Intervalos en la recta numérica

ENUNCIADO. Expresar en forma de intervalo los números reales que verifican:
a) $\left| x+1\right|\le 3$
b) $\left| x-2\right|> 1$
c) estar en el entorno del punto ( de la recta real ) $5$ con radio $3$

SOLUCIÓN.
a)
$I=\{x \in \mathbb{R}:\left|x-(-1)\right|\le 3\}=\{x \in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,-1) \le 3\}=$
  $=[-1-3,-1+3] \subset \mathbb{R}$
    $=[-4,2] \subset \mathbb{R}$

b)
$J=\{x \in \mathbb{R}:\left|x-2\right|\succ 1\}=\{x \in \mathbb{R}:\text{distancia}(x,2) \succ 1\}=$
  $=(-\infty,2-1) \cup (2+1,+\infty)$
    $=(-\infty,1) \cup (3,+\infty)$

c)
$K=E(5,3)=(5-3,5+3)\subset \mathbb{R}$
        $=[2,8] \subset \mathbb{R}$

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Un ejercicio sobre aproximación y estudio del error

ENUNCIADO. Como aproximación del número áureo $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, hemos decidido tomar $1,61$. Se pide:
a) El error absoluto cometido en esta aproximación. ¿ Cuántas cifras significativas correctas hay en dicha aproximación ?
b) Si en lugar de considerar la aproximación anterior, aproximáramos por redondeo simétrico hasta las centésimas el número $\Phi$, ¿ qué número resultaría ? ¿ Cuál sería ahora el error absoluto ? ¿ Cuántas cifras significativas correctas habría en dicha aproximación ?

SOLUCIÓN.
a)
La cantidad exacta es, aquí, $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$; y la aproximada, $\bar{x}=1,61$. Entonces, el error absoluto es
$$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,61\right|\approx 0,008$$ Veamos si la cifra de las centésimas es correcta; para ello deberá cumplirse que el error absoluto sea menor que media unidad del orden de dicha cifra, esto es $$0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005$$ y es evidente que ésto no se cumple, luego la cifra de las centésimas ( el '1' ) no es correcta.

Veamos ahora si es correcta la cifra de las décimas ( el '6' ). Si lo es, debe cumplirse $$0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$$ y es claro que sí se cumple, luego la cifra de las décimas es correcta. Por consiguiente, también es correcta la cifra de las unidades. Así que la aproximación $\bar{x}=1,61$ tiene dos cifras correctas ( la de las unidades y la de las décimas ), y una cifra dudosa, que corresponde a la de las centésimas.

b)
Si aproximamos por redondeo simétrico, $\bar{x}=1,62$, pues $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398\ldots$. El error absoluto es, ahora, $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62\right|\approx 0,002$$ y, por tanto, $$0,002 {<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005$$, luego la cifra de las centésimas ( el '2' ) es correcta, luego las cifra de las décimas y la de las unidades también son correctas. Así, pues, la aproximación por redondeo simétrico $\bar{x}=1,62$ tiene todas sus cifras correctas.
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Algunos ejercicios de cálculo

ENUNCIADO. Calcúlese la fracción resultante irreducible:
a) $\displaystyle \dfrac{\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}}{\binom{5}{4}}$
b) $\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{2}{5}-1\right)^3$
c) $(1,\overset{\frown }{12}+2,\overset{\frown}{1})\cdot 0,5-0,5\overset{\frown}{2}$
d) $\displaystyle \binom{6}{4} \div 4!$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}}{\binom{5}{4}} = \dfrac{\frac{3!}{0!(3-0)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{3!(3-3)!}}{\frac{5!}{4!(5-4)!}}=\dfrac{1+3+3+1}{5}=\dfrac{8}{5}$

