La suma de dos números enteros es 1, y, el producto es -156. ¿ Cuáles son dichos números ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La suma de dos nombres enters és igual a $1$ i el producte de l'un per l'altre és igual a $-156$. Determineu aquests nombres

Resolució:
Anomenant $m$ i $n$ als nombres enters que volem determinar, traduïm l'enunciat al llenguatge de l'àlgebra, plantejant el següent sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} m+n=1 \\ n \cdot m = -156 \\ \end{matrix}\right\}$

De la primera equació

$m=1-n$

i posant això a la segona, arribem a una equació amb una sola variable

$n\,(1-n)=-146$

equació polinòmica de 2n grau, que, havent desfet el parèntesi (propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma), n'ordenarem els termes (de grau més gran a grau més petit) en un dels membres de la igualtat, preparant-la per aplicar el procediment de resolució de l'equació completa

$a\, n^2+b\,n+c=0$

que té com a solució

$n=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,a\,c}}{2 \, a}$

l'equació preparada és
$n^2-n-156=0$

observem que

$a=1$
$b=-1$
$c=-156$

llavors

$n=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{1-4 \cdot 1 \cdot (-156)}}{2 \cdot 1}$

fent els càlculs obtenim

$n=\dfrac{1 \pm \sqrt{625}}{2}=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1+25}{2} = 13 \\ \\ \dfrac{1-25}{2} = -12\\ \end{matrix}\right.$

Substituint aquests valor a la primera equació, trobarem els valors que corresponen - com a solució - l'altra variable $m$

    Si $n=13$, llavors $m=1-13=-12$

    Si $n=-12$, llavors $m=1-(-12)=13$

Concloem, doncs, que els nombres demanats són -12 i 13

$\square$

[autoría]