Razón de los radios de dos esferas a partir de la razón de sus volúmenes

Consideremos dos esferas, una más grande que la otra: el volumen de la mayor es veintisiete veces el volumen de la menor. Nos preguntamos, cuál es la razón entre el diámetro de la mayor y el diámetro de la menor.

Sabemos que el volumen de una esfera es proporcional al cubo del radio: $V\propto r^3$. Denotemos por $V_1$ y por $r_1$ el volumen y el radio de la esfera mayor, y por $V_2$ y $r_2$ el volumen y el radio de la menor. Tendremos también en cuenta que $r_1=d_{1}/2$ y $r_2=d_{2}/2$, siendo $d_1$ y $d_2$ los respectivos diámetros. Entonces, según el enunciado $\dfrac{V_1}{V_2}=27$, y, por otra parte, sabemos que $\dfrac{V_1}{V_2} \propto \dfrac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3$; por consiguiente, $=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^3=27=3^3 \Rightarrow \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{d_1/2}{d_2/2}=\dfrac{d_1}{d_2}=\sqrt[3]{3^3}= 3$

$\diamond$

Un ejercicio de demostración sobre logaritmos

Se nos pide que, siendo $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{b}{a}$ y $k$ números reales positivos, demostremos que $$\log_k\,\left(\dfrac{a}{b}\right)+\log_k\,\left(\dfrac{b}{a}\right)=0$$

Demostrémoslo:
  $\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{b}{a})=$
    $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(\frac{1}{\frac{a}{b}})$
      $=\log_k\,(\frac{a}{b})+\log_k\,(1) - \log_k\,(\frac{a}{b})$
        $=\log_k\,(\frac{a}{b})+0- \log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=\log_k\,(\frac{a}{b})-\log_k\,(\frac{a}{b})$
          $=0$

$\diamond$

Manejo de los logaritmos para resolver ecuaciones con términos exponenciales

Nos piden que resolvamos la siguiente ecuación en el conjunto de los números reales: $$2^x=5$$

Esta vez, y para mostrar cómo podemos hacer las cosas de varias maneras, no vamos a extraer logaritmos en cada miembro de manera directa (tal como se ha hecho en el artículo precedente), sino que, teniendo en cuenta que, si los dos miembros de la ecuación fuesen potencias de la misma base, bastaría con igualar los exponentes y despejar la incógnita, llegaremos también así al mismo resultado (con la aparición de los logaritmos, al final). Vamos a hacer alguna transformación para que podamos aplicar esta idea: como $2=e^{\ln\,(2)}$ y $5=e^{\ln\,(5)}$ —$\ln\,(.)$ denota el logaritmo en base $e$, esto es, $\ln\,(.)\equiv \log_e\,(.)$—, podemos escribir la ecuación de manera equivalente de la forma:
  $\left( e^{\ln\,(2)} \right)^x = e^{\ln\,(5)} $
    $e^{x\,\ln\,(2)} = e^{\ln\,(5)}$, con lo cual,
      $x\,\ln\,(2)=\ln\,(5)$
        $x=\dfrac{\ln\,(5)}{\ln\,(2)}$, que, si se quiere, también podemos expresarlo de la forma:
          $x=\log_{2}\,(5)$

$\diamond$

Resolución de ecuaciones exponenciales mediante logaritmos

¿Qué valor (o valores) de $x \in \mathbb{R}$ cumplen la siguiente ecuación?: $$2^{\sqrt{x}}=3$$

Tendremos que utilizar logaritmos para despejar la incógnita:
  $2^{\sqrt{x}}=3$
    $\ln\,\left(2^{\sqrt{x}}\right)=\ln\,(3)$
      $\sqrt{x}\cdot \ln\,(2)=\ln\,(3)$
        $\sqrt{x}=\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}$
          $(\sqrt{x})^2=\left(\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}\right)^2$
            $x=\left(\dfrac{\ln\,(3)}{\ln\,(2)}\right)^2$
              $x=\dfrac{(\ln\,(3))^2}{(\ln\,(2))^2}$

Nota: Cuidado: $(\ln\,(a))^b \neq \ln\,(a^b)$, por lo que no podemos simplificar más la última línea.

