ENUNCIADO ¿ Qué tipo de números reales pueden ser base logarítmica ? Y el argumento de un logaritmo, ¿ qué tipo de número real debe ser para que, según la definición, todo sea coherente ?
SOLUCIÓN. Recordemos que ( definición ) \log_{b}\,a=\ell \Leftrightarrow b^{\ell}=a, siendo a,b y \ell números reales. El valor del logaritmo, \ell, puede tomar cualquier valor finito: positivo, negativo o cero; por otra parte, b es lo que llamamos "base" del logaritmo. Veamos ahora cómo debe ser el número real que elijamos como base logarítmica. Reflexionando sobre ello, veremos también cómo debe ser el argumento a de un logaritmo ( un número real positivo ).
Es evidente que:
i) La base b ha de ser distinta de 0, puesto que de ser así, para a\neq 0, tendríamos que 0^\ell = 0 \neq a
ii) La base b ha de ser mayor que 0. Pogamos que fuese negativa; por ejemplo ( y sin pérdida de generalidad ), igual a -3, y que nos propusiésemos calcula \log_{-3}\,3; entonces el valor del logaritmos \ell \in \mathbb{R} debería cumplir la igualdad (-3)^{\ell}=3, que es imposible satisfacer.
iii) En particular, tampoco puede ser la base igual a 1, puesto que si así fuese, nos encontraríamos que \log_{1}\,a=\ell \Rightarrow 1^{\ell}=1\neq a
Resumiendo: b ha de ser necesariamente un número positivo y distinto de 1. Con lo cual podemos asegurar que a ha de ser, también, un número ( real ) positivo, puesto que de ser negativo, y teniendo en cuenta las conclusiones que acabamos de sacar, no podría satisfacerse la igualdad que define el logaritmo. Subrayemos que tampoco a puede 0, ya que en ese caso \log_{b}\,0=\ell y, siendo así, \ell no sería finito, como debe ser de acuerdo con la definición, ya que de la misma cabría escribir: 0=b^{-\infty}.
Algunos ejemplos:
\log_{-2}\;(3) Este logaritmo no está mal definido, pues su base es un número negativo
\log_{2}\;(8)=3, ya que 2^3=8
\log_{1}\;(5) Este logaritmo no está bien definido pues su base es 1, y ocurre que, suponiendo que su valor fuese \ell entonces 1^\ell = 1 \neq 5, incumpliéndose la definición
\log_{b}\;(-6)\;\text{donde}\; b\succ 0. En este caso, si bien la base b es positiva, el logaritmo no está definido para -6 por ser dicho argumento un número negativo
Observación: Denominamos logaritmo natural de un número a \succ 0 al logaritmo con base el número trascendente e=2,718281\ldots. Encontramos dicha constante como límite de la sucesión \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n al hacer tender la variable de control del límite, n\in \mathbb{N}, a infinito.
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios