Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(-3,5)$ y $B(4,6)$ y la recta $r$ que pasa por estos dos puntos. Se pide:
(1) una ecuación vectorial de $r$
(2) unas ecuaciones paramétricas de $r$
(3) una ecuación de $r$ en forma continua
(4) la ecuación de $r$ en forma explícita
(5) la ecuación de $r$ en forma implícita ( general )
(6) una ecuación de $r$ en forma punto-pendiente
(7) ¿ cuál es el valor de la pendiente de la recta ?
(8) ¿ cuál es el valor de la ordenada en el origen de dicha recta ?
(9) ¿ cuál es el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $100$ ?
(10) ¿ cuál es el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $-20$ ?
Resolución:
(1)
Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera de $r$, entonces
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$ ( por la suma de vectores ) y, como $\overrightarrow{AP} \propto \overrightarrow{AB}$ ( ambos vectores están sobre la misma recta, luego son proporcionales ), podemos escribir $\overrightarrow{AP}=\lambda\,\overrightarrow{AB}$, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$, relación que, escrita en coordenadas, se puede poner de la forma $$(x,y)=(-3,5)+\lambda(4-(-3),6-5)\,;\,\lambda \in \mathbb{R}$$
es decir
$$r:\,(x,y)=(-3,5)+\lambda(7,1)\,;\,\lambda \in \mathbb{R}$$
Observación: El orden en que ponemos los puntos en el segundo miembro de la ecuación es irrelevante, es decir - por ejemplo -, también encontraríamos una ecuación vectorial de $r$ igualmente válida planteándola como sigue: $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PA}$$
(2)
De la ecuación vectorial anterior se deducen dos ecuaciones escalares, pues la igualdad vectorial implica la igualdad respecto de las primeras coordenadas y la igualdad en respecto de las segundas coordenadas, esto es
$$\left.\begin{matrix}
x&=&-3+7\,\lambda \\ y &=& 5+\lambda \\
\end{matrix}\right\}$$
(3)
Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de las ecuaciones anteriores e igualando los segundos miembros, llegamos a una ecuación de la recta en forma continua
$$\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$$
Nota: No es imprescindible haber hecho los dos apartados anteriores para dar una respuesta a éste, pues una ecuación de la recta en forma continua puede escribirse también planteando la semejanza de dos de los triángulos que se forma al trabajar con tres puntos alineados de la recta: dos puntos de datos, que son $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$, y el tercero, que es el de las variables, que es $P(x,y)$; así, pues, obtendríamos:
$$\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$$
o, de forma, igualmente válida
$$\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$$
Notad que las ecuación obtenida ( a partir de las ecuaciones paramétricas ) no es otra que la segunda indicada; en efecto:
$$\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$$
se puede expresar de la forma
$$\dfrac{x-(-3)}{4-(-3)}=\dfrac{y-5}{6-5}$$
(4)
Despejando la variable dependiente, $y$, de la ecuación en forma continua, podremos escribir la ecuación en forma explícita:
$$y=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$$
Nota: Tampoco es necesario, en este caso, partir del apartado anterior ( de la ecuación en forma explícita ) ya que si imponemos que las coordenadas de los puntos que vienen dados satisfagan la ecuación de la recta $y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( a determinar ) de la recta y $k$ es la ordenada en el origen ( a determinar ) de la recta, se plantea un sistema de ecuaciones lineales, que, resolviéndolo, nos permitirá determinar $m=\dfrac{1}{7}$ y $k=\dfrac{38}{7}$
(5)
A partir de la recta en forma continua resulta muy sencillo obtener la ecuación implícita, es decir, la ecuación escrita de la forma $A\,x+B\,y+C=0$; en efecto, a partir de $\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$, y multipolicando por $7$ ambos miembros, obtenemos $x+3=7\,(y-5)$, y deshaciendo el paréntesis del segundo miembro y agrupando todos los terminos en uno de los dos miembros llegamos $x-7\,y+38=0$, con lo cual vemos que $A=1$, $B=-7$ y $C=38$.
(6)
Dado un punto, como por ejemplo $A(x_A,y_A)$ y dada la pendiente de la recta, $m$, podemos expresar la recta de la forma $y-y_A=m\,(x-x_A)$; en efecto, de la ecuación de la recta en forma continua es claro que $\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A} \Rightarrow y-y_A=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot (x-x_A)$, y reconociendo en $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ la pendiente $m$ de la recta ( por su significado geométrico ), queda justificadada así la forma punto-pendiente.
En el caso que nos ocupa: las coordenadas de $A$ son $x_A=-3$ y $y_B=5$, y, de acuerdo con lo obtenido en el apartado (4), la pendiente es $m=\dfrac{6-5}{4-(-3)}=1/7$, con lo cual, una ecuación punto-pendiente es
$$y-5=\dfrac{1}{7} \cdot (x-(-3))$$
y simplificando
$$y-5=\dfrac{1}{7} \cdot (x+3)$$
Nota: Observemos que de la ecuación explícita, $y=m\,x+k$ ( que ya conocemos: $y=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$ ) también se deduce el valor de la pendiente, que resulta ser $m=\dfrac{1}{7}$, así como el de la ordenada en el origen, que es $k$, y que comparando con la ecuación de la recta del problema resulta ser $k=\dfrac{38}{7}$ ( este valor se pide más adelante y diremos pues algo más sobre él ).
(7)
Este apartado lo hemos contestado ya en el anterior. Recordemos que hemos obtenido para el valor de la pendiente ( grado de inclinación de la recta ) el valor $m=\dfrac{1}{7}
Observación: Si graduamos ambos ejes de la misma manera, encotraremos que $\tan\, \big(\angle ( r,Oy)\big) \overset{def}{=}m=1/7$
(8)
La ordenada en el origen, $k$, es ( por definición ) la ordenada del punto de corte de la recta con el eje $Oy$, luego es el valor que corresponde a la variable $y$ para $x=0$, por lo que, por la ecuación de la recta ( cualquiera de sus forma sirve, por ejemplo la forma explícita ), podemos escribir: $y(x=0)=\dfrac{1}{7}\cdot 0+\dfrac{38}{7}=\dfrac{38}{7}$
Nota: Notemos que el valor de $k$ se obtiene directamente de la ecuación en forma explícita, $y=m\,x+k$, pues es el término independiente ( segundo miembro ); recordemos, por tanto, que ya habíamos deducido el valor de $k$ en el apartado (4).
(9)
Disponiendo ya de la ecuación de la recta, por ejemplo la de la forma explícita, tenemos ya la función $f(x)=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$ ( en este caso, una función lineal afín ), luego podemos hacer uso de ésto para hacer cálculos como el que se nos pide en este apartado, que no es otro que $f(100)$, con lo cual obtenemos $f(100)=\dfrac{1}{7} \cdot 100+\dfrac{38}{7}=\dfrac{138}{7}\approx 19'7$
(10)
Se nos pide, ahora que calculemos el valor de la abscisa, $x$, de un punto de la recta pedida ( y cuya ecuación ya conocemos ) que tiene como ordenada $-20$, es decir, hablando en el lenguaje de funciones, se nos pide que calculemos la antiimagen de $-20$, esto es, $f^{-1}(-20)$. Para calcular dicho valor, plantemos la ecuación:
$$-20=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$$
y resolviéndola, encontramos el valor de la abscisa pedida
$x=-140-38=-178$
luego estamos hablando del punto de la recta de coordenadas $(-178\,,\,-20)$
$\diamond$
martes, 25 de febrero de 2014
Sean los puntos del plano $A(-3,5)$ y $B(4,6)$ y la recta $r$ que pasa por estos dos puntos. Se pide (...)
sábado, 22 de febrero de 2014
Un día soleado observamos que la longitud de la sombra que da la fachada de un edificio mide $10 \,\text{m}$ de longitud y que, al mismo tiempo, la longitud de la sombra de una persona de $1,60\,\text{m}$ de estatura tiene una longitud de $1\,\text{m}$ ( cuando ésta está de pié ). ¿ Cuál es la altura del edificio ?.
Enunciado:
Un día soleado observamos que la longitud de la sombra que da la fachada de un edificio mide $10 \,\text{m}$ de longitud y que, al mismo tiempo, la longitud de la sombra de una persona de $1,60\,\text{m}$ de estatura tiene una longitud de $1\,\text{m}$ ( cuando ésta está de pié ). ¿ Cuál es la altura del edificio ?.
Resolución:
Por el Teorema de Tales, podemos plantear la siguiente proporción directa:
$$\dfrac{\text{altura del edificio}}{\text{longitud de la sombra del edificio}}=\dfrac{\text{altura de la persona}}{\text{longitud de la sombra de la persona}}$$
o, de forma equivalente:
$$\dfrac{\text{altura del edificio}}{\text{altura de la persona}}=\dfrac{\text{longitud de la sombre del edificio}}{\text{longitud de la sombra de la persona}}$$
denotando por $x$ a la altura del edificio y, teniendo en cuenta los datos del problema:
$$\dfrac{x}{1}=\dfrac{10}{1,60}$$
luego
$$x=\dfrac{10}{1,60}=6,25 \, \text{m}$$
$\blacksquare$
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5\,\text{dm}$ y uno de los catetos, $3\,\text{dm}$. Dibujar una figura esquemática y designar con letras los elementos del triángulo ( vértices, lados y ángulos ), respetando el convenio explicado en clase, y, a continuación, calcular: el área, el perímetro y el valor de los ángulos.
