ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Vamos a reducir el sistema, escalonándolo ( método de Gauss ). Hecho ésto, podremos despejar la única incógnita de la tercera ecuación resultante, y, a partir del valor de ésta, calcularemos luego el valor de las otras dos, sustituyendo 'hacia arriba'.
$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \, \rightarrow e_2\,;\,e_3-e_1 \, \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&&&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2 \end{matrix}\right. \sim $
$\overset{e_2 \, \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2\\ &&2y&&&=&1\end{matrix}\right. \overset{xyz \,\rightarrow \, xzy}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-2z&+&2y&=&2\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.\sim $
$\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \, \rightarrow \, e_2}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-z&+&y&=&1\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.$
Ahora, de la última ecuación, podemos despejar $y$, con lo cual $$y=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos $-z+\dfrac{1}{2}=1$ y despejando $z$, $$z=-\dfrac{1}{2}$$ Y, finalmente, sustituyendo estos dos valores encontrados para $y$ y para $z$ en la primera ecuación, encontramos el valor de $x$ ( despejándola ), $$x=1-(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}=2$$ $\square$
miércoles, 10 de enero de 2018
Resolución de problemas mediante el álgebra
ENUNCIADO. Lola ha comprado una colección de libros por $360$ euros, costando lo mismo cada uno de los libros que la forman. Su amiga Ana ha comprado otra colección distinta, que también le ha costado $360$ euros, con el mismo precio para cada uno de los libros. Sabemos que la colección de Ana tiene $2$ libros más que la de Lola, sin embargo el precio de cada libro de la colección de Lola es de $30$ euros menos que el precio de cada uno de los libros de la colección de Ana. ¿ Cuántos libros hay en la coleción de Ana ? ¿ Cuántos libros en la colección de Lola ? ¿ Cuál es el precio de cada uno de los libros de Lola ? ¿ Y el de los de Ana ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de libros de Lola y por $y$ al número de libros de Ana. Teniendo en cuenta que $x \succ y$, deberemos escribir $$x=y+2 \quad \quad (1)$$ Por otra parte, si $\dfrac{360}{y}$ es el precio de cada uno de los libros de Lola, deberá cumplirse que $$x\,(\dfrac{360}{y}-30)=360 \quad \quad (2)$$ Vamos ahora a resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2). Sustituyendo (1) en (2), $$(y+2)\,(\dfrac{360}{y}-30)=360$$ y multiplicando por $y$ ambos miembros de la igualdad obtenemos la siguiente ecuación, equivalente a la anterior: $$(y+2)\,(360-30y)=360\,y$$ esto es $$360y+720-30y^2-60y=360y$$ y simplificando llegamos a $$y^2+2y-24=0$$ con lo cual $$y=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 24}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ -6\end{matrix}\right.$$ El segundo valor, que es negativo, si bien es solución de la ecuación no es solución del problema, luego el único valor que satisface los requerimientos del enunciado es $$y=4\,\text{libros ( en la colección de Ana)}$$ por lo que, según (1), vemos que $$x=4+2=6\,\text{libros ( en la colección de Lola )}$$ Finalmente, ya podemos calcular los precios de los libros: el precio de los libros de la colección de Ana es de $\dfrac{360}{4}=90\,\text{euros}$ y el precio de los libros de la colección de Lola es de $\dfrac{360}{6}=60\,\text{euros}$ $\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al número de libros de Lola y por $y$ al número de libros de Ana. Teniendo en cuenta que $x \succ y$, deberemos escribir $$x=y+2 \quad \quad (1)$$ Por otra parte, si $\dfrac{360}{y}$ es el precio de cada uno de los libros de Lola, deberá cumplirse que $$x\,(\dfrac{360}{y}-30)=360 \quad \quad (2)$$ Vamos ahora a resolver el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2). Sustituyendo (1) en (2), $$(y+2)\,(\dfrac{360}{y}-30)=360$$ y multiplicando por $y$ ambos miembros de la igualdad obtenemos la siguiente ecuación, equivalente a la anterior: $$(y+2)\,(360-30y)=360\,y$$ esto es $$360y+720-30y^2-60y=360y$$ y simplificando llegamos a $$y^2+2y-24=0$$ con lo cual $$y=\dfrac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 24}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 10}{2}=\left\{\begin{matrix}4 \\ \\ -6\end{matrix}\right.$$ El segundo valor, que es negativo, si bien es solución de la ecuación no es solución del problema, luego el único valor que satisface los requerimientos del enunciado es $$y=4\,\text{libros ( en la colección de Ana)}$$ por lo que, según (1), vemos que $$x=4+2=6\,\text{libros ( en la colección de Lola )}$$ Finalmente, ya podemos calcular los precios de los libros: el precio de los libros de la colección de Ana es de $\dfrac{360}{4}=90\,\text{euros}$ y el precio de los libros de la colección de Lola es de $\dfrac{360}{6}=60\,\text{euros}$ $\square$
Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales sencillos
ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Para obtener los valores de la primera incógnita podemos hacer lo siguiente:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1+e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ 2\,x^2&&&=&12\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&&&=&6\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación, se obtiene fácilmente $$x=\pm \sqrt{6}$$
Para obtener los valores de la otra incógnita, procedemos de manera parecida:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&2\,y^2&=&8\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&y^2&=&4\end{matrix}\right.$$ y de la segunda ecuación se llega a $$y=\sqrt{4}=\pm\,2$$
La solución viene dada por cuatro pares de valores "(x,y)", que representan puntos en el plano ya que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a una curva en el plano, que como se verá más adelante, en el caso que nos ocupa, se refieren a una circunferencia y una hipérbola, respectivamente (1); por consiguiente la solución del sistema se interpreta como el conjunto de puntos de intersección de esas curvas, y son los siguientes: $$(\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(\sqrt{6}\,,\,-2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,-2)$$
-oOo-
Nota 1
Estas gráficas, que corresponden a curvas cónicas, se estudian en 1.º de Bachillerato, pero os recomiendo que utilicéis el programa GeoGebra para visualizar las curvas mencionadas, para lo cual basta con editar la ecuación de las mismas en la línea de entrada; así podréis visualizar también los puntos que hemos obtenido como puntos de intersección de las dos curvas y que forman la solución del sistema de ecuaciones.
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$$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Para obtener los valores de la primera incógnita podemos hacer lo siguiente:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1+e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ 2\,x^2&&&=&12\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&&&=&6\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación, se obtiene fácilmente $$x=\pm \sqrt{6}$$
Para obtener los valores de la otra incógnita, procedemos de manera parecida:
$\left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ x^2&-&y^2&=&2\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2\,\rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&2\,y^2&=&8\end{matrix}\right.\overset{\frac{1}{2}\,e_2\,\rightarrow e_2}{\sim}$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x^2&+&y^2&=&10 \\ &&y^2&=&4\end{matrix}\right.$$ y de la segunda ecuación se llega a $$y=\sqrt{4}=\pm\,2$$
La solución viene dada por cuatro pares de valores "(x,y)", que representan puntos en el plano ya que cada una de las ecuaciones del sistema corresponde a una curva en el plano, que como se verá más adelante, en el caso que nos ocupa, se refieren a una circunferencia y una hipérbola, respectivamente (1); por consiguiente la solución del sistema se interpreta como el conjunto de puntos de intersección de esas curvas, y son los siguientes: $$(\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,2)$$ $$(\sqrt{6}\,,\,-2)$$ $$(-\sqrt{6}\,,\,-2)$$
Nota 1
Estas gráficas, que corresponden a curvas cónicas, se estudian en 1.º de Bachillerato, pero os recomiendo que utilicéis el programa GeoGebra para visualizar las curvas mencionadas, para lo cual basta con editar la ecuación de las mismas en la línea de entrada; así podréis visualizar también los puntos que hemos obtenido como puntos de intersección de las dos curvas y que forman la solución del sistema de ecuaciones.
