Ecuaciones no polinómicas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$x^x=x^2$$

SOLUCIÓN. Tomando logaritmos en cada miembro, $$\ln\,x^x=\ln\,x^2$$ y por las propiedades de los logaritmos podemos escribir $$x\,\ln\,x=2\,\ln\,x$$ agrupando en un sólo miembro $$(x-2)\ln\,x=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ln\,x=0 \Leftrightarrow x=1 \\ \\ x-2=0 \Leftrightarrow x=2\end{matrix}\right.$$

Así, pues, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto $\{1,2\}$
$\square$

Ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x^2-1}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores de las fracciones algebraicas obtendremos una ecuación equivalente, más sencilla ( una ecuación polinómica ).

Los polinomio $x-1$ y $x+1$ son primos, y el polinomio $x^2-1=x^2-1^2$ factoriza como $(x-1)(x+1)$ ( por la identidad notable ). Entonces $$\text{m.c.m}(x-1,x+1,(x-1)(x+1))=(x-1)(x+1)$$

Multiplicando pues la ecuación original por dicho mínimo común múltiplo, $$(x-1)(x+1)\,\dfrac{x}{x-1}+(x-1)(x+1)\,\dfrac{2}{x+1}=(x-1)(x+1)\,\dfrac{3}{(x-1)(x+1)}$$ simplificando $$x(x+1)+2(x-1)=3$$ esto es $$x^2+x+2x-2=3$$ y por tanto $$x^2+3x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot(-5)\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{-3\pm 7}{2}=\left\{\begin{matrix}2 \\ \\ -5\end{matrix}\right.$$

La solución de la ecuación pedida viene pues dada por el conjunto $\{-5,2\}$
$\square$

Resolviendo ecuaciones con logaritmos

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$2^{2^x}=3$$

SOLUCIÓN.
$2^{2^x}=3$
  $\ln\,2^{2^x}=\ln\,3$
    $(2^x)\cdot\ln\,2=\ln\,3$
      $(2^x)=\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2}$
        $\ln\,2^x=\ln\,(\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2})$
          $x\,\ln\,2=\ln\,\left(\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2}\right)$
            $x=\dfrac{\ln\,\left(\dfrac{\ln\,3}{\ln\,2}\right)}{\ln\,2} \approx 0,6644$
$\square$

Resolviendo ecuaciones con términos exponenciales

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$2^{2^x}=2$$

SOLUCIÓN.
$$2^{2^x}=2 \Leftrightarrow 2^x=1$$ y como $1$ puede expresarse como $2^0$ se tiene que $$2^x=2^0 \Leftrightarrow x=0$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación polinómica $$x^4-13\,x^2+36=0$$

SOLUCIÓN. A pesar de que el polinomio del primer miembro es de grado $4$, sus términos tienen grados respectivos $4$, $2$ y $0$; y siendo el segundo miembro cero, la ecuación se conoce con el nombre de bicuadrada -- ya que puede expresarse de la siguiente forma $$(x^2)^2-13\,x^2+36=0$$ -- con lo que mediante la transformación $t=x^2$, llegamos a una ecuación cuadrática ( en la variable $t$ ) que sí sabemos resolver. Después de resolverla, y a partir de los valores obtenidos para $t$, tendremos que deshacer la transformación para calcular los valores de $x$ que son solución de la ecuación original.

Así, pues, tenemos que $$t^2-13t+36=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot 1}=\sqrt{13 \pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\\\9\end{matrix}\right.$$ Entonces, deshaciendo la transformación, $x=\sqrt{t}$; con lo cual, si $t=4$, $x=\sqrt{4}=\pm 2$. Y si $t=9$, $x=\sqrt{9}=\pm 3$. Por consiguiente, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-2,2,3\}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación polinómica $$x^4-13\,x^2+36=0$$

SOLUCIÓN. A pesar de la dificultad que pueda suponer el tener que resolver una ecuación con un polinomio de grado $4$ en el primer miembro y cero en el segundo miembro, sus términos de dicho polinomio tienen grados respectivos $4$, $2$ y $0$ ( la ecuación se conoce con el nombre de bicuadrada ) y el proceso de resolución se torna bastante sencillo tal y como vamos a ver enseguida. En efecto, la ecuación puede expresarse de la siguiente forma $$(x^2)^2-13\,x^2+36=0$$, por lo que, mediante la transformación $t=x^2$, llegamos a una ecuación cuadrática ( en la variable $t$ ) que sí sabemos resolver. Después de resolverla, y a partir de los valores obtenidos para $t$, tendremos que deshacer la transformación para calcular los valores de $x$ que son solución de la ecuación original.

Así, pues, tenemos que $$t^2-13t+36=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot 1}=\dfrac{13\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}9\\\\ 4\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer el cambio $t=x^2$. Si $t=9$, entonces $x=\sqrt{9}=\pm 3$; y, si $t=4$, entonces $x=\sqrt{4}=\pm 2$.

Concluimos pues que la solución de la ecuación pedida viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-4,-2,2,4\}$
$\square$

Resolviendo ecuaciones logarítmicas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$3\log\,x=\log\,100+\log\,x$$
SOLUCIÓN.
$3\log\,x=\log\,100+\log\,x$
  $3\log\,x-\log\,x=\log\,100$
    $\log\,x^3-\log\,x=\log\,100$
      $\log\,\left(\dfrac{x^3}{x}\right)=\log\,100$
        $\log\,x^2=\log\,100 \Leftrightarrow x^2=100 \Leftrightarrow x=\pm 10$
Ahora bien, $x=-10$ debe descartarse como solución de la ecuación original, pues $\log\,(-10)$ no está definido; por tanto, la solución a la ecuación pedida es $x=+10$
$\square$