lunes, 22 de mayo de 2017
domingo, 21 de mayo de 2017
Número de diagonales de un polígono convexo
ENUNCIADO. ¿ Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono convexo de $n$ vértices ?
SOLUCIÓN. Una diagonal de un polígono convexo es todo segmento cuyos extremos sean dos vértices no consecutivos. Así pues un triángulo no tiene ninguna diagonal, un cuadrilátero tiene dos, un pentágono tiene cinco, etcétera. Consideremos un polígono de un número arbitrario de vértices; para encontrar una función de $n$ cuyo valor sea el número de diagonales pedido, podemos razonar del siguiente modo.
Situémonos en un vértice cualquiera del polígono. Desde dicho vértice podemos enviar un segmento de recta a todos los demás vértices salvo a tres: al vértice consecutivo de la izquierda, al de la derecha, y el propio vértice donde nos situamos. De este modo podemos enlazar $n-3$ segmentos desde dicho vértice, pero como podemos situarnos en cualquiera de los $n$ vértices, por el principio multiplicativos contabilizamos $n\,(n-3)$. Ahora bien, así, dichos enlaces se cuentan por partida doble, ya que el recuento no distingue entre el extremo desde el cual trazamos los segmentos, luego habrá que corregir ésto dividiendo entre $2$. En consecuencia, el número de diagonales $f(n)$ es igual a $$f(n)=\dfrac{n\,(n-3)}{2}=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
Otra forma de llegar al mismo resultado consiste en ( primero ) hacer el recuento del número de segmentos que podemos trazar considerando $n$ vértices tomados de dos en dos, reconociendo que no importa el orden en que lo hagamos, y que es igual a $\binom{n}{2}$. Y, a continuación, descartar los $n$ lados del polígono de entre este conjunto de segmentos. Con lo cual llegamos a $$f(n)=\binom{n}{2}-n=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Una diagonal de un polígono convexo es todo segmento cuyos extremos sean dos vértices no consecutivos. Así pues un triángulo no tiene ninguna diagonal, un cuadrilátero tiene dos, un pentágono tiene cinco, etcétera. Consideremos un polígono de un número arbitrario de vértices; para encontrar una función de $n$ cuyo valor sea el número de diagonales pedido, podemos razonar del siguiente modo.
Situémonos en un vértice cualquiera del polígono. Desde dicho vértice podemos enviar un segmento de recta a todos los demás vértices salvo a tres: al vértice consecutivo de la izquierda, al de la derecha, y el propio vértice donde nos situamos. De este modo podemos enlazar $n-3$ segmentos desde dicho vértice, pero como podemos situarnos en cualquiera de los $n$ vértices, por el principio multiplicativos contabilizamos $n\,(n-3)$. Ahora bien, así, dichos enlaces se cuentan por partida doble, ya que el recuento no distingue entre el extremo desde el cual trazamos los segmentos, luego habrá que corregir ésto dividiendo entre $2$. En consecuencia, el número de diagonales $f(n)$ es igual a $$f(n)=\dfrac{n\,(n-3)}{2}=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
Otra forma de llegar al mismo resultado consiste en ( primero ) hacer el recuento del número de segmentos que podemos trazar considerando $n$ vértices tomados de dos en dos, reconociendo que no importa el orden en que lo hagamos, y que es igual a $\binom{n}{2}$. Y, a continuación, descartar los $n$ lados del polígono de entre este conjunto de segmentos. Con lo cual llegamos a $$f(n)=\binom{n}{2}-n=\dfrac{n^2-3\,n}{2}$$
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martes, 16 de mayo de 2017
jueves, 11 de mayo de 2017
Límite de una sucesión convergente
ENUNCIADO. Explíquese qué representa el límite de una sucesión convergente. Calcular el límite de la sucesión convergente $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ cuando $n$ tiende a $\infty$. Esto es, calcúlese $$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$$
SOLUCIÓN. Calculando los valores sucesivos de los términos de la sucesión para valores cada vez más grandes de $n$, vemos que éstos se aproximan cada vez más a $1,3333\ldots$, esto es, a $\dfrac{4}{3}$. Si ocurre algo así decimos que la sucesión está acotada y, además, en este caso, que es convergente a $\dfrac{4}{3}$. Este valor parece ser el llamado límite de la sucesión convergente. Si el límite existe es único.
Procedamos ahora a realizar el llamado cálculo del límite. Si sustituimos $n$ por $\infty$ en $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ -- a lo que denominamos paso al límite -- nos encontramos con $\dfrac{\infty}{\infty}$, que es una indeterminación. Debemos resolverla; para ello, haremos ahora un poco de álgebra: dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de la sucesión por la potencia de $n$ con mayor exponente que encontramos en ella, esto es, por $n^2$, obtenemos:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{3\,\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$
Volviendo ahora a pasar al límite obtenemos $$\dfrac{4+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{3-\frac{1}{\infty}+\frac{2}{\infty}}=\dfrac{4+0-0}{3-0+0}=\dfrac{4}{3}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Calculando los valores sucesivos de los términos de la sucesión para valores cada vez más grandes de $n$, vemos que éstos se aproximan cada vez más a $1,3333\ldots$, esto es, a $\dfrac{4}{3}$. Si ocurre algo así decimos que la sucesión está acotada y, además, en este caso, que es convergente a $\dfrac{4}{3}$. Este valor parece ser el llamado límite de la sucesión convergente. Si el límite existe es único.
