Resolución de ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

¿Qué valor (o valores) de $x \in \mathbb{R}$ cumplen la siguiente ecuación?: $$2^{\sqrt{x}}=3$$

Tendremos que utilizar logaritmos para despejar la incógnita:
  $2^{\sqrt{x}}=3$
    $\ln\,\left(2^{\sqrt{x}}\right)=\ln\,(3)$
      $\sqrt{x}\cdot \ln\,(2)=\ln\,(3)$
        $\sqrt{x}=\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}$
          $(\sqrt{x})^2=\left(\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}\right)^2$
            $x=\left(\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}\right)^2$
              $x=\dfrac{(\ln\,(3))^2}{(\ln\,(2))^2}$

Nota: Cuidado: $(\ln\,(a))^b \neq \ln\,(a^b)$, por lo que no podemos simplificar más la última línea.

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Cosas que parecen muy difíciles, pero que no lo son tanto

Voy a resolver una ecuación que parece muy complicada, pero que, como veréis, se resuelve fácilmente si nos fijamos bien en la descomposición en factores primos del miembro de la derecha: $$x^{x^{x}}=16$$

Descomponiendo en factores primos el segundo miembro: $16=2^4$, por lo tanto
  $x^{x^{x}}=2^4$, y como $4=2^2$, se tiene que
    $x^{x^{x}}=2^{2^{2}} \Leftrightarrow x=2$

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Factorización directa de ciertos polinomios

A la hora de factorizar un polinomio, el siguiente ejemplo viene bien para hablar de ciertas situaciones en las que no es necesario encontrar primero las raíces del polinomio para poder factorizarlo después: a veces podemos factorizarlo directamente; simplemente, haciendo unos arreglos algebraicos, para, extrayendo factor común y utilizando acaso alguna identidad notable, poder reexpresarlo de manera equivalente de modo que se vea cuál es la factorización sin mucho esfuerzo. Y, claro, ni que decir tiene que las raíces también acabermos conociéndolas, pero después de haber efectuado la factorización. Veámoslo con el polinomio $P(x)=x^3-3x-2$, paso a paso:

$P(x)=x^3-3x-2$
  $=x^3-4x+x-2$
    $=x\,(x^2-4)+x-2$, y habida cuenta de la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, donde $a:=x$ y $b:=2$, se tiene que
      $=x\,(x+2)(x-2)+x-2$
        $=(x-2)\,\left(x\,(x+2)+1\right)$
          $=(x-2)\,(x^2+2x+1)$, y habida cuenta de la identidad notable $(c+d)^2=c^2+2cd+d^2$, donde $c:=x$ y $d:=1$, se tiene que
            $=(x-2)\,(x+1)^2$

--- Comentario: No os preocupéis si encontráis al principio estas técnicas un poco rebuscadas; la práctica con los cálculos algebraicos permite, con paciencia y poco a poco, adquirir hábitos y habilidades —se parece un poco a como una persona aficionada al ejedrez aprende a anticipar algunos movimientos—, que, dicho de pasado, pueden llegar a ser muy útiles en muchos cálculos. --- Nota: Obsérvese que del polinomio factorizado, se desprenden las raíces de $P(x)$ sin hacer ningún cálculo, que son: $2$ (con multiplicidad $1$) y $-1$ (ya que $x+1=x-(-1)$, que se anula para $x=-1$) con multiplicidad $2$ (el factor de la potencia del binomio de base $x+1$). En efecto, ambos valores anulan el polinomio: $P(2)=2^3-3\cdot 2-2=0$ y $P(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)-2=0$. --- Observación: Recordemos que las raíces de $P(x)$ son las soluciones de la ecuación $P(x)=0$, por lo que, lo que hemos hecho, también serviría para resolver directamente la ecuación polinómica $x^3-3x-2=0$. $\diamond$

Álgebra elemental con una ecuación no polinómica sencilla. Aplicación de las propiedades elementales de las potencias