$\diamond$

Cosas que parecen muy difíciles, pero que no lo son tanto

Voy a resolver una ecuación que parece muy complicada, pero que, como veréis, se resuelve fácilmente si nos fijamos bien en la descomposición en factores primos del miembro de la derecha: $$x^{x^{x}}=16$$

Descomponiendo en factores primos el segundo miembro: $16=2^4$, por lo tanto
  $x^{x^{x}}=2^4$, y como $4=2^2$, se tiene que
    $x^{x^{x}}=2^{2^{2}} \Leftrightarrow x=2$

$\diamond$

Factorización directa de ciertos polinomios

A la hora de factorizar un polinomio, el siguiente ejemplo viene bien para hablar de ciertas situaciones en las que no es necesario encontrar primero las raíces del polinomio para poder factorizarlo después: a veces podemos factorizarlo directamente; simplemente, haciendo unos arreglos algebraicos, para, extrayendo factor común y utilizando acaso alguna identidad notable, poder reexpresarlo de manera equivalente de modo que se vea cuál es la factorización sin mucho esfuerzo. Y, claro, ni que decir tiene que las raíces también acabermos conociéndolas, pero después de haber efectuado la factorización. Veámoslo con el polinomio $P(x)=x^3-3x-2$, paso a paso:

$P(x)=x^3-3x-2$
  $=x^3-4x+x-2$
    $=x\,(x^2-4)+x-2$, y habida cuenta de la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, donde $a:=x$ y $b:=2$, se tiene que
      $=x\,(x+2)(x-2)+x-2$
        $=(x-2)\,\left(x\,(x+2)+1\right)$
          $=(x-2)\,(x^2+2x+1)$, y habida cuenta de la identidad notable $(c+d)^2=c^2+2cd+d^2$, donde $c:=x$ y $d:=1$, se tiene que
            $=(x-2)\,(x+1)^2$

--- Comentario: No os preocupéis si encontráis al principio estas técnicas un poco rebuscadas; la práctica con los cálculos algebraicos permite, con paciencia y poco a poco, adquirir hábitos y habilidades —se parece un poco a como una persona aficionada al ejedrez aprende a anticipar algunos movimientos—, que, dicho de pasado, pueden llegar a ser muy útiles en muchos cálculos. --- Nota: Obsérvese que del polinomio factorizado, se desprenden las raíces de $P(x)$ sin hacer ningún cálculo, que son: $2$ (con multiplicidad $1$) y $-1$ (ya que $x+1=x-(-1)$, que se anula para $x=-1$) con multiplicidad $2$ (el factor de la potencia del binomio de base $x+1$). En efecto, ambos valores anulan el polinomio: $P(2)=2^3-3\cdot 2-2=0$ y $P(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)-2=0$. --- Observación: Recordemos que las raíces de $P(x)$ son las soluciones de la ecuación $P(x)=0$, por lo que, lo que hemos hecho, también serviría para resolver directamente la ecuación polinómica $x^3-3x-2=0$. $\diamond$

Álgebra elemental con una ecuación no polinómica sencilla. Aplicación de las propiedades elementales de las potencias

En este artículo voy a resolver la siguiente ecuación, paso a paso, empleando las propiedades básicas de las potencias: $$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=2^x$$

$\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}=2^x$
  $\sqrt{2\sqrt{2\cdot 2^{\frac{1}{2}}}}=2^x$
    $\sqrt{2\sqrt{2^{1+\frac{1}{2}}}}=2^x$
      $\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}}=2^x$
        $\sqrt{2\sqrt{2^{\frac{3}{2}}}}=2^x$
          $\sqrt{2 \cdot \left( 2^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}}=2^x$
            $\sqrt{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}}=2^x$
              $\sqrt{2\cdot 2^{\frac{3}{4}}}=2^x$
                $\sqrt{2^{1+\frac{3}{4}}}=2^x$
                  $\sqrt{2^{\frac{7}{4}}}=2^x$
                    $\left(2^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^x$
                      $2^{\frac{7}{4}\cdot \frac{1}{2}}=2^x$
                        $2^{\frac{7}{8}}=2^x \Leftrightarrow x=\dfrac{7}{8}$
$\diamond$