Propagación de los errores ( en los datos ) a través de los cálculos. Intervalos de error de los resultados

ENUNCIADO. Un carpintero ha elaborado una tablilla ( de forma rectangular ). Al medir sus lados $x_1$ y $x_2$ con un metro de carpintero ha obtenido las siguientes medidas: $\bar{x}_1=51 \, \text{cm}$ y $\bar{x}_2=12,4 \, \text{cm}$. Escribir el resultado del perímetro $\bar{P}$ ( que es el valor que aproxima a $P$ ) y del área $\bar{A}$ ( que es el valor que aproxima a $A$ ) que resulta de los cálculos oportunos, atendiendo al número de cifras significativas de los datos del problema. Encontrar el intervalo de incertidumbre ( o de error ) para $P$ y para $A$.

SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.

El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$

Vamos a encontrar el intervalo de error para $P$, esto es $I_P=(\bar{P}-\Delta_P\,,\,\bar{P}+\Delta_P)$ donde $\Delta_P$ es una cota de error absoluta para $P$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del perímetro viene de una suma $P=x_1+x_1+x_2+x_2$ y por tanto $\bar{P}=\bar{x}_1+\bar{x}_1+\bar{x}_2+\bar{x}_2$ , sabemos que $\Delta_P=\Delta_1+\Delta_1+\Delta_2+\Delta_2$, esto es, $\Delta_P=2\cdot (\Delta_1+\Delta_2)$, donde los sumandos corresponden a las respectivas cotas de error para las longitudes $x_1$ y $x_2$. Éstas vienen dadas por la menor unidad distinguible del aparato de medida que, en el caso de la segunda medida realizada $\bar{x}_2=12,4\,\text{cm}$, corresponde a la los milímetros pues es claro que se aprecia la cifra de las décimas de centímetro y por tanto podemos decir que $\Delta_2=0,1\,\text{cm}$; sin embargo, para la primera medida, $\bar{x}_1=51\,\text{cm}$, en la que no aparece la cifra de las décimas de centímetro, debemos entender que la unidad más pequeña que se ha discriminado ( en esa zona de medición ) es la de los centímetros, luego podemos tomar como cota de error absoluto para $x_1$, $\Delta_1=1\,\text{cm}$. Así pues, $\Delta_P=2\cdot (1+0,1)=2,2 \, \text{cm} \approx 3 \, \text{cm}$ ( aproximando por exceso ) y, por consiguiente, $P = 127\pm 3 \, \text{cm}$, por lo que el intervalo de error pedido para $P$ es $I_P=(127-3\,,\,127+3)=(124\,,\,130)$ ( con los valores expresados en centímetros ).

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El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$

Nos proponemos ahora encontrar el intervalo de error para $A$, esto es $I_A=(\bar{A}-\Delta_A\,,\,\bar{A}+\Delta_A)$ donde $\Delta_A$ es una cota de error absoluta para $A$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del área viene de un producto $A=x_1\cdot x_2$, sabemos que $\varepsilon_A=\varepsilon_1+\varepsilon_1$ y, por otra parte, $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{\bar{A}-\Delta_A} \quad (1)$; así que tendremos que calcular las cotas de error relativo correspondientes a $x_1$ y $x_2$: $\varepsilon_1=\frac{\Delta_1}{\bar{x}_1-\Delta_1}$, luego $\varepsilon_1=\dfrac{1}{51-1}=\dfrac{1}{50}=0,02$ y $\varepsilon_2=\frac{\Delta_2}{\bar{x}_2-\Delta_2}$, luego $\varepsilon_2=\dfrac{0,1}{12,4-0,1}=\dfrac{0,1}{12,3}\approx 0,008$. Entonces, $\varepsilon_A=0,02+0,008=0,028 \approx 0,03$, con lo cual, de (1), vemos que $0,03=\dfrac{\Delta_A}{630-\Delta_A} \approx \dfrac{\Delta_A}{630}$ y por tanto $\Delta_A=630 \cdot 0,03 = 18,9 \approx 19 \, \text{cm}^2$. Conocida una cota de error absoluto podemos escribir que $A = 630 \pm 19 \, \text{cm}^2$, dicho de otra forma, el intervalo de error de $A$ es $I_A=(630-19\,,\,630+19)=(611\,,\,649) \, \text{cm}^2$

$\square$