Enunciado:
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5\,\text{dm}$ y uno de los catetos, $3\,\text{dm}$. Dibujar una figura esquemática y designar con letras los elementos del triángulo ( vértices, lados y ángulos ), respetando el convenio explicado en clase, y, a continuación, calcular: el área, el perímetro y el valor de los ángulos.
Resolución:
Dibujando la figura:
donde: $c=5\,\text{dm}$, $a=3\,\text{dm}$ y $\gamma=90º$ (datos)
A continuación, por el Teorema de Pitágoras, $b=\sqrt{5^2-3^2}=4\,\text{dm}$
y, utilizando las razones trigonométricas básicas: $\alpha=\text{arcsen}(3/5)\approx 36º\,52^{'}$ y $\beta=\text{arcsen}(4/5)\approx 53º\,8^{'}$
El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus tres lados: $P=3+4+5=12\,\text{dm}$
y a partir de los dos catetos podemos calcular el área del triángulo: $\text{Área}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6 \,\text{dm}^2$
$\blacksquare$
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (de primer grado) $\left\{\begin{matrix} 2\,x & + & y &=& 1\\ -x & + & 3\,y &=& 2\\ \end{matrix}\right.$
Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (de primer grado)
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
-x & + & 3\,y &=& 2\\
\end{matrix}\right.$$
Resolución:
Procedemos a resolver el sistema por el método de reducción, si bien - por supuesto - podemos resolverlo también por cualquiera de los otros dos métodos ( igualación y sustitución).
Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuación por $2$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones equivalentes
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
-2\,x & + & 6\,y &=& 4\\
\end{matrix}\right.$$
sumando, ahora, la primera y la segunda ecuación ( miembro a miembro ) obtenemos una ecuación equivalente a la segunda, por la que ésta será sustiuida
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
& & 7\,y &=& 5\\
\end{matrix}\right.$$
De la segunda ecuación de este sistema ( equivalente al original ) obtenemos: $$y=\dfrac{5}{7}$$ y, sustituyendo dicho valor en la primera ( o en la segunda ) ecuación original, llegamos al valor de la otra incógnita:
$2\,x+\dfrac{5}{7}=1$
$7\cdot 2\,x+7 \cdot \dfrac{5}{7}=7 \cdot 1$
$14\,x+5=7$
$14\,x=7-5$
$14\,x=2$
$x=\dfrac{2}{14}=\dfrac{1}{7}$
$\blacksquare$
Resolver la siguiente ecuación de primer grado: $\dfrac{1-x}{5}+\dfrac{3\,x+2}{10}=\dfrac{4-x}{15}$
Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación de primer grado:
$$\dfrac{1-x}{5}+\dfrac{3\,x+2}{10}=\dfrac{4-x}{15}$$
Resolución:
$\dfrac{1-x}{5}+\dfrac{3\,x+2}{10}=\dfrac{4-x}{15}$
Procedemos a reducir la ecuación multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es $30$:
$30\cdot \dfrac{1-x}{5}+30\cdot \dfrac{3\,x+2}{10}=30\cdot \dfrac{4-x}{15}$
$\dfrac{30}{5} \cdot (1-x)+\dfrac{30}{10} \cdot (3\,x+2)=\dfrac{30}{15}\cdot (4-x)$
$6 \cdot (1-x)+3 \cdot (3\,x+2)=2\cdot (4-x)$
$6 \cdot 1-6\,x+3 \cdot 3\,x+3 \cdot 2=2\cdot 4-2\,x$
$6 -6\,x+9\,x+6=8-2\,x$
$ 3\,x+12=8-2\,x$
$ 3\,x+2\,x=8-12$
$ 5\,x=-4$
$x=-\dfrac{4}{5}$
$\blacksquare$
Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema del Factor ).
Enunciado:
Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema de Factorización ).
Resolución:
Las raíces de un polinomio son los valores de la variable $x$ que anulan dicho polinomio, luego imponiendo esta condición: $x^2-4x+3=0$, encontramos $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3 \end{matrix}\right.$; luego el polinomio dado tiene estas dos raíces, que son de multiplicidad uno cada una por ser el polinomio de grado dos. Y, por el teorema de factorización: $P(x)=(x-1)\,(x-3)$.
$\blacksquare$
El precio de un producto ha pasado de $12$ euro a $14$ euro. ¿ Cuál ha sido el tanto por ciento de aumento ?.
