La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5\,\text{dm}$ y uno de los catetos, $3\,\text{dm}$. Dibujar una figura esquemática y designar con letras los elementos del triángulo ( vértices, lados y ángulos ), respetando el convenio explicado en clase, y, a continuación, calcular: el área, el perímetro y el valor de los ángulos.

Enunciado:
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5\,\text{dm}$ y uno de los catetos, $3\,\text{dm}$. Dibujar una figura esquemática y designar con letras los elementos del triángulo ( vértices, lados y ángulos ), respetando el convenio explicado en clase, y, a continuación, calcular: el área, el perímetro y el valor de los ángulos.

Resolución:
Dibujando la figura:

donde: $c=5\,\text{dm}$, $a=3\,\text{dm}$ y $\gamma=90º$ (datos)

A continuación, por el Teorema de Pitágoras, $b=\sqrt{5^2-3^2}=4\,\text{dm}$

y, utilizando las razones trigonométricas básicas: $\alpha=\text{arcsen}(3/5)\approx 36º\,52^{'}$ y $\beta=\text{arcsen}(4/5)\approx 53º\,8^{'}$

El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus tres lados: $P=3+4+5=12\,\text{dm}$

y a partir de los dos catetos podemos calcular el área del triángulo: $\text{Área}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6 \,\text{dm}^2$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (de primer grado) $\left\{\begin{matrix} 2\,x & + & y &=& 1\\ -x & + & 3\,y &=& 2\\ \end{matrix}\right.$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (de primer grado)
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
-x & + & 3\,y &=& 2\\
\end{matrix}\right.$$

Resolución:
Procedemos a resolver el sistema por el método de reducción, si bien - por supuesto - podemos resolverlo también por cualquiera de los otros dos métodos ( igualación y sustitución).

Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuación por $2$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones equivalentes

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
-2\,x & + & 6\,y &=& 4\\
\end{matrix}\right.$$

sumando, ahora, la primera y la segunda ecuación ( miembro a miembro ) obtenemos una ecuación equivalente a la segunda, por la que ésta será sustiuida

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
& & 7\,y &=& 5\\
\end{matrix}\right.$$

De la segunda ecuación de este sistema ( equivalente al original ) obtenemos: $$y=\dfrac{5}{7}$$ y, sustituyendo dicho valor en la primera ( o en la segunda ) ecuación original, llegamos al valor de la otra incógnita:

$2\,x+\dfrac{5}{7}=1$

  $7\cdot 2\,x+7 \cdot \dfrac{5}{7}=7 \cdot 1$

    $14\,x+5=7$

      $14\,x=7-5$

        $14\,x=2$

          $x=\dfrac{2}{14}=\dfrac{1}{7}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la siguiente ecuación de primer grado: $\dfrac{1-x}{5}+\dfrac{3\,x+2}{10}=\dfrac{4-x}{15}$

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación de primer grado:
$$\dfrac{1-x}{5}+\dfrac{3\,x+2}{10}=\dfrac{4-x}{15}$$

Resolución:
$\dfrac{1-x}{5}+\dfrac{3\,x+2}{10}=\dfrac{4-x}{15}$
Procedemos a reducir la ecuación multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es $30$:
$30\cdot \dfrac{1-x}{5}+30\cdot \dfrac{3\,x+2}{10}=30\cdot \dfrac{4-x}{15}$

  $\dfrac{30}{5} \cdot (1-x)+\dfrac{30}{10} \cdot (3\,x+2)=\dfrac{30}{15}\cdot (4-x)$

    $6 \cdot (1-x)+3 \cdot (3\,x+2)=2\cdot (4-x)$

      $6 \cdot 1-6\,x+3 \cdot 3\,x+3 \cdot 2=2\cdot 4-2\,x$

        $6 -6\,x+9\,x+6=8-2\,x$

          $ 3\,x+12=8-2\,x$

            $ 3\,x+2\,x=8-12$

              $ 5\,x=-4$

                $x=-\dfrac{4}{5}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema del Factor ).

Enunciado:
Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema de Factorización ).

Resolución:
Las raíces de un polinomio son los valores de la variable $x$ que anulan dicho polinomio, luego imponiendo esta condición: $x^2-4x+3=0$, encontramos $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3 \end{matrix}\right.$; luego el polinomio dado tiene estas dos raíces, que son de multiplicidad uno cada una por ser el polinomio de grado dos. Y, por el teorema de factorización: $P(x)=(x-1)\,(x-3)$.
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[nota del autor]

El precio de un producto ha pasado de $12$ euro a $14$ euro. ¿ Cuál ha sido el tanto por ciento de aumento ?.

Enunciado:
El precio de un producto ha pasado de $12$ euro a $14$ euro. ¿ Cuál ha sido el tanto por ciento de aumento ?.

Resolución:
Denotando por $x$ al tanto por ciento de aumento pedido, podemos plantear la siguiente proporción directa: $$\dfrac{x}{100}=\dfrac{14-12}{12}$$
y resolviendo esta ecuación de primer grado

$\dfrac{x}{100}=\dfrac{14-12}{12} \Leftrightarrow 12 \, x = 100 \cdot (14-12)$

  $12 \, x = 100 \cdot 2$

    $x = \dfrac{1}{12} \cdot 100 \cdot 2$

      $x = \dfrac{200}{12} = \dfrac{50}{3} \approx 16,67 \, \%$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la ecuación: $x^2+8\,x+12=0$

Enunciado:
Resolver la ecuación:
$$x^2+8\,x+12=0$$

Resolución:
Teniendo en cuenta que
$$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$$
identificando el valor de los coeficientes de la equación: $a=1$, $b=8$ y $c=12$, podemos escribir
$$x^2+8\,x+12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\ -6 \end{matrix}\right.$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.

Enunciado:
En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.

Resolución:
Planteando la proporción directa entre las magnitudes valor nominal y cantidad pagada:
$$\dfrac{\text{cantidad a pagar}_1}{\text{valor nominal}_1}=\dfrac{\text{cantidad a pagar}_2}{\text{valor nominal}_2}$$
luego, denotando por $x$ el precio del producto, y teniendo en cuenta los datos del problema:
$$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$
que también podemos escribir de la forma
$$\dfrac{100}{100-5}=\dfrac{x}{20}$$
luego
$$20\cdot 100=95\,x$$
y despejando la incógnita
$$x=\dfrac{2000}{95} \approx 21,05 \; \text{euro}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]