En este artículo voy a resolver la siguiente ecuación, paso a paso, empleando las propiedades básicas de las potencias: $$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=2^x$$

$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=2^x$
  $\sqrt{2\sqrt{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}}=2^x$
    $\sqrt{2\sqrt{2^{1+\frac{1}{2}}}}=2^x$
      $\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}}=2^x$
        $\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}}=2^x$
          $\sqrt{2 \cdot \left( 2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=2^x$
            $\sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}}=2^x$
              $\sqrt{2\cdot 2^{\frac{3}{4}}}=2^x$
                $\sqrt{2^{1+\frac{3}{4}}}=2^x$
                  $\sqrt{2^{\frac{7}{4}}}=2^x$
                    $\left(2^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^x$
                      $2^{\frac{7}{4}\cdot \frac{1}{2}}=2^x$
                        $2^{\frac{7}{8}}=2^x \Leftrightarrow x=\dfrac{7}{8}$
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Una ecuación no polinómica muy interesante y resoluble mediante las técnicas básicas

En este breve artículo voy a mostrar cómo puede resolverse una ecuación no polinómica, que, de entrada, tal vez asuste un poco, $$2^x=x^2$$ pero que sin embargo, veremos que podemos encontrar la solución con técnicas elementales propias de este curso, una vez hayamos realizado la manipulación algebraica que utilizaremos en la segunda línea del desarrollo:

$2^x=x^2$
  $(2^x)^{\frac{1}{2x}}=(x^2)^\frac{1}{2x}$ (elevamos ambos miembros al mismo exponente, $\frac{1}{2x}$, lo cual constituye, como veremos enseguida, el paso clave del ejercicio), pues al simplificar, nos queda lo siguiente:
    $2^{\frac{1}{2}}=x^\frac{1}{x}$

Llegados a este punto, es evidente que la igualdad se cumple si $x=2$, pero ojo, éste no es ése el único valor que podemos encontrar; en efecto, si nos fijamos en el primer miembro de la ecuación equivalente que hemos escrito en el paso clave, $2^\frac{1}{2}$ (que, desde luego, es igual al valor del segundo miembro para el valor que hemos encontrado, $x=2$), debemos reparar en el hecho de que $2^\frac{1}{2}$ es lo mismo que $ \left(2^\frac{2}{2}\right)^\frac{1}{2}=\left(\left(2^2\right)^{\frac{1}{2}}\right)^\frac{1}{2}=4^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=4^\frac{1}{4}$, luego $x=4$ satisface también la ecuación, pues el valor numérico de ambos miembros coincide. Por supuesto, el darnos cuenta de este detallito constituye la segunda dificultad a la hora de encontrar la solución completa a la ecuación.

Así pues, la solución de la ecuación propuesta se compone de estos dos valores, $x_1=2$ y $x_2=4$. Podemos comprobar que al sustituir uno y otro en la igualdad algebraica dan lugar a la igualdad numérica de sendos miembros de la misma:
Comprobación de $x_1=2$:
  $2^2=2^2=4$
Comprobación de $x_2=4$:
  $2^4\overset {?}{=}4^2$
en efecto,
$2^4=16=4^2$
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Peculiaridades de algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado

Algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado, escritas de la forma $ax^2+b\,x+c=0$, son muy sencillas de resolver, pues fácilmente uno entrevé cómo factoriza el polinomio del primer miembro, y, ya a partir de ahí, se ven cláramente cuáles son las raíces de los binomios de primer grado (factores), que son los valores de la solución; en concreto, me refiero a los casos en los que el término independiente se pueda expresar de la forma $c=p\cdot q$, de tal manera, que $b=p+q$. Veamos el siguiente ejemplo: $x^2+4\,x-21=0$

Podemos escribir la ecuación de la forma $x^2+4x+(-21)=0$, para aclarar que $c=-21$ y $b=4$. Observemos que para esta ecuación se dan las condiciones comentadas: $c=-21=7\cdot (-3)$, y b=4=7+(-3)$.

