$\dfrac{(m+(n-1))!}{m!\cdot (n-1)!}$$
En los libros suele utilizarse la siguiente notación: $$\text{CR}_{k,n}=\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n}$$ y representa la solución del problema genérico de repartir $n$ bolas idénticas en $k$ urnas, que es un caso concreto de un problema de combinaciones con repetición de $n$ objetos elegidos en $k$ clases, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$.
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sábado, 4 de mayo de 2019
Cálculo de probabilidades. Probabilidad de tener una mano formada por 2 reyes y 3 ases
ENUNCIADO. El crupier reparte cinco cartas a cada jugador, ¿ cuál es la probabilidad de que a un jugador le dé 2 reyes y 3 ases ?
SOLUCIÓN. La baraja española completa está formada por $48$ cartas ( $4$ palos de $12$ cartas cada uno; habiendo en cada palo $1$ as y $1$ rey ), entonces el número de casos posibles ( número de manos que se pueden repartir es $\binom{48}{5}$; por otra parte, el número de casos favorables a la mano referida es $\binom{4}{2}\cdot \binom{4}{3}$. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es igual a $\dfrac{\binom{4}{2}\cdot \binom{4}{3}}{\binom{48}{5}}=\dfrac{1}{71\,346}\approx 0,00001$, una probabilidad ciertamente muy baja.
$\square$
SOLUCIÓN. La baraja española completa está formada por $48$ cartas ( $4$ palos de $12$ cartas cada uno; habiendo en cada palo $1$ as y $1$ rey ), entonces el número de casos posibles ( número de manos que se pueden repartir es $\binom{48}{5}$; por otra parte, el número de casos favorables a la mano referida es $\binom{4}{2}\cdot \binom{4}{3}$. Así, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es igual a $\dfrac{\binom{4}{2}\cdot \binom{4}{3}}{\binom{48}{5}}=\dfrac{1}{71\,346}\approx 0,00001$, una probabilidad ciertamente muy baja.
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Cálculo de probabilidades. ( Una zona de aparcamiento tiene una entrada y cuatro salidas. Tres coches entran ... )
ENUNCIADO. Una zona de aparcamiento tiene una entrada y cuatro salidas. Tres coches entran en el párquing. ¿ Cuál es la probabilidad de que los cuatro salgan por la misma salida ?
SOLUCIÓN. Este problema es análogo al de ordenar tres objetos distintos ( los coches ) en cuatro lugares ( las salidas ), teniendo en consideración el orden en el que los colocamos; así pues, es un problema de variaciones. El número de casos favorables es $4$ ( cualesquiera de las cuatro salidas ) y el número de casos posibles es $\text{VR}_{4,3}=4^3=64$. Entonces, por la regla de Laplace ( los sucesos del espacio muestral que concebimos son equiprobables ), vemos que la probabilidad pedida es $\dfrac{4}{64}$, esto es, $\dfrac{1}{16}$
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SOLUCIÓN. Este problema es análogo al de ordenar tres objetos distintos ( los coches ) en cuatro lugares ( las salidas ), teniendo en consideración el orden en el que los colocamos; así pues, es un problema de variaciones. El número de casos favorables es $4$ ( cualesquiera de las cuatro salidas ) y el número de casos posibles es $\text{VR}_{4,3}=4^3=64$. Entonces, por la regla de Laplace ( los sucesos del espacio muestral que concebimos son equiprobables ), vemos que la probabilidad pedida es $\dfrac{4}{64}$, esto es, $\dfrac{1}{16}$
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martes, 30 de abril de 2019
Ejercicios de combinatoria. Banderas con franjas de colores.
ENUNCIADO. Se consideran $3$ colores distintos para pintar banderas de tres franjas verticales. ¿ Cuántas banderas podemos formar de manera que éstas no tengan dos franjas juntas del mismo color ?
SOLUCIÓN.
Planteamiento 1
El número de maneras de elegir color para la primera franja ( empezando por la izquierda ) es $3$; para la segunda es $2$, ya que no podemos repetir el color empleado para la primera franja; y, para la tercera, sí podemos utilizar el mismo color que en la primera, además del tercer color que queda por elegir, luego caben $2$ posibilidades. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de baderas de tres franjas que son posibles con la condiciones requeridas es $3\cdot 2 \cdot 2 =12$
Planteamiento 2
El número de banderas que podemos formar sin restricción alguna con los tres colores es $3\cdot 3 \cdot 3 = 3^3$, pues hay tres posibles elecciones de color para cada una de las tres franjas.