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miércoles, 22 de noviembre de 2017
jueves, 19 de octubre de 2017
Volumen de aire que necesitamos para respirar
ENUNCIADO. Se estima que al respirar diariamente necesitamos $8 \, \text{m}^3$ de aire. ¿ Qué volumen de aire necesitamos para respirar durante $1$ hora ? Según la estimación del enunciado, ¿ cuántos litros de aire espiramos e inspiramos cada minuto ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el volumen de aire que utilizamos ( inspiramos/expiramos ) cada hora. Entonces, habida cuenta de la proporción directa entre el volumen de aire y el tiempo, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{8}{24}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=\dfrac{1}{3} \approx 0,333\, \text{m}^3 = 333 \, \dfrac{\text{dm}^3}{\text{h}}$$
Como $1 \,\text{dm}^3$ equivale a $1\, \text{L}$ de capacidad, entonces $333\,\text{dm}^3$ suponen $333\,\text{L}$, luego la respuesta a la segunda pregunta es $$ 333 \, \dfrac{\text{L}}{\text{h}} \cdot \, \dfrac{1}{60}\,\dfrac{\text{h}}{\text{min}}=5,5 \, \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el volumen de aire que utilizamos ( inspiramos/expiramos ) cada hora. Entonces, habida cuenta de la proporción directa entre el volumen de aire y el tiempo, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{8}{24}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=\dfrac{1}{3} \approx 0,333\, \text{m}^3 = 333 \, \dfrac{\text{dm}^3}{\text{h}}$$
Como $1 \,\text{dm}^3$ equivale a $1\, \text{L}$ de capacidad, entonces $333\,\text{dm}^3$ suponen $333\,\text{L}$, luego la respuesta a la segunda pregunta es $$ 333 \, \dfrac{\text{L}}{\text{h}} \cdot \, \dfrac{1}{60}\,\dfrac{\text{h}}{\text{min}}=5,5 \, \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$$
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martes, 17 de octubre de 2017
Propagación de los errores ( en los datos ) a través de los cálculos. Intervalos de error de los resultados
ENUNCIADO. Un carpintero ha elaborado una tablilla ( de forma rectangular ). Al medir sus lados $x_1$ y $x_2$ con un metro de carpintero ha obtenido las siguientes medidas: $\bar{x}_1=51 \, \text{cm}$ y $\bar{x}_2=12,4 \, \text{cm}$. Escribir el resultado del perímetro $\bar{P}$ ( que es el valor que aproxima a $P$ ) y del área $\bar{A}$ ( que es el valor que aproxima a $A$ ) que resulta de los cálculos oportunos, atendiendo al número de cifras significativas de los datos del problema. Encontrar el intervalo de incertidumbre ( o de error ) para $P$ y para $A$.
SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
Vamos a encontrar el intervalo de error para $P$, esto es $I_P=(\bar{P}-\Delta_P\,,\,\bar{P}+\Delta_P)$ donde $\Delta_P$ es una cota de error absoluta para $P$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del perímetro viene de una suma $P=x_1+x_1+x_2+x_2$ y por tanto $\bar{P}=\bar{x}_1+\bar{x}_1+\bar{x}_2+\bar{x}_2$ , sabemos que $\Delta_P=\Delta_1+\Delta_1+\Delta_2+\Delta_2$, esto es, $\Delta_P=2\cdot (\Delta_1+\Delta_2)$, donde los sumandos corresponden a las respectivas cotas de error para las longitudes $x_1$ y $x_2$. Éstas vienen dadas por la menor unidad distinguible del aparato de medida que, en el caso de la segunda medida realizada $\bar{x}_2=12,4\,\text{cm}$, corresponde a la los milímetros pues es claro que se aprecia la cifra de las décimas de centímetro y por tanto podemos decir que $\Delta_2=0,1\,\text{cm}$; sin embargo, para la primera medida, $\bar{x}_1=51\,\text{cm}$, en la que no aparece la cifra de las décimas de centímetro, debemos entender que la unidad más pequeña que se ha discriminado ( en esa zona de medición ) es la de los centímetros, luego podemos tomar como cota de error absoluto para $x_1$, $\Delta_1=1\,\text{cm}$. Así pues, $\Delta_P=2\cdot (1+0,1)=2,2 \, \text{cm} \approx 3 \, \text{cm}$ ( aproximando por exceso ) y, por consiguiente, $P = 127\pm 3 \, \text{cm}$, por lo que el intervalo de error pedido para $P$ es $I_P=(127-3\,,\,127+3)=(124\,,\,130)$ ( con los valores expresados en centímetros ).
