Recuentos combinatorios empleando el método constructivo

ENUNCIADO. Se consideran las cifras $\{0,2,3,5,7\}$. Calcular el número de números enteros positivos, menores que $7777$, que se pueden formar respetando, además, las condiciones que se indican para cada uno de los siguientes casos:
a) que sean pares y menores que $5000$
b) que sean pares y menores que $3000$
c) que sean pares, menores que $5000$ y mayores o iguales que $3000$

SOLUCIÓN. Emplearemos el método constructivo en todos y cada uno de los apartados.
a)
Podemos elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2,3\}$, teniendo por tanto $3$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$, luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=150$ números que reúnen las condiciones pedidas en el primer apartado.

b)
Debemos ahora elegir la cifra de la unidades de millar entre el conjunto $\{0,2\}$, teniendo por tanto $2$ posibilidades de elección para esta cifra. La cifra de las centenas y la de las decenas podemos elegirlas entre todas las cifras del conjunto $\{0,2,3,5,7\}$ ( igual que en el primer apartado ), luego hay $5$ posibilidades de elección para cada una; finalmente, y también como en el primer apartado, la cifra de las unidades sólo puede elegirse entre $\{0,2\}$ pues los números a construir han de ser pares. Así pues, por el principio multiplicativo del recuento, hay un total de $2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2=100$ números que reúnen las condiciones pedidas en el segundo apartado.

c)
Restando los resultados de los dos apartados anteriores, vemos que hay $150-100=50$ números que cumplen la condición del tercer apartado.
$\square$