Una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una equació de 2n grau té els següents nombres com a solució: $1$ i $-4$. Sabent que el valor del coeficient del terme de 2n grau és igual a $5$, determineu l'expressió general completa: $a\,x^2+b\,x+c=0$.

Solució:
Per la propietat de factorització podem escriure l'equació de la forma:
    $5\,(x-1)\big(x-(-4)\big)=0$
és a dir
    $5\,(x-1)\big(x+4\big)=0$
Multiplicant els binomis obtenim
    $5\,(x^2-x+4\,x-4)=0$
que, simplificada l'expressió del parèntesi, queda
    $5\,(x^2+3\,x-4)=0$
i aplicant la propietat distributiva de la multiplicació respecte la suma per desfer el parèntesi obtenim
    $5\,x^2+15\,x-20=0$
que és l'expressió general d'una equació de 2n grau, amb coeficients: $a=5$, $b=15$ i $c=-20$.
$\square$

[nota del autor]

Si nos da la siguiente información acerca de las raíces de una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabent que una equació de 2n grau té dos valors diferents com a solució, $r_1$ i $r_2$, que la suma d'aquests dos nombres és igual a $8$, que el seu producte és igual $12$, i que el coeficient del terme de 2n grau és $1$, escriviu l'equació en forma general.

Solució:
Donada l'equació general de 2n grau $a\,x^2+b\,x+c=0$ amb solució
  $x=\left\{\begin{matrix}r_1\\ \text{o bé} \\r_2\end{matrix}\right.$
es compleix que (propietat)
    $r_1+r_2=-b$
i
    $r_{1}\cdot r_{2}=c$
Per tant, com que $b=-8$   i   $c=12$, y tenint en compte que $a=1$, deduïm que l'equació general $a\,x^2+b\,x+c=0$ es concreta així
    $x^2+(-8)\,x+12=0$
és a dir
    $x^2-8\,x+12=0$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente cuestión ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Cap nombre positiu pot ser la solució de l'equació $x^2+6\,x+5=0$. Expliqueu-ne la raó sense resoldre l'equació.

Solució:
Els coeficients de l'equació ( $1$, $6$ i $5$ ) són tots tres positius i, per tant, no és possible que un valor positiu de $x$ anul·li el primer membre de la igualtat; en efecte, el valor de tots tres termes és, en aquest cas, més gran que zero i, doncs, la suma dels tres termes també ho és.
$\square$

[nota del autor]

Estudiar la siguiente ecuación de segundo grado. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sense resoldre l'equació, expliqueu la raó per la qual no és possible trobar cap nombre real que sigui solució de l'equació $x^2+\,x+2=0$.

Solució:
Els valors dels coeficients de l'equació són: $a=1$, $b=1$ i $c=2$. Llavors, el valor del discriminant de l'equació $\Delta=b^2-4ac$ és igual a $1^2-4 \cdot 1 \cdot 2=-7$, que és més petit que zero, per tant $\sqrt{\Delta}$ no és un nombre real, raó per la qual no és possible trobar nombres reals com a solució de l'equació.
$\square$

[nota del autor]

Estudiar y resolver la ecuación ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Estudieu l'equació
      $x^2+2\,x=(x+1)^2-1$

Solució:
      $x^2+2\,x=(x+1)^2-1$
Expandint el binomi al quadrat del segon membre
      $x^2+2\,x=x^2+2\,x+1-1$
i simplificant
      $x^2+2\,x=x^2+2\,x$
veiem que és una equació trivial ( una identitat )
en altre paraules, agrupant termes semblants arribem a
      $x^2-x^2+2\,x-2\,x=0$
      $0 \cdot x^2+0 \cdot x=0$
obtenint un resultat trivial
      $0=0$
que ens diu que l'equació és compatible perquè té solució, però compatible indeterminada, atès que tots els nombres són solució de l'equació.
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente problema, planteando un sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos nombres enters són tals que en multiplicar l'un per l'altre s'obté $-22$, i, en fer la divisió euclidiana del més gran (en valor absolut) entre el més petit (en valor absolut) s'obté $-6$ de quocient i $1$ de reste. De quins nombres es tracta ?

