Demostrar que $\sqrt{2}$ no es un número racional

ENUNCIADO. Demostrar que $\sqrt{2}$ no es un número racional

SOLUCIÓN. Vamos a utilizar el método de demostración por contradicción. Supongamos lo contrario de lo queremos demostrar: $\sqrt{2}$ sí es un número racional. Entonces existen $m,n \in \mathbb{N}$ tales que $\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$ siendo $\text{mcd}(m,n)=1$ ( la fracción es irreducible ). De ahí se deduce que, elevando al cuadrado los dos miembros, $2\,n^2=m^2 \quad \quad (1)$, lo cual significa que $m^2$ es múltiplo de $2$, así que $m$ también debe ser un múltiplo de $2$, por lo tanto existe $p \in \mathbb{N}$ tal que $m=2\,p \quad \quad (2)$.

Sustituyendo $m$ de (2) en (1) llegamos a $$2\,n^2=(2p)^2$$ esto es $$2\,n^2=4p^2$$ y por tanto $$n^2=2\,p^2$$ pero ésto quiere decir que $n^2$ es múltiplo de $2$ y, por consiguiente, también $n$ ha de ser múltiplo de $2$. Llegados a este punto, recopilemos lo que hemos encontrado: $n$ y $m$ son múltiplos de $2$, de lo cual deducimos que $\text{mcd}(n,m)\neq 1$. Pero ésto contradice la suposición inicial, así que debemos negarla, quedando de esta forma demostrada la afirmación del enunciado. $\square$