Nota: También podemos escribir directamente el valor del numerador, que es $2^3=8$. Esto es así por una de las propiedades de los números combinatorios que hemos visto en clase, que es la siguiente: $$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\ldots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n$$

b)
$\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{2}{5}-1\right)^3=$
  $=\dfrac{2}{3}\div \left(-\dfrac{3}{5}\right)^3$
    $=\dfrac{2}{3}\div \left( -\left(\dfrac{3}{5}\right)^3\right)$
      $=-\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{3}{5}\right)^3$
        $=-\dfrac{2}{3}\div \dfrac{3^3}{5^3}$
          $=-\dfrac{2}{3}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3^3}{5^3}\right)$
            $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5^3}{3^3}$
              $=-\dfrac{2\cdot 5^3}{3\cdot 3^3}$
                $=-\dfrac{250}{81}$

c)
$(1,\overset{\frown }{12}+2,\overset{\frown}{1})\cdot 0,5-0,5\overset{\frown}{2}=$
  $= (\dfrac{112-1}{99}+\dfrac{21-2}{9})\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{52-5}{90}$
    $= (\dfrac{37}{33}+\dfrac{19}{9})\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{47}{90}$
      $= \dfrac{320}{99}\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{47}{90}$
        $= \dfrac{160}{99}-\dfrac{47}{90}$
          $= \dfrac{361}{330}$

d)
$\displaystyle \binom{6}{4} \div 4!=$
  $=\displaystyle \dfrac{\binom{6}{4}}{4!}$
    $=\displaystyle \dfrac{\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}}{4!}$
      $=\displaystyle \dfrac{15}{24}$
        $=\displaystyle \dfrac{5}{8}$

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Ejercicios diversos de cálculo con: radicales, y notación científica

ENUNCIADO. Realizar los cálculos necesarios para dar respuesta a las siguientes cuestiones:
a) La masa de la Tierra es $5,9722 \times 10^{24} \,\text{kg}$ y la de la Luna, $7,349 \times 10^{22}\,\text{kg}$. ¿ Cuántas veces es mayor la masa de la Tierra que la de la Luna ?.
b) El radio de la Tierra es $6371\,\text{km}$ y el de la Luna, $1737 \, \text{km}$. ¿ Cuántas veces es mayor el volumen de la Tierra que el de la Luna ?
c) Determínese una expresión equivalente a $\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ que no tenga radicales en el denominador
d) Determínese una expresión equivalente a $\dfrac{4}{\sqrt[5]{2^3}}$ que no tenga radicales en el denominador
e) Constrúyase el triángulo de Tartaglia hasta la séptima fila

SOLUCIÓN.
a) El número de veces que la masa de la Tierra es mayor que la de la Luna es igual a $$\dfrac{5,9722 \times 10^{24}}{7,349 \times 10^{22}} \approx 81$$

b) El número de veces que el volumen de la Tierra es mayor que el de la Luna es igual al cociente de los respectivos volúmenes, $$\dfrac{\frac{4}{3}\,\pi\,(6371)^3}{\frac{4}{3}\,\pi\,(1737)^3}=\left( \dfrac{6371}{1737} \right)^3 \approx 49$$

c)
$\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=$

  $=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1}=-(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

d) $\dfrac{4}{\sqrt[5]{2^3}}=\dfrac{4}{\sqrt[5]{2^3}}\cdot \dfrac{\sqrt[5]{2^{5-3}}}{\sqrt[5]{2^{5-3}}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^{3}}\cdot \sqrt[5]{2^{2}}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^{2}\cdot 2^3}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^5}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{4}}{2}=2\,\sqrt[5]{4}$

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Suma i producte dels $n$ primers termes d'una successió geomètrica

Enunciat:
El segon terme d'una successió geomètrica és igual a $4$ i el sisè terme és igual a $3$
Us demanem:
      a) El valor de la suma dels vint primers termes d'aquesta successió: $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.
      b) El valor del producte dels deu primers termes d'aquesta successió: $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{20}$

Resolució:
a)
Entre el segon i el sisè terme hi ha tres termes; per tant, el sisè terme $a_6$ representa el cinquè terme de la seqüència $\{a_2, a_3, \ldots, a_6 \}$. Llavors
$a_6=a_2 \cdot r^4$
(on $r$ representa la raó de la successió geomètrica)
Tenint en compte els valors donats a l'enunciat
$3=4 \cdot r^4$

d'on obtenim

$r=\bigg(\dfrac{3}{4}\bigg)^{\frac{1}{4}}$

Per calcular la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ podem fer ús del resultat