Tengamos en cuenta ahora la restricción del enunciado. Podemos elegir el color de las dos franjas juntas que tienen el mismo color de $3$ maneras distintas, con lo cual la tercera franja deberemos pintarla con otro de los $3-1=2$ colores restantes; y, además, hay que tener también en cuenta la posibilidad de permutar la posición del grupo formado por las dos franjas del mismo color con la tercera franja (de color distinto al del grupo de las dos franjas juntas ), esto es, de $2$ maneras distintas. Así, por el principio multiplicativo, obtenemos $(3\cdot 2)\cdot 2 = 2^2\cdot 3$ banderas con dos franjas juntas de un mismo color y una tercer franja de distinto color. Sin embargo, es necesario tener en cuenta también, las banderas con las tres franjas del mismo color, que son $3$ ( una para cada elección del color de la bandera monocolor ). Por tanto, hay que descartar del total las $2^2\cdot 3+3$ banderas que incumplen la condición.
Así pues, el número de banderas que no tienen dos franjas juntas del mismo color es $$3^3-(2^2\cdot 3 + 3)=12$$
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OBSERVACIÓN. Se ha seguido un proceso constructivo, paso a paso, para llegar a la solución, evitando el uso de fórmulas; sin embargo, el lector puede reflexionar un poco para entender que, de una manera más formal, podemos expresar la solución de la siguiente manera $$\text{VR}_{3,3}-(\text{VR}_{3-1,3-1}\cdot \text{V}_{3,1} + \text{V}_{3,1} )$$
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SOLUCIÓN.
Planteamiento 1
El número de maneras de elegir color para la primera franja ( empezando por la izquierda ) es $3$; para la segunda es $2$, ya que no podemos repetir el color empleado para la primera franja; y, para la tercera, sí podemos utilizar el mismo color que en la primera, además del tercer color que queda por elegir, luego caben $2$ posibilidades. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de baderas de tres franjas que son posibles con la condiciones requeridas es $3\cdot 2 \cdot 2 =12$
Planteamiento 2
El número de banderas que podemos formar sin restricción alguna con los tres colores es $3\cdot 3 \cdot 3 = 3^3$, pues hay tres posibles elecciones de color para cada una de las tres franjas.
Tengamos en cuenta ahora la restricción del enunciado. Podemos elegir el color de las dos franjas juntas que tienen el mismo color de $3$ maneras distintas, con lo cual la tercera franja deberemos pintarla con otro de los $3-1=2$ colores restantes; y, además, hay que tener también en cuenta la posibilidad de permutar la posición del grupo formado por las dos franjas del mismo color con la tercera franja (de color distinto al del grupo de las dos franjas juntas ), esto es, de $2$ maneras distintas. Así, por el principio multiplicativo, obtenemos $(3\cdot 2)\cdot 2 = 2^2\cdot 3$ banderas con dos franjas juntas de un mismo color y una tercer franja de distinto color. Sin embargo, es necesario tener en cuenta también, las banderas con las tres franjas del mismo color, que son $3$ ( una para cada elección del color de la bandera monocolor ). Por tanto, hay que descartar del total las $2^2\cdot 3+3$ banderas que incumplen la condición.
Así pues, el número de banderas que no tienen dos franjas juntas del mismo color es $$3^3-(2^2\cdot 3 + 3)=12$$
OBSERVACIÓN. Se ha seguido un proceso constructivo, paso a paso, para llegar a la solución, evitando el uso de fórmulas; sin embargo, el lector puede reflexionar un poco para entender que, de una manera más formal, podemos expresar la solución de la siguiente manera $$\text{VR}_{3,3}-(\text{VR}_{3-1,3-1}\cdot \text{V}_{3,1} + \text{V}_{3,1} )$$
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martes, 19 de marzo de 2019
Ejercicios con logaritmos
ENUNCIADO. Despéjese $k$ de la siguiente expresión $$\ln\,k=\dfrac{1}{3}\,\log\,x+2\,\ln\,y-\ln\,z$$
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos, podemos ir escribiendo lo que sigue:
$\ln\,k=\dfrac{1}{3}\,\log\,x+2\,\ln\,y-\ln\,z$
$=\ln\,x^{1/3}+\ln\,y^2-\ln\,z$
$=\ln\,\left(\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}\right)$
Es decir, $$\ln\,k = \ln\,\left(\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}\right)$$ luego $$k=\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}$$ que también podemos escribir así $$k=\dfrac{\sqrt[3]{x}\cdot y^2}{z}$$
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SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos, podemos ir escribiendo lo que sigue:
$\ln\,k=\dfrac{1}{3}\,\log\,x+2\,\ln\,y-\ln\,z$
$=\ln\,x^{1/3}+\ln\,y^2-\ln\,z$
$=\ln\,\left(\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}\right)$
Es decir, $$\ln\,k = \ln\,\left(\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}\right)$$ luego $$k=\dfrac{x^{1/3}\cdot y^2}{z}$$ que también podemos escribir así $$k=\dfrac{\sqrt[3]{x}\cdot y^2}{z}$$
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Un ejercicio con logaritmos
ENUNCIADO. Calcúlese el valor de $x$ tal que $\log_{x}\,32=-\dfrac{5}{2}$
SOLUCIÓN.
