Distribución de un conjunto de lápices de colores entre un conjunto de personas

ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices ( de distintos colores ) entre $4$ personas

SOLUCIÓN. Denotemos por $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$, cada una de las personas entre las que queremos distribuir los lápices $L_1,L_2,L_3,L_4$ y $L_5$. Ello es equivalente a formar "palabras" del tipo:

$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_2 & P_4 & P_3\end{matrix}$
cuyo significado es: asignar los lápice $L_1$ y $L_2$ a $P_1$; el lápiz $L_3$ a $P_2$; el lápiz $L_4$ a $P_3$, y el lápiz $L_5$ a $P_4$


$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_1 & P_1 & P_4\end{matrix}$
con el siguiente significado: asignar los lápices $L_1$, $L_2$, $L_3$ y $L_4$ a $P_1$, el lápiz $L_5$ a $P_4$ y ningún lápiz ni a $P_2$ ni a $P_3$

... etcétera

Reflexionando sobre ésto, es evidente que importa el orden de asignación (de persona a cada lápiz), luego se trata de un problema de variaciones. Y, al poder repetir la asignación de una misma persona a varios lápices ( dicha persona se queda con tales lápices ), se trata de variaciones con repetición.

Concretamente, tenemos $4$ posibilidades a la hora de elegir la persona que asignaremos al lápiz $L_1$; $4$ posibilidades para asignar una persona al lápiz $L_2$; las mismas para hacer la asignación de persona al lápiz $L_3$, y otras tantas para las asignaciones de persona a los lápices $L_4$ y $L_5$. Por consiguiente, aplicando el principio de independencia de elecciones ( p. multiplicativo ), resulta que el número de maneras de distribuir los lápices es $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$, esto es $VR_{4,5}=4^5=1024$.

NOTA ( Generalización a un número genérico de lápices, $\ell$, y de personas $p$):
          $\text{VR}_{p,\ell}=p^{\ell}$ maneras de efectuar la distribución de los $\ell$ lápices entre las $p$ personas.

$\square$