Dos LED que se encienden y apagan de forma aleatoria

ENUNCIADO. Se ha diseñado un circuito electrónico que enciende al azar dos LED, uno rojo y otro azul, de manera aleatoria. En un intervalo de tiempo lo suficientemente largo, se ha contabilizado la duración de tiempo en que ambos LED han estado encendidos: un $4\,\%$ el LED rojo, un $6\,\%$ el LED azul, y un $1\,\%$ los dos a la vez. Sin mirar los LED, nos preguntamos por la probabilidad de que en un cierto instante de tiempo:
a) Esté encendido algún LED
b) No esté encendido ningún LED
c) Se encienda el LED rojo, estando informados de que está encendido el LED azul
d) Se encienda el LED azul, estando informados de que está encendido el LED rojo
e) ¿ Es independiente el encendido de un LED con respecto al del otro ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso "encederse el LED azul" y por $R$ al suceso "encenderse el LED rojo.

a) Por la fórmula de inclusión-exclusión $$P(A \cup R ) = P(A)+P(R)-P(A\cap R)$$ y, con los datos, llegamos a $$P(A \cup R ) = 0,04+0,06-0,01=0,09=9\,\%$$

b) P("no esté encendido ningún LED")=1-P("esté encendido almenos uno")=
    $=1-P(A \cap R)=1-0,09=0,91 = 91 \,\%$

c) $P(R|A)=\dfrac{P(R \cap A}{P(A)}=\dfrac{0,01}{0,04}=\dfrac{1}{4}=25\,\%$

d) $P(A|R)=\dfrac{P(A \cap R}{P(R)}=\dfrac{0,01}{0,06}=\dfrac{1}{6}\approx 17\,\%$

e) Como $P(A|R)=\dfrac{1}{6}\neq P(A)=\dfrac{6}{100}$ y $P(R|A)=\dfrac{1}{4}\neq P(R)=\dfrac{4}{100}$, los sucesos $A$ y $R$ no son independientes.

$\square$