Ejercicios de combinatoria. Banderas con franjas de colores.

ENUNCIADO. Se consideran $3$ colores distintos para pintar banderas de tres franjas verticales. ¿ Cuántas banderas podemos formar de manera que éstas no tengan dos franjas juntas del mismo color ?

SOLUCIÓN.
Planteamiento 1
El número de maneras de elegir color para la primera franja ( empezando por la izquierda ) es $3$; para la segunda es $2$, ya que no podemos repetir el color empleado para la primera franja; y, para la tercera, sí podemos utilizar el mismo color que en la primera, además del tercer color que queda por elegir, luego caben $2$ posibilidades. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de baderas de tres franjas que son posibles con la condiciones requeridas es $3\cdot 2 \cdot 2 =12$



Planteamiento 2
El número de banderas que podemos formar sin restricción alguna con los tres colores es $3\cdot 3 \cdot 3 = 3^3$, pues hay tres posibles elecciones de color para cada una de las tres franjas.

Tengamos en cuenta ahora la restricción del enunciado. Podemos elegir el color de las dos franjas juntas que tienen el mismo color de $3$ maneras distintas, con lo cual la tercera franja deberemos pintarla con otro de los $3-1=2$ colores restantes; y, además, hay que tener también en cuenta la posibilidad de permutar la posición del grupo formado por las dos franjas del mismo color con la tercera franja (de color distinto al del grupo de las dos franjas juntas ), esto es, de $2$ maneras distintas. Así, por el principio multiplicativo, obtenemos $(3\cdot 2)\cdot 2 = 2^2\cdot 3$ banderas con dos franjas juntas de un mismo color y una tercer franja de distinto color. Sin embargo, es necesario tener en cuenta también, las banderas con las tres franjas del mismo color, que son $3$ ( una para cada elección del color de la bandera monocolor ). Por tanto, hay que descartar del total las $2^2\cdot 3+3$ banderas que incumplen la condición.

Así pues, el número de banderas que no tienen dos franjas juntas del mismo color es $$3^3-(2^2\cdot 3 + 3)=12$$

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OBSERVACIÓN. Se ha seguido un proceso constructivo, paso a paso, para llegar a la solución, evitando el uso de fórmulas; sin embargo, el lector puede reflexionar un poco para entender que, de una manera más formal, podemos expresar la solución de la siguiente manera $$\text{VR}_{3,3}-(\text{VR}_{3-1,3-1}\cdot \text{V}_{3,1} + \text{V}_{3,1} )$$
$\square$