Un ejercicio sobre aproximación y estudio del error

ENUNCIADO. Como aproximación del número áureo $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, hemos decidido tomar $1,61$. Se pide:
a) El error absoluto cometido en esta aproximación. ¿ Cuántas cifras significativas correctas hay en dicha aproximación ?
b) Si en lugar de considerar la aproximación anterior, aproximáramos por redondeo simétrico hasta las centésimas el número $\Phi$, ¿ qué número resultaría ? ¿ Cuál sería ahora el error absoluto ? ¿ Cuántas cifras significativas correctas habría en dicha aproximación ?

SOLUCIÓN.
a)
La cantidad exacta es, aquí, $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$; y la aproximada, $\bar{x}=1,61$. Entonces, el error absoluto es
$$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,61\right|\approx 0,008$$ Veamos si la cifra de las centésimas es correcta; para ello deberá cumplirse que el error absoluto sea menor que media unidad del orden de dicha cifra, esto es $$0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005$$ y es evidente que ésto no se cumple, luego la cifra de las centésimas ( el '1' ) no es correcta.

Veamos ahora si es correcta la cifra de las décimas ( el '6' ). Si lo es, debe cumplirse $$0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05$$ y es claro que sí se cumple, luego la cifra de las décimas es correcta. Por consiguiente, también es correcta la cifra de las unidades. Así que la aproximación $\bar{x}=1,61$ tiene dos cifras correctas ( la de las unidades y la de las décimas ), y una cifra dudosa, que corresponde a la de las centésimas.

b)
Si aproximamos por redondeo simétrico, $\bar{x}=1,62$, pues $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398\ldots$. El error absoluto es, ahora, $$E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62\right|\approx 0,002$$ y, por tanto, $$0,002 {<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005$$, luego la cifra de las centésimas ( el '2' ) es correcta, luego las cifra de las décimas y la de las unidades también son correctas. Así, pues, la aproximación por redondeo simétrico $\bar{x}=1,62$ tiene todas sus cifras correctas.
$\square$