Intervalo de incertidumbre del resultado de un cálculo con datos afectados de error

ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes aproximaciones por redondeo simétrico: $a \approx \bar{a}=2,6\,\text{(2 c.s.)}$ y $a \approx \bar{b}=34,14\,\text{(4 c.s.)}$. Exprésense los resultados de los siguientes cálculos con el número de cifras significativas que corresponda a cada uno y determínese una cota razonable del error absoluto asociado a cada uno de ellos:
(1) $4\,a-3b$
(2) $5\,a \, b$

SOLUCIÓN.
Al aproximar por redondeo simétrico una cierta cantidad, y desconociendo el valor exacto $x$ y, por tanto, el error absoluto $E$, podemos tomar media unidad del orden de magnitud de la última cifra significativa como cota razonable de dicho error absoluto, $\Delta \ge E$, que se produce en dicha aproximación; así, en el caso que nos ocupa, $\Delta_{a}=0,05$ y $\Delta_{b}=0,005$, por lo que podemos escribir que $a=2,6\,\pm\,0,05$ y $b=34,14\,\pm\,0,005$

En esta situación ( de desconocimiento de $x$ y, por consiguiente, de $E$ ), una cota razonable del error relativo, $\varepsilon$, la tomaremos razonando de la siguiente manera: el error relativo, $e$, es tal que $e\overset{\text{Def}}{=}\dfrac{E}{|x|}$ luego $e \prec \dfrac{\Delta}{|\bar{x}|-\Delta}$. Así, con los datos del problema: $\varepsilon_a=\dfrac{0,05}{2,6-0,05} \overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,02=2\,\%$, y, por otra parte, $\varepsilon_b=\dfrac{0,005}{34,14-0,005} \overset{\text{por exceso}}{\approx}0,0002=0,02\,\%$

Hemos justificado en clase que en el caso de que las operaciones aritméticas sean sumas ( o restas ), una cota razonable de error absoluto en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error absoluto de los datos. Y, en caso de que entre las operaciones haya productos ( o cocientes ), una cota razonable de error relativo en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos.

Al realizar los cálculos pedidos y presentar los resultados con las cifras significativas correctas encontramos:   $4\,a-3b \approx -92,02$ ( limitando el número de cifras decimales significativas (c.s.) a dos, puesto, que al realizar sumas/restas, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de cifras decimales significativas )
  $5\,a\,b = 443,82 \approx 440$ ( limitando el número de cifras significativas (c.s.) a dos, puesto que, al intervenir en el cálculo multiplicaciones/divisiones, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de c.s. )

Entonces, como en (1) aparecen sumas ( 7 sumas/restas ) con los datos afectados de error, $\Delta_1=4\,\Delta_a+3\,\Delta_b=0,215\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,22$; por otra parte, como en la operación (2) aparece un producto ( con datos afectados de error -- el factor '5' es exacto -- ), tenemos que, según lo dicho arriba, $\varepsilon_2=0,02+0,0002=0,02002 \Rightarrow \Delta_2 = (5\cdot 2,6\cdot 34,14) =$
  $=440 \cdot 0,02002\overset{\text{por exceso}}{\approx} 8,8$ ( aproximando a 2 c.s.)


Así pues, la incertidumbre de los resultados de sendos cálculos ( con sus intervalos ) son:
$4\,a-3b \in (-92.02-0.22\,,\,-92.02+0.22)=(-92.24\,,\,-91.80)$, dicho de otro modo: $4\,a-3b=-92,02\,\pm 0.22$
y
$5\,a\,b =\in (440-8.8\,,\,440+8.8)=(431.2\,,\,448.8)$, dicho de otro modo: $5\,a\,b=440\,\pm 8,8$
$\square$