Procedamos ahora a realizar el llamado cálculo del límite. Si sustituimos $n$ por $\infty$ en $f(n)=\dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$ -- a lo que denominamos paso al límite -- nos encontramos con $\dfrac{\infty}{\infty}$, que es una indeterminación. Debemos resolverla; para ello, haremos ahora un poco de álgebra: dividiendo el numerador y el denominador de la expresión de la sucesión por la potencia de $n$ con mayor exponente que encontramos en ella, esto es, por $n^2$, obtenemos:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,n^2+n-1}{3\,n^2-n+2}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4\,\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{3\,\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2}{n^2}}$
$=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \dfrac{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$
Volviendo ahora a pasar al límite obtenemos $$\dfrac{4+\frac{1}{\infty}-\frac{1}{\infty}}{3-\frac{1}{\infty}+\frac{2}{\infty}}=\dfrac{4+0-0}{3-0+0}=\dfrac{4}{3}$$
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Dominio de definición y recorrido ( conjunto imagen ) de una función
ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\ln\,(x+1)$
SOLUCIÓN. La función logaritmo sólo está definida para números positivos, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Veamos ahora cuál es el conjunto imagen de dicha función. Como se trata de una función biyectiva, tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$( que es única ), y, por tanto deberá cumplirse que $\text{Dom}\,f^{-1}=\text{Im}\,f$. Calcularemos pues la función recíproca y su dominio de definición. Por la propiedad fundamental de los logaritmos podemos escribir $$x+1=e^y$$ luego $$x=e^y-1$$ Y, así, la estructura de la función recíproca es $f^{-1}(x)=e^x-1$ cuyo dominio de definición es $\mathbb{R}$, luego por la propiedad reseñada arriba concluimos que $\text{Im}\,f=\mathbb{R}$
$\square$
SOLUCIÓN. La función logaritmo sólo está definida para números positivos, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Veamos ahora cuál es el conjunto imagen de dicha función. Como se trata de una función biyectiva, tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$( que es única ), y, por tanto deberá cumplirse que $\text{Dom}\,f^{-1}=\text{Im}\,f$. Calcularemos pues la función recíproca y su dominio de definición. Por la propiedad fundamental de los logaritmos podemos escribir $$x+1=e^y$$ luego $$x=e^y-1$$ Y, así, la estructura de la función recíproca es $f^{-1}(x)=e^x-1$ cuyo dominio de definición es $\mathbb{R}$, luego por la propiedad reseñada arriba concluimos que $\text{Im}\,f=\mathbb{R}$
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Función recíproca asociada a una función biyectiva
ENUNCIADO. Dada la función biyectiva $f(x)=2^{x+1}$, calcular la función recíproca $f^{-1}(x)$ y representar $f(x)$ y $f^{-1}(x)$ en un mismo diagrama cartesiano.
SOLUCIÓN. Escribiendo la función dada (por comodidad) de la forma $y=2^{x+1}$, y sacando logaritmos ( nos proponemos despejar la variable $x$ ), obtenemos $$\ln\,y=\ln\,2^{x+1}$$ y por las propiedades de los logaritmos, $$\ln\,y=(x+1)\cdot \ln\,2$$ y por tanto $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}-1$$ que nos da la estructura de la función recíproca $f^{-1}$ asociada a la función $f$; esto es, $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}-1$$
A continuación se muestra las gráficas de las funciones $f(x)$, $f^{-1}(x)$ y de la función identidad $\text{Id}(x)$ en un mismo diagrama. Es importante recordar que la gráfica de la función identidad ( recta bisectriz del los cuadrantes primero y tercero, pues $\text{Id}(x)=x$ es lo mismo que decir $y=x$ ) hace el papel de recta de simetría ( por reflexión ) de las gráficas de las funciones directa y recíproca.
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SOLUCIÓN. Escribiendo la función dada (por comodidad) de la forma $y=2^{x+1}$, y sacando logaritmos ( nos proponemos despejar la variable $x$ ), obtenemos $$\ln\,y=\ln\,2^{x+1}$$ y por las propiedades de los logaritmos, $$\ln\,y=(x+1)\cdot \ln\,2$$ y por tanto $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}-1$$ que nos da la estructura de la función recíproca $f^{-1}$ asociada a la función $f$; esto es, $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}-1$$
A continuación se muestra las gráficas de las funciones $f(x)$, $f^{-1}(x)$ y de la función identidad $\text{Id}(x)$ en un mismo diagrama. Es importante recordar que la gráfica de la función identidad ( recta bisectriz del los cuadrantes primero y tercero, pues $\text{Id}(x)=x$ es lo mismo que decir $y=x$ ) hace el papel de recta de simetría ( por reflexión ) de las gráficas de las funciones directa y recíproca.
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Composición de funciones
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^2+x+1$. Se pide:
a) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
b) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)
c) El valor de función $(f \circ g)(2)$
d) El valor de función $(g \circ f)(2)$
SOLUCIÓN.
a)
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2+(x+1)+1$
$=x^2+2x+1+x+1+1$
$=x^2+3x+3$ (1)
b)
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=g(x^2+x+1)=(x^2+x+1)+1$
$=x^2+x+2$ (2)
c)
$(f \circ g)(2)=2^2+2+2$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (2) )
$=4+2+2$
$=8$
d)
$(g \circ f)(2)=2^2+3\cdot 2+3$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (1) )
$=4+6+3$
$=13$
$\square$
a) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
b) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)
c) El valor de función $(f \circ g)(2)$
d) El valor de función $(g \circ f)(2)$
SOLUCIÓN.
a)
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2+(x+1)+1$
$=x^2+2x+1+x+1+1$
$=x^2+3x+3$ (1)
b)
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=g(x^2+x+1)=(x^2+x+1)+1$
$=x^2+x+2$ (2)
c)
$(f \circ g)(2)=2^2+2+2$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (2) )
$=4+2+2$
$=8$
d)
$(g \circ f)(2)=2^2+3\cdot 2+3$ ( sustituyendo $x$ por $2$ en (1) )
$=4+6+3$
$=13$
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