Solució:
Anomenem $m$ i $n$ als dos nombres enters que, segons l'enunciat, $\left|m\right|$ és més gran que $\left|n\right|$; llavors, en fer la divisió $m \div n$ tenim que, pel teorema de la divisió euclidiana ( " dividend = divisor x quocient més residu " ), i atenent la informació que se'ns dóna sobre el producte de tots dos, podrem escriure
      $\left.\begin{matrix}m=-6\,n+1 \\ \\m\cdot n=-22 \\ \end{matrix}\right\}$
Substituint l'expressió de $m$ del segon membre de la primera equació en la segona arribem a una equació amb una sola incògnita:
    $n\,(1-6n)=-22$
és a dir
    $n\,(6n-1)=22$
que és equivalent a
    $6\,n^2-n-22=0$
equació de 2n grau completa que dóna com a solució
    $n=\dfrac{-6\pm \left|\sqrt{6^2-4\cdot 6 \cdot 22}\right|}{2\cdot 6}$
d'on
    $n=\left\{\begin{matrix}
-\dfrac{11}{6} & \\
6 &
\end{matrix}\right.$
El segon valor és pertinent; el primer, però, no (no és un nombre enter). Llavors,
si $n=2$, substituint a la primera equació trobem el valor per a l'altre nombre: $m=-11$
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones cuyos coeficientes son fraccionarios ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions
      $\left.\begin{matrix}\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24} \\ \\\dfrac{5}{4}\,x+\dfrac{2}{15}\,y=\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$

Solució:
Multiplicant pel mínim comú múltiple dels denominadors dels coeficients fraccionaris de una i altra equació
      $\left.\begin{matrix}24\cdot\dfrac{3}{4}\,x+24\cdot\dfrac{5}{12}\,y=24\cdot\dfrac{7}{24} \\ \\ 60\cdot\dfrac{5}{4}\,x+60 \cdot \dfrac{2}{15}\,y=60\cdot\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$
i, simplificant, podem escriure el següent sistema d'equacions equivalents a l'original:
      $\left.\begin{matrix}18\,x+10\,y=7 \\ \\75\,x+8\,y=18 \\ \end{matrix}\right\}$
Resoldrem aquest sistema fent ús del mètode de reducció; per això, podem fer, per exemple, la següent transformació vàlida (combinació entre equacions) [nota]
    $ -\dfrac{75}{18}\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$
el podrem escriure de la forma
      $\left.\begin{matrix}18\,x&+&10\,y&=&7 \\ \\&\,&-\dfrac{101}{3}\,y&=&-\dfrac{67}{6} \\ \end{matrix}\right\}$
Simplificant i aïllant la incògnita $y$ de la segona equació arribem a
    $y=\dfrac{-\frac{\;67\;}{6}}{-\frac{\;101\;}{3}}=\dfrac{67}{202}$
I, finalment, substituint en una de les equacions equivalents on figura la incògnita $x$, trobarem el valor que li correspon
aíxí, per exemple, de
    $18\,x+10\,y=7$
arribem a
    $18\,x+10\cdot \dfrac{67}{202}=7$
i, d'aquí, trobem
    $x=\dfrac{7-10\cdot \dfrac{67}{202}}{18}$
que, operant, porta a
    $x=\dfrac{62}{303}$

Comprovació:   Posant els valors obtinguts en una de les equacions originals cal mirar si es verifica la igualtat entre el primer i el segon membre; per exemple, a partir de la primera equació
    $\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24}$
veiem que
    $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{62}{303}+\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{67}{202}$
      $=\dfrac{31}{202}+\dfrac{335}{2424}$
      $=\ldots=\dfrac{7}{24}$
que, efectivament, coincideix amb el valor del segon membre.
$\square$


Nota:   He fet servir, aquí, el mètode de reducció per la seva eficàcia; no obstant, si ho preferiu, també podeu fer ús dels altres dos mètodes: d'igualació i de substitució, respectivament.

[nota del autor]