Entonces,
  $x^2+4x+(-21)=0$
    $x^2+7\,x+(-3)\,x+(-21)=0$
      $x\,(x+7)-3\,(x+7)=0$
        $(x+7)\,(x-3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+7=0 \\ x-3 =0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-7 \\ 3 \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de los siguientes valores: $$\{-7, 3\}$$ $\diamond$

Un ejercicio relacionado con las mezclas y las proporciones

Consideremos dos depósitos, uno junto al otro, el de la derecha contiene inicialmente solamente agua ($a$ unidades de volumen) y el de la izquierda contine inicialmente solamente vino ($v$ unidades de volumen). Mediante un cazo, en el que caben $c$ unidades de volumen, se trasvasa (llenándolo) el agua que cabe en él al depósito de la izquierda. A continuación, y despues de remover bien el contenido del depósito de la izquierda, se vuelve a llenar el cazo de la mezcla, para trasvasar el contenido del cazo al depósito de la derecha. ¿Cuáles son las proporciones de agua y, respectivamente, de vino en ambos depósitos?

Vamos a seguir con cuidado todos los pasos, anotando metódicamente el estado de cada depósito, así como el del cuenco con el que hacemos los trasvases:
Situación 1 (en el depósito de la derecha solo hay agua (un volumen a) y en el de la izquierda solo hay vino (un volumen v) - en el cuenco tiene una cierta capacidad c -. El cuenco está vacío, fuera del depósito de la derecha:
Volumen de agua en el depósito derecho: $a$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $0$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $0$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $1$

===
Situación 2 (se sumerge el cuenco vacío en el d. der. y se saca, lleno, del mismo)
Volumen de agua en el depósito derecho: $a-c$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $0$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $0$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $1$

===
Situación 3 (se vierte el contenido del cuenco en el d. izq. y se saca el cuenco vacío)
Volumen de agua en el depósito derecho: $a-c$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $c$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $\dfrac{c}{c+v}$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $\dfrac{v}{c+v}$

===
Situación 4 (se sumerge el cuenco vacío en el depósito de la izquierda, se remueve bien éste, y se saca el cuenco lleno)
--
Volumen de agua en el cuenco: $c\cdot \dfrac{c}{c+v}=\dfrac{c^2}{c+v}$
Volumen de vino en el cuenco: $c\cdot \dfrac{v}{c+v}=\dfrac{c\,v}{c+v}$
Proporción de agua en el cuenco: $\dfrac{c}{c+v}$
Proporción de vino en el cuenco: $\dfrac{v}{c+v}$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $c-c\cdot \dfrac{c}{c+v}=\dfrac{cv}{c+v}$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v-c\cdot \dfrac{v}{c+v}=\dfrac{v^2}{c+v}$
--
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $\dfrac{cv/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{cv}{v^2+cv}=\dfrac{v}{v+c} \quad (1)$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $\dfrac{v^2\,/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{v^2}{v^2+cv}=\dfrac{c}{v+c} \quad (2)$

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Situación 5 - final - (se vierte el cuenco lleno en el depósito de la derecha)
Volumen de agua en el depósito derecho: $c-\dfrac{c^2}{c+v}=\dfrac{cv}{c+v}$
Volumen de vino en el depósito derecho: $v-\dfrac{c\,v}{c+v}=\dfrac{v^2}{c+v}$
Proporción de agua en el depósito derecho: $\dfrac{cv/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{cv}{v^2+cv}=\dfrac{c}{v+c} \quad (1')$
Proporción de vino en el depósito derecho: $\dfrac{v^2\,/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{v^2}{v^2+cv}=\dfrac{v}{v+c} \quad (2')$

Conclusión:

De (1) y (2'), vemos que la proporción de agua en el depósito de la izquierda es igual a la proporción de vino en el depósito de la derecha; y, de (2) y (1'), es claro que la proporción de vino en el depósito de la izquierda es igual a la proporción de agua en el depósito de la derecha. $\diamond$