Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema del Factor ).

Enunciado:
Encontrar las raíces del polinomio $P(x)=x^2-4x+3$ y, a partir de las mismas, expresar el polinomio como un producto de polinomios primos ( Teorema de Factorización ).

Resolución:
Las raíces de un polinomio son los valores de la variable $x$ que anulan dicho polinomio, luego imponiendo esta condición: $x^2-4x+3=0$, encontramos $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1 \\ \\ 3 \end{matrix}\right.$; luego el polinomio dado tiene estas dos raíces, que son de multiplicidad uno cada una por ser el polinomio de grado dos. Y, por el teorema de factorización: $P(x)=(x-1)\,(x-3)$.
$\blacksquare$

[nota del autor]

El precio de un producto ha pasado de $12$ euro a $14$ euro. ¿ Cuál ha sido el tanto por ciento de aumento ?.

Enunciado:
El precio de un producto ha pasado de $12$ euro a $14$ euro. ¿ Cuál ha sido el tanto por ciento de aumento ?.

Resolución:
Denotando por $x$ al tanto por ciento de aumento pedido, podemos plantear la siguiente proporción directa: $$\dfrac{x}{100}=\dfrac{14-12}{12}$$
y resolviendo esta ecuación de primer grado

$\dfrac{x}{100}=\dfrac{14-12}{12} \Leftrightarrow 12 \, x = 100 \cdot (14-12)$

  $12 \, x = 100 \cdot 2$

    $x = \dfrac{1}{12} \cdot 100 \cdot 2$

      $x = \dfrac{200}{12} = \dfrac{50}{3} \approx 16,67 \, \%$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Resolver la ecuación: $x^2+8\,x+12=0$

Enunciado:
Resolver la ecuación:
$$x^2+8\,x+12=0$$

Resolución:
Teniendo en cuenta que
$$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$$
identificando el valor de los coeficientes de la equación: $a=1$, $b=8$ y $c=12$, podemos escribir
$$x^2+8\,x+12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\ -6 \end{matrix}\right.$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.

Enunciado:
En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.

Resolución:
Planteando la proporción directa entre las magnitudes valor nominal y cantidad pagada:
$$\dfrac{\text{cantidad a pagar}_1}{\text{valor nominal}_1}=\dfrac{\text{cantidad a pagar}_2}{\text{valor nominal}_2}$$
luego, denotando por $x$ el precio del producto, y teniendo en cuenta los datos del problema:
$$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$
que también podemos escribir de la forma
$$\dfrac{100}{100-5}=\dfrac{x}{20}$$
luego
$$20\cdot 100=95\,x$$
y despejando la incógnita
$$x=\dfrac{2000}{95} \approx 21,05 \; \text{euro}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Al finalizar un campeonato de ajedrez, se desea repartir un premio de $100\;\text{euro}$ entre dos finalistas, de forma directamente proporcional al número de partidas ganadas, que son: $6$ y $5$, respectivamente. ¿ Qué cantidad corresponde a cada finalista ?.

Enunciado:
Al finalizar un campeonato de ajedrez, se desea repartir un premio de $100\;\text{euro}$ entre dos finalistas, de forma directamente proporcional al número de partidas ganadas, que son: $6$ y $5$, respectivamente. ¿ Qué cantidad corresponde a cada finalista ?.

Resolución:
Sean $x_1=6$ y $x_2=5$ el número de partidas ganadas por los respectivos jugadores, y sean $y_1$ e $y_2$ las cantidades respectivas que les corresponden por reparto proporcional. Como $X$ e $Y$ son magnitudes proporcionales que están en relación directa, podemos plantear:
$$\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}$$
cuyo valor común es igual ( por la propiedad de las fracciones ) a $\dfrac{x_1+x_2}{y_1+y_2}$, y teniendo en cuenta que $y_1+y_2 = 100$, por ser esta cantidad el valor total del premio (a repartir) y poniendo todos los datos podemos escribir:
$$\dfrac{6}{y_1}=\dfrac{5}{y_2}=\dfrac{6+5}{100}$$

Por tanto, de la doble igualdad, podemos plantear dos ecuaciones de primer grado que nos permitirán encontrar las cantidades buscadas:

$$\dfrac{6}{y_1}=\dfrac{11}{100} \Leftrightarrow 6\cdot 100 = 11\,y_1 \Rightarrow y_1 \approx 54,55\, \text{euro}$$

$$\dfrac{5}{y_2}=\dfrac{11}{100} \Leftrightarrow 5\cdot 100 = 11\,y_2 \Rightarrow y_2 \approx 45,45\, \text{euro}$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Ingresamos $200\,\text{\euro}$ durante $3$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $2\,\%$. Los intereses se hacen efectivos cada dos meses. Calcular el valor del capital final

Enunciado:
Ingresamos $200\,\text{\euro}$ durante $3$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $2\,\%$. Los intereses se hacen efectivos cada dos meses. Calcular el valor del capital final.

Resolución:
De acuerdo con el modelo de interés compuesto: $$C_{\text{final}}=C_{\text{inicial}}\,\big(1+\dfrac{i}{f})^{t\cdot f}$$
donde $t$ es el número de años; $f$ es la frecuencia anual de producción de los intereses, e $i$ es la tasa de interés anual.

Entonces, poniendo los datos del problema ( $t=3$, $f=12/2=6$, $i=0,02$):
$$C_{\text{final}}=200\cdot\bigg(1+\dfrac{0,02}{6}\bigg)^{3 \cdot 6}\approx 212,35 \; \text{euro}$$

$\square$

[nota del autor]

Ejemplo sencillo de resolución de una ecuación de segundo grado

[Ejemplo]

[nota del autor]