Enunciado:
El precio de un producto ha pasado de $12$ euro a $14$ euro. ¿ Cuál ha sido el tanto por ciento de aumento ?.
Resolución:
Denotando por $x$ al tanto por ciento de aumento pedido, podemos plantear la siguiente proporción directa: $$\dfrac{x}{100}=\dfrac{14-12}{12}$$
y resolviendo esta ecuación de primer grado
$\dfrac{x}{100}=\dfrac{14-12}{12} \Leftrightarrow 12 \, x = 100 \cdot (14-12)$
$12 \, x = 100 \cdot 2$
$x = \dfrac{1}{12} \cdot 100 \cdot 2$
$x = \dfrac{200}{12} = \dfrac{50}{3} \approx 16,67 \, \%$
$\blacksquare$
Resolver la ecuación: $x^2+8\,x+12=0$
Enunciado:
Resolver la ecuación:
$$x^2+8\,x+12=0$$
Resolución:
Teniendo en cuenta que
$$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$$
identificando el valor de los coeficientes de la equación: $a=1$, $b=8$ y $c=12$, podemos escribir
$$x^2+8\,x+12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\ -6 \end{matrix}\right.$$
$\blacksquare$
En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.
Enunciado:
En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.
Resolución:
Planteando la proporción directa entre las magnitudes valor nominal y cantidad pagada:
$$\dfrac{\text{cantidad a pagar}_1}{\text{valor nominal}_1}=\dfrac{\text{cantidad a pagar}_2}{\text{valor nominal}_2}$$
luego, denotando por $x$ el precio del producto, y teniendo en cuenta los datos del problema:
$$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$
que también podemos escribir de la forma
$$\dfrac{100}{100-5}=\dfrac{x}{20}$$
luego
$$20\cdot 100=95\,x$$
y despejando la incógnita
$$x=\dfrac{2000}{95} \approx 21,05 \; \text{euro}$$
$\blacksquare$
Al finalizar un campeonato de ajedrez, se desea repartir un premio de $100\;\text{euro}$ entre dos finalistas, de forma directamente proporcional al número de partidas ganadas, que son: $6$ y $5$, respectivamente. ¿ Qué cantidad corresponde a cada finalista ?.
Enunciado:
Al finalizar un campeonato de ajedrez, se desea repartir un premio de $100\;\text{euro}$ entre dos finalistas, de forma directamente proporcional al número de partidas ganadas, que son: $6$ y $5$, respectivamente. ¿ Qué cantidad corresponde a cada finalista ?.
Resolución:
Sean $x_1=6$ y $x_2=5$ el número de partidas ganadas por los respectivos jugadores, y sean $y_1$ e $y_2$ las cantidades respectivas que les corresponden por reparto proporcional. Como $X$ e $Y$ son magnitudes proporcionales que están en relación directa, podemos plantear:
$$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$$
cuyo valor común es igual ( por la propiedad de las fracciones ) a $\dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$, y teniendo en cuenta que $y_1+y_2 = 100$, por ser esta cantidad el valor total del premio (a repartir) y poniendo todos los datos podemos escribir:
$$\dfrac{6}{y_1}=\dfrac{5}{y_2}=\dfrac{6+5}{100}$$
Por tanto, de la doble igualdad, podemos plantear dos ecuaciones de primer grado que nos permitirán encontrar las cantidades buscadas:
$$\dfrac{6}{y_1}=\dfrac{11}{100} \Leftrightarrow 6\cdot 100 = 11\,y_1 \Rightarrow y_1 \approx 54,55\, \text{euro}$$
$$\dfrac{5}{y_2}=\dfrac{11}{100} \Leftrightarrow 5\cdot 100 = 11\,y_2 \Rightarrow y_2 \approx 45,45\, \text{euro}$$
$\blacksquare$
Ingresamos $200\,\text{\euro}$ durante $3$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $2\,\%$. Los intereses se hacen efectivos cada dos meses. Calcular el valor del capital final
Enunciado:
Ingresamos $200\,\text{\euro}$ durante $3$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $2\,\%$. Los intereses se hacen efectivos cada dos meses. Calcular el valor del capital final.
Resolución:
De acuerdo con el modelo de interés compuesto: $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\,\big(1+\dfrac{i}{f})^{t\cdot f}$$
donde $t$ es el número de años; $f$ es la frecuencia anual de producción de los intereses, e $i$ es la tasa de interés anual.
Entonces, poniendo los datos del problema ( $t=3$, $f=12/2=6$, $i=0,02$):
$$C_{\text{final}}=200\cdot\bigg(1+\dfrac{0,02}{6}\bigg)^{3 \cdot 6}\approx 212,35 \; \text{euro}$$
$\square$