¿Cómo estudiar y resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado en las que aparece el valor absoluto de la incógnita en algunos de los términos algebraicos?

Consideremos, por un poner, la siguiente ecuación

$$|x|^2+|x|-2=0$$ Veamos cómo podemos estudiarla correctamente, y, si la tuviese, cómo encontrar la solución:

Claramente, $0$ no es solución de la ecuación, pues al sustituir en la ecuación, se tiene que $|0|^2+|0|-2=0$, esto es, $-2\overset{!}{=}0$, que es una contradicción, luego $0$ no es solución de la ecuación. Entonces, el valor de $x$ podrá ser positivo o bien negativo. Pueden haber varios valores en la solución; de hecho los hay, encontraremos dos, como vamos a ver a continuación; incluso, uno puede ser positivo y el otro negativo, tal es el caso:

1. Si $0 \neq x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $x^2+x-2=0$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$0\lt x=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot (-2)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1\gt 0 & \text{luego este valor pertenece a la solución}\\ -2\lt 0 & \text{por tanto, este valor no pertenece a la solución}\end{matrix}\right.$$ Por tanto, para valores negativos de $x$ encontramos un valor: $1$. Comprobémoslo (sustituyéndola en lugar de $x$ en la ecuación propuesta) para ver si el valor numérico de las expresiones algebraicas de los dos miembros de la ecuación da el mismo resultado: $$|1|^2+|1|-2=0$$ $$\quad 1+1-2=0$$ $$\quad \quad 0=0$$
2. Si $0 \neq x\lt 0$, entonces $0\neq -x \gt 0$, por lo que podemos sustituir $|x|$ (que da un número positivo) por $-x$ (que corresponde al mismo valor que el del valor absoluto de dicho número negativo) en la ecuación original: $(-x)^2+(-x)-2=0$, esto es, $x^2-x-2=0$. Y, resolviéndola: $$0\gt x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-2)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}2\gt 0 & \text{por tanto este, valor no pertenece a la solución}\\ -1\lt 0 & \text{luego este valor sí pertenece a la solución}\end{matrix}\right.$$ Por tanto, para valores negativos de $x$ encontramos un valor: $-1$. Tal como hemos hecho arriba, comprobémoslo (sustituyéndola en lugar de $x$ en la ecuación propuesta) para ver si el valor numérico de las expresiones algebraicas de los dos miembros de la ecuación da el mismo resultado: $$|-1|^2+|-1|-2=0$$ $$\quad 1+1-2=0$$ $$\quad \quad 0=0$$

Resumiendo, la solución de la ecuación propuesta está formada por los números enteros $-1$ y $1$. $\diamond$