$\log_{x}\,32=-\dfrac{5}{2} \Leftrightarrow 32= x^{-5/2} \Rightarrow x=32^{-\frac{2}{5}}=\left(2^5\right)^{-\frac{2}{5}}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$
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SOLUCIÓN.
$\log_{x}\,32=-\dfrac{5}{2} \Leftrightarrow 32= x^{-5/2} \Rightarrow x=32^{-\frac{2}{5}}=\left(2^5\right)^{-\frac{2}{5}}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$
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Otro ejercicio con logaritmos
ENUNCIADO. Calcúlese el valor de $x$ tal que $\log_{3}\,x=-\dfrac{1}{2}$
SOLUCIÓN.
$\log_{3}\,x=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x= 3^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$\log_{3}\,x=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x= 3^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
$\square$
Cálculo con logaritmos
ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente logaritmo: $\log_{0,2}\,25$
SOLUCIÓN.
$\log_{0,2}\,25=$
$=\log_{1/5}\,5^2$
$=\log_{1/5}\,(1/5)^{-2}$
$=-2\,\log_{1/5}\,\dfrac{1}{5}$
$=-2\cdot 1$
$=-2$
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SOLUCIÓN.
$\log_{0,2}\,25=$
$=\log_{1/5}\,5^2$
$=\log_{1/5}\,(1/5)^{-2}$
$=-2\,\log_{1/5}\,\dfrac{1}{5}$
$=-2\cdot 1$
$=-2$
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Cálculo de logaritmos
ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente logaritmo: $\log_{423}\,1$
SOLUCIÓN. $\log_{423}\,1=\log_{423}\,423^0=0\cdot \log_{423}\,423=0\cdot 1=0$
SOLUCIÓN. $\log_{423}\,1=\log_{423}\,423^0=0\cdot \log_{423}\,423=0\cdot 1=0$
lunes, 18 de marzo de 2019
Cálculo con logaritmos
ENUNCIADO. Exprésese $\log\,\sqrt[3]{\dfrac{9}{5}}$ en función de estos otros: $\log\,3$ y $\log\,2$
SOLUCIÓN.
$\log\,\sqrt[3]{\dfrac{9}{5}}=$
$=\dfrac{1}{3}\log\,\dfrac{9}{5}$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-\log\,5 \right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-\log\,\dfrac{10}{2} \right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-(\log\,10-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,3^2-(\log\,10-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-(\log\,10-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-(1-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-1+\log\,2)\right)$
SOLUCIÓN.
$\log\,\sqrt[3]{\dfrac{9}{5}}=$
$=\dfrac{1}{3}\log\,\dfrac{9}{5}$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-\log\,5 \right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-\log\,\dfrac{10}{2} \right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,9-(\log\,10-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( \log\,3^2-(\log\,10-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-(\log\,10-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-(1-\log\,2)\right)$
$=\dfrac{1}{3}\,\left( 2\,\log\,3-1+\log\,2)\right)$
lunes, 11 de febrero de 2019
Libros de tablas de logaritmos
La siguientes figuras corresponden a las páginas de un libro de tablas de logaritmos ( en el que también podemos encontrar tablas de razones trigonométricas ). Dichos libros de tablas, junto a las reglas de cálculo se utilizaron en los institutos de secundaria y en las universidades antes de la aparición de las calculadoras científicas de bolsillo, a mitad de la década de los setenta del siglo pasado.
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