a) El error absoluto cometido en esta aproximación. ¿ Cuántas cifras significativas correctas hay en dicha aproximación ?
b) Si en lugar de considerar la aproximación anterior, aproximáramos por redondeo simétrico hasta las centésimas el número \Phi, ¿ qué número resultaría ? ¿ Cuál sería ahora el error absoluto ? ¿ Cuántas cifras significativas correctas habría en dicha aproximación ?
SOLUCIÓN.
a)
La cantidad exacta es, aquí, x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; y la aproximada, \bar{x}=1,61. Entonces, el error absoluto es
E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,61\right|\approx 0,008
Veamos si la cifra de las centésimas es correcta; para ello deberá cumplirse que el error absoluto sea menor que media unidad del orden de dicha cifra, esto es 0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005
y es evidente que ésto no se cumple, luego la cifra de las centésimas ( el '1' ) no es correcta.
Veamos ahora si es correcta la cifra de las décimas ( el '6' ). Si lo es, debe cumplirse 0,008 \overset{\text{?}}{<}\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-1}=0,05
y es claro que sí se cumple, luego la cifra de las décimas es correcta. Por consiguiente, también es correcta la cifra de las unidades. Así que la aproximación \bar{x}=1,61 tiene dos cifras correctas ( la de las unidades y la de las décimas ), y una cifra dudosa, que corresponde a la de las centésimas.
b)
Si aproximamos por redondeo simétrico, \bar{x}=1,62, pues x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398\ldots. El error absoluto es, ahora, E\overset{\text{def}}{=}\left|x-\bar{x} \right|=\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1,62\right|\approx 0,002
y, por tanto, 0,002 {<} \dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}=0,005
, luego la cifra de las centésimas ( el '2' ) es correcta, luego las cifra de las décimas y la de las unidades también son correctas. Así, pues, la aproximación por redondeo simétrico \bar{x}=1,62 tiene todas sus cifras correctas.
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