Ejercicios de combinatoria

ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas

b) Sentar a $5$ personas en una fila de $5$ butacas numeradas

c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $4$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera

d) Escribir "palabras" con las letras de la palabra ELEMENTAL, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia

e) Distribuir $5$ bolas idénticas entre $4$ urnas

SOLUCIÓN.
a)
En este caso no importa el orden en que elegimos a las personas, luego se trata de un cálculo de combinaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona ( entre el total de seis personas ) para formar un conjunto ( una comisión ) de cuatro personas es un caso de combinaciones ordinarias de $6$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cuatro, luego podemos formar la comisión de $C_{6,4}=\dfrac{V_{6,4}}{P_4}=\displaystyle \binom{6}{4}=15$ maneras distintas.
b)
Importa el orden en que colocamos a las personas, luego se trata de un cálculo de variaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona para completar la fila es un caso de variaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cinco, luego se podrán sentar de $V_{5,5}=P_{5}=5!=120$ maneras distintas.
c)
Es evidente que el orden de elección de color al llenar las tres franjas ( pongamos que de izquierda a derecha ) es importante para distinguir una señal de otra, luego se trata de un problema de variaciones; como, además, podemos elegir el mismo color en más de una franja, es un problema de variaciones con repetición de $4$ colores tomados en conjuntos de tres, luego podremos representar $VR_{4,3}=4^3=64$ señales distintas.

d)
Este es un problema en que importa el orden, pues dos palabras con las mismas letras ( y apareciendo cada una el mismo número de veces que en la palabra ELEMENTAL: tres Es, dos Ls, una M, una N, una T y una A ) dispuestas en distinto orden tienen significados distintos, luego es un problema de variaciones. Como, en este caso, deben aparecer todas y cada una de las letras y el mismo número de veces que aparece cada una en la palabra de referencia, se trata de un caso de permutaciones con repetición, esto es, el número de palabras que podemos formar es $PR_{9}^{3,2,1,1,1,1}=\dfrac{9!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!\cdot 1! }=30240$

e)
En esta situación no importa el orden en que escogemos las bolas al ir depositándolas en las urnas, pues no nos importa qué bolas hay en cada urna sino el número de bolas que va a contener cada una de las cuatro urnas, por tanto el problema es de combinaciones; además, podemos poner varias bolas en una misma urna, luego hay que contar con las repeticiones a decidir en qué urnas van las bolas, por lo cual clasificamos el problema como un problema de combinaciones con repetición, en el que se han distribuido $5$ objetos idénticos entre $4$ urnas, luego $\text{CR}_{4,5}:=\displaystyle \binom{5+4-1}{4-1}=\binom{5+4-1}{5}=\dfrac{(5+4-1)!}{5!\cdot (4-1)!} = 56$ maneras distintas de colocar las bolas. Nota: también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{4}{5}\right)$.

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