Extrayendo bolas de colores

ENUNCIADO. En una bolsa hay $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras. Se extraen $2$ bolas, una tras otra, sin que se devuelva a la bolsa la primera bola extraída antes de realizar la segunda extracción.
a) Calcúlese la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
b) Una vez se han extraído las dos bolas, nos informa que la segunda bola ha resultado ser negra. ¿ Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca ?

SOLUCIÓN.
a) La probabilidad pedida es
$P((B_1 \cap B_2) \cup (N_1 \cap N_2) )=$
  $=P(B_1 \cap B_2)+P(N_1 \cap N_2)$ ( por ser $B_1 \cap B_2$ y $N_1 \cap N_2$ dos sucesos incompatibles )
    $=P(B_2|B_1)\cdot P(B_1) + P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$
      $=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}$
        $=\dfrac{2}{5}$


b)
Teniendo en cuenta que $P(B_1 \cap N_2 ) = P( N_2 \cap B_1)$ y por la definición de probabilidad condicionada, $$P(B_1 | N_2)\cdot P(N_2) = P(N_2 | B_1)\cdot P(B_1)$$ llegamos al siguiente resultado ( teorema de Bayes ) $$P(B_1|N_2)=\dfrac{P(B_1\cap N_2)}{P(N_2)}=\dfrac{P(N_2|B_1)\cdot P(B_1)}{P(N_2)} \quad\quad [1]$$

Por otra parte1, por el teorema de la probabilidad total: $$P(N_2)=P(N_2|B_1)\cdot P(B_1)+P(N_2|N_1)\cdot P(N_1)$$ que, con los datos,tiene el siguiente valor $P(N_2)=\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{2}{5}$

Y sustituyéndolo en [1] encontramos la probabilidad pedida: $$P(N_2|B_1)=\dfrac{(3/5)\cdot (2/4)}{2/5}=\dfrac{3}{4}$$


Observación: Lo realizado en este ejercicio se puede esquematizar en un diagrama de árbol, con el que podemos evitar el uso del lenguaje del álgebra de sucesos, si bien éste constituye un modo natural de expresión en los problemas de probabilidad, a cuyo uso os aconsejo que os acostumbréis.

$\square$