Acerca de la base y del argumento de un logaritmo

ENUNCIADO ¿ Qué tipo de números reales pueden ser base logarítmica ? Y el argumento de un logaritmo, ¿ qué tipo de número real debe ser para que, según la definición, todo sea coherente ?

SOLUCIÓN. Recordemos que ( definición ) $$\log_{b}\,a=\ell \Leftrightarrow b^{\ell}=a$$, siendo $a,b$ y $\ell$ números reales. El valor del logaritmo, $\ell$, puede tomar cualquier valor finito: positivo, negativo o cero; por otra parte, $b$ es lo que llamamos "base" del logaritmo. Veamos ahora cómo debe ser el número real que elijamos como base logarítmica. Reflexionando sobre ello, veremos también cómo debe ser el argumento $a$ de un logaritmo ( un número real positivo ).

Es evidente que:

    i) La base $b$ ha de ser distinta de $0$, puesto que de ser así, para $a\neq 0$, tendríamos que $0^\ell = 0 \neq a$
    ii) La base $b$ ha de ser mayor que $0$. Pogamos que fuese negativa; por ejemplo ( y sin pérdida de generalidad ), igual a $-3$, y que nos propusiésemos calcula $\log_{-3}\,3$; entonces el valor del logaritmos $\ell \in \mathbb{R}$ debería cumplir la igualdad $(-3)^{\ell}=3$, que es imposible satisfacer.
    iii) En particular, tampoco puede ser la base igual a $1$, puesto que si así fuese, nos encontraríamos que $\log_{1}\,a=\ell \Rightarrow 1^{\ell}=1\neq a$

Resumiendo: $b$ ha de ser necesariamente un número positivo y distinto de $1$. Con lo cual podemos asegurar que $a$ ha de ser, también, un número ( real ) positivo, puesto que de ser negativo, y teniendo en cuenta las conclusiones que acabamos de sacar, no podría satisfacerse la igualdad que define el logaritmo. Subrayemos que tampoco $a$ puede $0$, ya que en ese caso $\log_{b}\,0=\ell$ y, siendo así, $\ell$ no sería finito, como debe ser de acuerdo con la definición, ya que de la misma cabría escribir: $0=b^{-\infty}$.

Algunos ejemplos:
  $\log_{-2}\;(3)$ Este logaritmo no está mal definido, pues su base es un número negativo
  $\log_{2}\;(8)=3$, ya que $2^3=8$
  $\log_{1}\;(5)$ Este logaritmo no está bien definido pues su base es $1$, y ocurre que, suponiendo que su valor fuese $\ell$ entonces $1^\ell = 1 \neq 5$, incumpliéndose la definición
  $\log_{b}\;(-6)\;\text{donde}\; b\succ 0$. En este caso, si bien la base $b$ es positiva, el logaritmo no está definido para $-6$ por ser dicho argumento un número negativo

Observación: Denominamos logaritmo natural de un número $a \succ 0$ al logaritmo con base el número trascendente $e=2,718281\ldots$. Encontramos dicha constante como límite de la sucesión $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ al hacer tender la variable de control del límite, $n\in \mathbb{N}$, a infinito.

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