lunes, 5 de diciembre de 2016
Factorizando polinomios
ENUNCIADO. Factorizar el polinomio $$P(x)=x^3+2x^2-x-2$$
SOLUCIÓN. Hay una fórmula para encontrar las raíces de los polinomios de tercer grado, pero como se ha comentado en clase, no la usamos, por su complejidad. Como alternativa, trataremos de buscar, primero, las raíces enteras ( si las hubiera ).
Sabemos ( por un teorema enunciado en clase ) que toda raíz entera de $P(x)$ ha de ser divisor del término independiente, que en la ecuación pedida es $-2$. Como $$\text{div}(-2)=\{-2,-1,1,2\}$$ veremos a continuación si alguno de esos números cumple la condición para que sea raíz del polinomio dado, que, como sabemos es la de anular el polinomio cuando $x$ toma dicho valor.
Observemos que $P(1)=1^3+2\cdot 1^2-1-2=0$, luego $r_1=1$ es una raíz de $P(x)$, así que, por el teorema del factor, podemos escribir $$P(x)=(x-r_1)\cdot Q(x)$$ siendo $Q(x)$ el polinomio que resulta de $P(x) \div (x-1)$. Calculemos dicho polinomio.
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 2 & -1 & -2 \\
1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}$$ luego $Q(x)=x^2+3\,x+2$.
Entonces, las restantes raíces de $P(x)$ ( si las hubiera ), también han de ser raíces de $Q(x)$. Así, que vamos a calcular las raíces de $Q(x)$, esto es $\{x\in \mathbb{x}:Q(x)=0\}$ $$x^2+3\,x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm \sqrt{3^3-4\cdot 1 \cdot2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$$ por lo tanto, $P(x)$ tiene dos raíces más ( además de $r_1=1$, con multiplicidad igual a $1$ ), que son $r_2=-1$ y $r_2=-2$; ambas, con multiplicidad $1$, ya que al ser el polinomio $P(x)$ de grado $3$, la suma de las multiplicidades de las raíces encontradas ha de ser, a lo sumo, $3$.
Así, pues, por el teorema del factor, podemos escribir la forma factorizada de $P(x)$ pedida como $$P(x)=(x-1)(x-(-1))(x-(-2))$$ esto es $$P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)$$
$\square$
SOLUCIÓN. Hay una fórmula para encontrar las raíces de los polinomios de tercer grado, pero como se ha comentado en clase, no la usamos, por su complejidad. Como alternativa, trataremos de buscar, primero, las raíces enteras ( si las hubiera ).
Sabemos ( por un teorema enunciado en clase ) que toda raíz entera de $P(x)$ ha de ser divisor del término independiente, que en la ecuación pedida es $-2$. Como $$\text{div}(-2)=\{-2,-1,1,2\}$$ veremos a continuación si alguno de esos números cumple la condición para que sea raíz del polinomio dado, que, como sabemos es la de anular el polinomio cuando $x$ toma dicho valor.
Observemos que $P(1)=1^3+2\cdot 1^2-1-2=0$, luego $r_1=1$ es una raíz de $P(x)$, así que, por el teorema del factor, podemos escribir $$P(x)=(x-r_1)\cdot Q(x)$$ siendo $Q(x)$ el polinomio que resulta de $P(x) \div (x-1)$. Calculemos dicho polinomio.
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 2 & -1 & -2 \\
1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}$$ luego $Q(x)=x^2+3\,x+2$.
Entonces, las restantes raíces de $P(x)$ ( si las hubiera ), también han de ser raíces de $Q(x)$. Así, que vamos a calcular las raíces de $Q(x)$, esto es $\{x\in \mathbb{x}:Q(x)=0\}$ $$x^2+3\,x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm \sqrt{3^3-4\cdot 1 \cdot2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$$ por lo tanto, $P(x)$ tiene dos raíces más ( además de $r_1=1$, con multiplicidad igual a $1$ ), que son $r_2=-1$ y $r_2=-2$; ambas, con multiplicidad $1$, ya que al ser el polinomio $P(x)$ de grado $3$, la suma de las multiplicidades de las raíces encontradas ha de ser, a lo sumo, $3$.
Así, pues, por el teorema del factor, podemos escribir la forma factorizada de $P(x)$ pedida como $$P(x)=(x-1)(x-(-1))(x-(-2))$$ esto es $$P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)$$
$\square$
Calculando las raíces de un polinomio
ENUNCIADO. Encontrar todas las raíces del polinomio $P(x)=x^4+x^3+x^2+x$
SOLUCIÓN. Extrayendo factor común de $x$, llegamos a $$x\,(x^3+x^2+x+1)$$ esto es $$(x-0)\,(x^3+x^2+x+1)$$ por lo que ( teorema del factor ) una de las raíces de $P(x)$ es $r_1=0$, con multiplicidad $m_1=1$. Si el polinomio tiene más raíces, éstas deberán ser, también, raíces de $Q(x):=x^3+x^2+x+1$. Averiguaremos ahora si este polinomio tiene raíces.
