Un ejercicio relacionado con las mezclas y las proporciones

Consideremos dos depósitos, uno junto al otro, el de la derecha contiene inicialmente solamente agua ($a$ unidades de volumen) y el de la izquierda contine inicialmente solamente vino ($v$ unidades de volumen). Mediante un cazo, en el que caben $c$ unidades de volumen, se trasvasa (llenándolo) el agua que cabe en él al depósito de la izquierda. A continuación, y despues de remover bien el contenido del depósito de la izquierda, se vuelve a llenar el cazo de la mezcla, para trasvasar el contenido del cazo al depósito de la derecha. ¿Cuáles son las proporciones de agua y, respectivamente, de vino en ambos depósitos?

Vamos a seguir con cuidado todos los pasos, anotando metódicamente el estado de cada depósito, así como el del cuenco con el que hacemos los trasvases:
Situación 1 (en el depósito de la derecha solo hay agua (un volumen a) y en el de la izquierda solo hay vino (un volumen v) - en el cuenco tiene una cierta capacidad c -. El cuenco está vacío, fuera del depósito de la derecha:
Volumen de agua en el depósito derecho: $a$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $0$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $0$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $1$

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Situación 2 (se sumerge el cuenco vacío en el d. der. y se saca, lleno, del mismo)
Volumen de agua en el depósito derecho: $a-c$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $0$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $0$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $1$

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Situación 3 (se vierte el contenido del cuenco en el d. izq. y se saca el cuenco vacío)
Volumen de agua en el depósito derecho: $a-c$
Volumen de vino en el depósito derecho: $0$
Proporción de agua en el depósito derecho: $1$
Proporción de vino en el depósito derecho: $0$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $c$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v$
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $\dfrac{c}{c+v}$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $\dfrac{v}{c+v}$

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Situación 4 (se sumerge el cuenco vacío en el depósito de la izquierda, se remueve bien éste, y se saca el cuenco lleno)
--
Volumen de agua en el cuenco: $c\cdot \dfrac{c}{c+v}=\dfrac{c^2}{c+v}$
Volumen de vino en el cuenco: $c\cdot \dfrac{v}{c+v}=\dfrac{c\,v}{c+v}$
Proporción de agua en el cuenco: $\dfrac{c}{c+v}$
Proporción de vino en el cuenco: $\dfrac{v}{c+v}$
--
Volumen de agua en el depósito izquierdo: $c-c\cdot \dfrac{c}{c+v}=\dfrac{cv}{c+v}$
Volumen de vino en el depósito izquierdo: $v-c\cdot \dfrac{v}{c+v}=\dfrac{v^2}{c+v}$
--
Proporción de agua en el depósito izquierdo: $\dfrac{cv/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{cv}{v^2+cv}=\dfrac{v}{v+c} \quad (1)$
Proporción de vino en el depósito izquierdo: $\dfrac{v^2\,/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{v^2}{v^2+cv}=\dfrac{c}{v+c} \quad (2)$

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Situación 5 - final - (se vierte el cuenco lleno en el depósito de la derecha)
Volumen de agua en el depósito derecho: $c-\dfrac{c^2}{c+v}=\dfrac{cv}{c+v}$
Volumen de vino en el depósito derecho: $v-\dfrac{c\,v}{c+v}=\dfrac{v^2}{c+v}$
Proporción de agua en el depósito derecho: $\dfrac{cv/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{cv}{v^2+cv}=\dfrac{c}{v+c} \quad (1')$
Proporción de vino en el depósito derecho: $\dfrac{v^2\,/(c+v)}{cv/(c+v)+v^2\,/(c+v)}=\dfrac{v^2}{v^2+cv}=\dfrac{v}{v+c} \quad (2')$

Conclusión:

De (1) y (2'), vemos que la proporción de agua en el depósito de la izquierda es igual a la proporción de vino en el depósito de la derecha; y, de (2) y (1'), es claro que la proporción de vino en el depósito de la izquierda es igual a la proporción de agua en el depósito de la derecha. $\diamond$