$s_n=a_1 \cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1} \quad \quad (1)$

Veiem, doncs, que cal calcular els valors del primer terme:

El valor del primer és igual a
$a_1=a_2 \cdot \dfrac{1}{r}$
que, tenint en compte els valors de l'enunciat, dóna
$a_1 = \ldots = 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-\frac{1}{4}} \quad \quad (2)$

Llavors, fent el càlcul indicat (1), el valor de la suma demanada és igual a
$s_{20} \approx 47,2407$

b)
Sabem que el producte $p_n$ dels $n$ primers termes d'una successió geomètrica és igual a

$p_n=\bigg(a_1 \cdot a_n \bigg)^{\frac{n}{2}} \quad \quad (3)$

Ens falta calcular el valor del vintè terme per poder emprar aquest resultat. Calculem-lo a partir de
l'expressió del terme general d'una successió geomètrica i del valor de $a_1$   (2)

$a_n=a_1 \cdot r^{n-1} \quad (n=1,2,3,\ldots)$

$a_{20}=a_1 \cdot r^{19} = \ldots = \dfrac{81 \, \sqrt{3}}{128}$

Llavors, de l'expressió (3) i del valor del primer terme (2), trobem

$p_n = \big(a_1 \cdot a_n \big)^{10} \approx 5386461$

$\square$

Demostrar que $\sqrt{2}$ no es un número racional

ENUNCIADO. Demostrar que $\sqrt{2}$ no es un número racional

SOLUCIÓN. Vamos a utilizar el método de demostración por contradicción. Supongamos lo contrario de lo queremos demostrar: $\sqrt{2}$ sí es un número racional. Entonces existen $m,n \in \mathbb{N}$ tales que $\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$ siendo $\text{mcd}(m,n)=1$ ( la fracción es irreducible ). De ahí se deduce que, elevando al cuadrado los dos miembros, $2\,n^2=m^2 \quad \quad (1)$, lo cual significa que $m^2$ es múltiplo de $2$, así que $m$ también debe ser un múltiplo de $2$, por lo tanto existe $p \in \mathbb{N}$ tal que $m=2\,p \quad \quad (2)$.

Sustituyendo $m$ de (2) en (1) llegamos a $$2\,n^2=(2p)^2$$ esto es $$2\,n^2=4p^2$$ y por tanto $$n^2=2\,p^2$$ pero ésto quiere decir que $n^2$ es múltiplo de $2$ y, por consiguiente, también $n$ ha de ser múltiplo de $2$. Llegados a este punto, recopilemos lo que hemos encontrado: $n$ y $m$ son múltiplos de $2$, de lo cual deducimos que $\text{mcd}(n,m)\neq 1$. Pero ésto contradice la suposición inicial, así que debemos negarla, quedando de esta forma demostrada la afirmación del enunciado. $\square$

Recuentos combinatorios empleando el método constructivo

ENUNCIADO. Se consideran las cifras $\{0,2,3,5,7\}$. Calcular el número de números enteros positivos, menores que $7777$, que se pueden formar respetando, además, las condiciones que se indican para cada uno de los siguientes casos:
a) que sean pares y menores que $5000$
b) que sean pares y menores que $3000$
c) que sean pares, menores que $5000$ y mayores o iguales que $3000$

SOLUCIÓN. Emplearemos el método constructivo en todos y cada uno de los apartados.
a)
Podemos elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2,3\}$, teniendo por tanto $3$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$, luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=150$ números que reúnen las condiciones pedidas en el primer apartado.

b)
Debemos ahora elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2\}$, teniendo por tanto $2$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$ ( igual que en el primer apartado ), luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, y también como en el primer apartado, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=100$ números que reúnen las condiciones pedidas en el segundo apartado.

c)
Restando los resultados de los dos apartados anteriores, vemos que hay $150-100=50$ números que cumplen la condición del tercer apartado.
$\square$