Si $Q(x)$ tiene raíces enteras, éstas han de ser divisores del término independiente, que es $1$, luego las posibles raíces enteras son $\{-1,1\}$.
Veamos si alguna de ellas lo es. Como todos los términos de $Q(x)$ son positivos, $1$ no puede ser una raíz, pues no puede anular el polinomio. Por otra parte, el valor de $Q(x)$ en $x=-1$ es $Q(x)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1=0$, luego $r_2=-1$ es raíz de $Q(x)$ y, por tanto, también lo es de $P(x)$.
Dividiendo ahora $Q(x)$ entre $x-(-1)$ ( teorema del factor ), encontramos el polinomio que multiplicado por $x-(-1)$ es igual a $Q(x)$ $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Dicho polinomio es $x^2+1$, que no tiene raíces ( es un polinomio primo ), ya que, imponiendo la condición para encontrar raíces, $x^2+1=0$, vemos que $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$
Así pues las raíces de $P(x)$ son $\{0,-1\}$, ambas con multiplicidad $1$.
$\square$
SOLUCIÓN. Extrayendo factor común de $x$, llegamos a $$x\,(x^3+x^2+x+1)$$ esto es $$(x-0)\,(x^3+x^2+x+1)$$ por lo que ( teorema del factor ) una de las raíces de $P(x)$ es $r_1=0$, con multiplicidad $m_1=1$. Si el polinomio tiene más raíces, éstas deberán ser, también, raíces de $Q(x):=x^3+x^2+x+1$. Averiguaremos ahora si este polinomio tiene raíces.
Si $Q(x)$ tiene raíces enteras, éstas han de ser divisores del término independiente, que es $1$, luego las posibles raíces enteras son $\{-1,1\}$.
Veamos si alguna de ellas lo es. Como todos los términos de $Q(x)$ son positivos, $1$ no puede ser una raíz, pues no puede anular el polinomio. Por otra parte, el valor de $Q(x)$ en $x=-1$ es $Q(x)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1=0$, luego $r_2=-1$ es raíz de $Q(x)$ y, por tanto, también lo es de $P(x)$.
Dividiendo ahora $Q(x)$ entre $x-(-1)$ ( teorema del factor ), encontramos el polinomio que multiplicado por $x-(-1)$ es igual a $Q(x)$ $$\begin{array}{r|rrrr}
& 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & & -1 & 0 & -1 \\
\hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}$$ Dicho polinomio es $x^2+1$, que no tiene raíces ( es un polinomio primo ), ya que, imponiendo la condición para encontrar raíces, $x^2+1=0$, vemos que $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$
Así pues las raíces de $P(x)$ son $\{0,-1\}$, ambas con multiplicidad $1$.
$\square$
Resolviendo ecuaciones con términos exponenciales
ENUNCIADO. Resolver la ecuación y expresar el resultado aproximado a las diezmilésimas $$4^x=3$$
SOLUCIÓN. La ecuación pedida tiene un término exponencial, luego podemos resolverla extrayendo logaritmos en ambos miembros, con lo que la transformaremos en una ecuación polinómica.
$4^x=3$
$\ln\,4^x=\ln\,3$
$x\,\ln\,4=\ln\,3$ ( por las propiedades de los logaritmos )
y despejando $x$ y aproximando el resultado,
$x=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,4}\approx 0,7925$
$\square$
SOLUCIÓN. La ecuación pedida tiene un término exponencial, luego podemos resolverla extrayendo logaritmos en ambos miembros, con lo que la transformaremos en una ecuación polinómica.
$4^x=3$
$\ln\,4^x=\ln\,3$
$x\,\ln\,4=\ln\,3$ ( por las propiedades de los logaritmos )
y despejando $x$ y aproximando el resultado,
$x=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,4}\approx 0,7925$
$\square$
Resolviendo ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas
ENUNCIADO. Resuélvase la ecuación $$\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{x}{x^2-9}$$
SOLUCIÓN. La ecuación pedida tiene términos del tipo fracción algebraico, por lo que reduciremos dicha ecuación a una e. polinómica multiplicando los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores de los términos de la ecuación.
