Suma i producte dels $n$ primers termes d'una successió geomètrica

Enunciat:
El segon terme d'una successió geomètrica és igual a $4$ i el sisè terme és igual a $3$
Us demanem:
      a) El valor de la suma dels vint primers termes d'aquesta successió: $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.
      b) El valor del producte dels deu primers termes d'aquesta successió: $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{20}$

Resolució:
a)
Entre el segon i el sisè terme hi ha tres termes; per tant, el sisè terme $a_6$ representa el cinquè terme de la seqüència $\{a_2, a_3, \ldots, a_6 \}$. Llavors
$a_6=a_2 \cdot r^4$
(on $r$ representa la raó de la successió geomètrica)
Tenint en compte els valors donats a l'enunciat
$3=4 \cdot r^4$

d'on obtenim

$r=\bigg(\dfrac{3}{4}\bigg)^{\frac{1}{4}}$

Per calcular la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ podem fer ús del resultat

$s_n=a_1 \cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1} \quad \quad (1)$

Veiem, doncs, que cal calcular els valors del primer terme:

El valor del primer és igual a
$a_1=a_2 \cdot \dfrac{1}{r}$
que, tenint en compte els valors de l'enunciat, dóna
$a_1 = \ldots = 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-\frac{1}{4}} \quad \quad (2)$

Llavors, fent el càlcul indicat (1), el valor de la suma demanada és igual a
$s_{20} \approx 47,2407$

b)
Sabem que el producte $p_n$ dels $n$ primers termes d'una successió geomètrica és igual a

$p_n=\bigg(a_1 \cdot a_n \bigg)^{\frac{n}{2}} \quad \quad (3)$

Ens falta calcular el valor del vintè terme per poder emprar aquest resultat. Calculem-lo a partir de
l'expressió del terme general d'una successió geomètrica i del valor de $a_1$   (2)

$a_n=a_1 \cdot r^{n-1} \quad (n=1,2,3,\ldots)$

$a_{20}=a_1 \cdot r^{19} = \ldots = \dfrac{81 \, \sqrt{3}}{128}$

Llavors, de l'expressió (3) i del valor del primer terme (2), trobem

$p_n = \big(a_1 \cdot a_n \big)^{10} \approx 5386461$

$\square$