Ejercicios diversos de cálculo con: radicales, y notación científica

ENUNCIADO. Realizar los cálculos necesarios para dar respuesta a las siguientes cuestiones:
a) La masa de la Tierra es $5,9722 \times 10^{24} \,\text{kg}$ y la de la Luna, $7,349 \times 10^{22}\,\text{kg}$. ¿ Cuántas veces es mayor la masa de la Tierra que la de la Luna ?.
b) El radio de la Tierra es $6371\,\text{km}$ y el de la Luna, $1737 \, \text{km}$. ¿ Cuántas veces es mayor el volumen de la Tierra que el de la Luna ?
c) Determínese una expresión equivalente a $\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ que no tenga radicales en el denominador
d) Determínese una expresión equivalente a $\dfrac{4}{\sqrt[5]{2^3}}$ que no tenga radicales en el denominador
e) Constrúyase el triángulo de Tartaglia hasta la séptima fila

SOLUCIÓN.
a) El número de veces que la masa de la Tierra es mayor que la de la Luna es igual a $$\dfrac{5,9722 \times 10^{24}}{7,349 \times 10^{22}} \approx 81$$

b) El número de veces que el volumen de la Tierra es mayor que el de la Luna es igual al cociente de los respectivos volúmenes, $$\dfrac{\frac{4}{3}\,\pi\,(6371)^3}{\frac{4}{3}\,\pi\,(1737)^3}=\left( \dfrac{6371}{1737} \right)^3 \approx 49$$

c)
$\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}=$

  $=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1}=-(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

d) $\dfrac{4}{\sqrt[5]{2^3}}=\dfrac{4}{\sqrt[5]{2^3}}\cdot \dfrac{\sqrt[5]{2^{5-3}}}{\sqrt[5]{2^{5-3}}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^{3}}\cdot \sqrt[5]{2^{2}}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^{2}\cdot 2^3}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[5]{2^5}}=\dfrac{4\,\sqrt[5]{4}}{2}=2\,\sqrt[5]{4}$

$\square$