Los polinomios $x-3$ y $x+3$ son primos, mientras que el polinomio $x^2 -9$, que es lo mismo que $x^2-3^2$ se factoriza (fácilmente), obteniéndose $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Así, pues, por la regla de los factores, tenemos que $$\text{m.c.m}(x-3,x+3,x^2-9)=(x-3)(x+3)$$
Multiplicando en los dos miembros de la ecuación original por el mínimo común múltiplo, llegamos a $$(x-3)(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{2}{x+3}=(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}$$ y simplificando se obtiene la ecuación polinómica $$x+3+2(x-3)=1$$ esto es $$x+3+2x-6=1$$ y por tanto $$3x=4$$ con lo cual $$x=\dfrac{4}{3}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La ecuación pedida tiene términos del tipo fracción algebraico, por lo que reduciremos dicha ecuación a una e. polinómica multiplicando los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores de los términos de la ecuación.
Los polinomios $x-3$ y $x+3$ son primos, mientras que el polinomio $x^2 -9$, que es lo mismo que $x^2-3^2$ se factoriza (fácilmente), obteniéndose $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Así, pues, por la regla de los factores, tenemos que $$\text{m.c.m}(x-3,x+3,x^2-9)=(x-3)(x+3)$$
Multiplicando en los dos miembros de la ecuación original por el mínimo común múltiplo, llegamos a $$(x-3)(x+3)\cdot \dfrac{1}{x-3}+(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{2}{x+3}=(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}$$ y simplificando se obtiene la ecuación polinómica $$x+3+2(x-3)=1$$ esto es $$x+3+2x-6=1$$ y por tanto $$3x=4$$ con lo cual $$x=\dfrac{4}{3}$$
$\square$
Resolviendo ecuaciones bicuadradas
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$x^4-5x^2+4=0$$
SOLUCIÓN. La ecuación pedida es bicuadrada, ya que
podemos escribirla de la forma $$(x^2)^2-5x^2+4=0$$
y, por tanto, podemos transformarla en una ecuación cuadrática realizando el cambio $$t=x^2$$, con lo que nos queda $$t^2-5t+4=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\ \\1\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer la transformación realizada. Como $t=x^2$, entonces $x=\sqrt{t}$. Y, por consiguiente, tenemos que de $t=4$ se desprende que $x=\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\2\end{matrix}\right.$; y, si $t=1$, $x=\sqrt{1}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\1\end{matrix}\right.$
Por lo tanto, la solución viene dada por el conjunto $$\{-2,-1,1,2\}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La ecuación pedida es bicuadrada, ya que
podemos escribirla de la forma $$(x^2)^2-5x^2+4=0$$
y, por tanto, podemos transformarla en una ecuación cuadrática realizando el cambio $$t=x^2$$, con lo que nos queda $$t^2-5t+4=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\ \\1\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer la transformación realizada. Como $t=x^2$, entonces $x=\sqrt{t}$. Y, por consiguiente, tenemos que de $t=4$ se desprende que $x=\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\2\end{matrix}\right.$; y, si $t=1$, $x=\sqrt{1}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\1\end{matrix}\right.$
Por lo tanto, la solución viene dada por el conjunto $$\{-2,-1,1,2\}$$
$\square$
Resolviendo ecuaciones con radicales
ENUNCIADO. Resuélvase la ecuación
$$x-6=\sqrt{x+31}-7$$
SOLUCIÓN.
La ecuación pedida tiene un término radical. El índice de dicho radical es $2$ ( raíz cuadrada ), así que, después de arreglar la ecuación pedida de modo que en el segundo miembro sólo esté dicho radical, elevaremos al cuadrado en ambos miembros, al objeto de obtener una ecuación polinómica equivalente.
$x-6=\sqrt{x+31}-7$
$x-6+7=\sqrt{x+31}$
$x+1=\sqrt{x+31}$
$(x+1)^2=(\sqrt{x+31})^2$
$x^2+2x+1=x+31$
$x^2+2x+1-x-31=0$
$x^2+x-30=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-30)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm 11}{2}=\left\{\begin{matrix}-6\\\\5\end{matrix}\right.$
$\square$
$$x-6=\sqrt{x+31}-7$$
SOLUCIÓN.
La ecuación pedida tiene un término radical. El índice de dicho radical es $2$ ( raíz cuadrada ), así que, después de arreglar la ecuación pedida de modo que en el segundo miembro sólo esté dicho radical, elevaremos al cuadrado en ambos miembros, al objeto de obtener una ecuación polinómica equivalente.
$x-6=\sqrt{x+31}-7$
$x-6+7=\sqrt{x+31}$
$x+1=\sqrt{x+31}$
$(x+1)^2=(\sqrt{x+31})^2$
$x^2+2x+1=x+31$
$x^2+2x+1-x-31=0$
$x^2+x-30=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-30)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm 11}{2}=\left\{\begin{matrix}-6\\\\5\end{matrix}\right.$
$\square$
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