Algunos ejercicios de cálculo

ENUNCIADO. Calcúlese la fracción resultante irreducible:
a) $\displaystyle \dfrac{\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}}{\binom{5}{4}}$
b) $\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{2}{5}-1\right)^3$
c) $(1,\overset{\frown }{12}+2,\overset{\frown}{1})\cdot 0,5-0,5\overset{\frown}{2}$
d) $\displaystyle \binom{6}{4} \div 4!$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \dfrac{\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}}{\binom{5}{4}} = \dfrac{\frac{3!}{0!(3-0)!}+\frac{3!}{1!(3-1)!}+\frac{3!}{2!(3-2)!}+\frac{3!}{3!(3-3)!}}{\frac{5!}{4!(5-4)!}}=\dfrac{1+3+3+1}{5}=\dfrac{8}{5}$

Nota: También podemos escribir directamente el valor del numerador, que es $2^3=8$. Esto es así por una de las propiedades de los números combinatorios que hemos visto en clase, que es la siguiente: $$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\ldots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}=2^n$$

b)
$\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{2}{5}-1\right)^3=$
  $=\dfrac{2}{3}\div \left(-\dfrac{3}{5}\right)^3$
    $=\dfrac{2}{3}\div \left( -\left(\dfrac{3}{5}\right)^3\right)$
      $=-\dfrac{2}{3}\div \left(\dfrac{3}{5}\right)^3$
        $=-\dfrac{2}{3}\div \dfrac{3^3}{5^3}$
          $=-\dfrac{2}{3}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{3^3}{5^3}\right)$
            $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5^3}{3^3}$
              $=-\dfrac{2\cdot 5^3}{3\cdot 3^3}$
                $=-\dfrac{250}{81}$

c)
$(1,\overset{\frown }{12}+2,\overset{\frown}{1})\cdot 0,5-0,5\overset{\frown}{2}=$
  $= (\dfrac{112-1}{99}+\dfrac{21-2}{9})\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{52-5}{90}$
    $= (\dfrac{37}{33}+\dfrac{19}{9})\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{47}{90}$
      $= \dfrac{320}{99}\cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{47}{90}$
        $= \dfrac{160}{99}-\dfrac{47}{90}$
          $= \dfrac{361}{330}$

d)
$\displaystyle \binom{6}{4} \div 4!=$
  $=\displaystyle \dfrac{\binom{6}{4}}{4!}$
    $=\displaystyle \dfrac{\frac{6!}{4!\cdot (6-4)!}}{4!}$
      $=\displaystyle \dfrac{15}{24}$
        $=\displaystyle \dfrac{5}{8}$

$\square$