-oOo-
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
Nos proponemos ahora encontrar el intervalo de error para $A$, esto es $I_A=(\bar{A}-\Delta_A\,,\,\bar{A}+\Delta_A)$ donde $\Delta_A$ es una cota de error absoluta para $A$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del área viene de un producto $A=x_1\cdot x_2$, sabemos que $\varepsilon_A=\varepsilon_1+\varepsilon_1$ y, por otra parte, $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{\bar{A}-\Delta_A} \quad (1)$; así que tendremos que calcular las cotas de error relativo correspondientes a $x_1$ y $x_2$: $\varepsilon_1=\frac{\Delta_1}{\bar{x}_1-\Delta_1}$, luego $\varepsilon_1=\dfrac{1}{51-1}=\dfrac{1}{50}=0,02$ y $\varepsilon_2=\frac{\Delta_2}{\bar{x}_2-\Delta_2}$, luego $\varepsilon_2=\dfrac{0,1}{12,4-0,1}=\dfrac{0,1}{12,3}\approx 0,008$. Entonces, $\varepsilon_A=0,02+0,008=0,028 \approx 0,03$, con lo cual, de (1), vemos que $0,03=\dfrac{\Delta_A}{630-\Delta_A} \approx \dfrac{\Delta_A}{630}$ y por tanto $\Delta_A=630 \cdot 0,03 = 18,9 \approx 19 \, \text{cm}^2$. Conocida una cota de error absoluto podemos escribir que $A = 630 \pm 19 \, \text{cm}^2$, dicho de otra forma, el intervalo de error de $A$ es $I_A=(630-19\,,\,630+19)=(611\,,\,649) \, \text{cm}^2$
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SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.
El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$
Vamos a encontrar el intervalo de error para $P$, esto es $I_P=(\bar{P}-\Delta_P\,,\,\bar{P}+\Delta_P)$ donde $\Delta_P$ es una cota de error absoluta para $P$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del perímetro viene de una suma $P=x_1+x_1+x_2+x_2$ y por tanto $\bar{P}=\bar{x}_1+\bar{x}_1+\bar{x}_2+\bar{x}_2$ , sabemos que $\Delta_P=\Delta_1+\Delta_1+\Delta_2+\Delta_2$, esto es, $\Delta_P=2\cdot (\Delta_1+\Delta_2)$, donde los sumandos corresponden a las respectivas cotas de error para las longitudes $x_1$ y $x_2$. Éstas vienen dadas por la menor unidad distinguible del aparato de medida que, en el caso de la segunda medida realizada $\bar{x}_2=12,4\,\text{cm}$, corresponde a la los milímetros pues es claro que se aprecia la cifra de las décimas de centímetro y por tanto podemos decir que $\Delta_2=0,1\,\text{cm}$; sin embargo, para la primera medida, $\bar{x}_1=51\,\text{cm}$, en la que no aparece la cifra de las décimas de centímetro, debemos entender que la unidad más pequeña que se ha discriminado ( en esa zona de medición ) es la de los centímetros, luego podemos tomar como cota de error absoluto para $x_1$, $\Delta_1=1\,\text{cm}$. Así pues, $\Delta_P=2\cdot (1+0,1)=2,2 \, \text{cm} \approx 3 \, \text{cm}$ ( aproximando por exceso ) y, por consiguiente, $P = 127\pm 3 \, \text{cm}$, por lo que el intervalo de error pedido para $P$ es $I_P=(127-3\,,\,127+3)=(124\,,\,130)$ ( con los valores expresados en centímetros ).
El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$
Nos proponemos ahora encontrar el intervalo de error para $A$, esto es $I_A=(\bar{A}-\Delta_A\,,\,\bar{A}+\Delta_A)$ donde $\Delta_A$ es una cota de error absoluta para $A$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del área viene de un producto $A=x_1\cdot x_2$, sabemos que $\varepsilon_A=\varepsilon_1+\varepsilon_1$ y, por otra parte, $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{\bar{A}-\Delta_A} \quad (1)$; así que tendremos que calcular las cotas de error relativo correspondientes a $x_1$ y $x_2$: $\varepsilon_1=\frac{\Delta_1}{\bar{x}_1-\Delta_1}$, luego $\varepsilon_1=\dfrac{1}{51-1}=\dfrac{1}{50}=0,02$ y $\varepsilon_2=\frac{\Delta_2}{\bar{x}_2-\Delta_2}$, luego $\varepsilon_2=\dfrac{0,1}{12,4-0,1}=\dfrac{0,1}{12,3}\approx 0,008$. Entonces, $\varepsilon_A=0,02+0,008=0,028 \approx 0,03$, con lo cual, de (1), vemos que $0,03=\dfrac{\Delta_A}{630-\Delta_A} \approx \dfrac{\Delta_A}{630}$ y por tanto $\Delta_A=630 \cdot 0,03 = 18,9 \approx 19 \, \text{cm}^2$. Conocida una cota de error absoluto podemos escribir que $A = 630 \pm 19 \, \text{cm}^2$, dicho de otra forma, el intervalo de error de $A$ es $I_A=(630-19\,,\,630+19)=(611\,,\,649) \, \text{cm}^2$
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