El Problema del la Semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Tienes que elegir una de las siguientes opciones y realizar los dos ejercicios de que consta. Solamente puedes enviar el trabajo realizado en la opción que hayas elegido.


OPCIÓN 1.
Ejercicio número 200 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{5}{2}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{5}{2}$

  $2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot\dfrac{5}{2}$

    $2\,(\sqrt{x+1})^2+2\,(\sqrt{x-2})^2=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

      $2\,(x+1)+2\,(x-2)=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

        $4x-2=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

          $2\,(2x-1)=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

            $\left(2\,(2x-1)\right)^2=\left(5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\right)^2$

              $4\,(4x^2-4x+1)=25\,(x-2)(x+1)$

                $16\,x^2-16\,x+4=25\,(x^2-x-2)$

                  $16\,x^2-16\,x+4=25\,x^2-25\,x-50$

                    $9\,x^2-9\,x-54=0$

                      $x^2-x-6=0$

                        $x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{1\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$

Estos valores son solución de la ecuación polinómica de segundo grando en la que se ha transformado la ecuación original; ahora bien, no necesariamente todos son tamibén solución de la ecuación original, así que hay que comprobar dichos valores. Puede comprobarse que $3$ satisface la ecuación orignal, y por tanto es solución de la misma, sin embargo $-2$ no, pues al sustituir nos encontramos con raíces cuadradas de números negativos, que no están definidas en el conjunto de los números reales. En conclusión: el único valor que forma parte de la solución de la ecuación original es $3$.
$\square$

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Ejercicio número 199 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una población de peces se reproduce según la fórmula $N(t)=40\cdot 3^t$, donde $N(t)$ es el númer de peces y $t$ el tiempo ( en años ). ¿ Cuántos años deben transcurrir para que haya más de $500\,000$ peces ?.
SOLUCIÓN.
Para que haya $500\,000$ peces tiene que cumplirse que $500\,000=40\cdot 3^t$, esto es $12\,500=3^t \Rightarrow \ln\,12\,500=\ln\,3^t \Rightarrow 12\,500 = t\,\ln\,3 \Rightarrow t =$
  $=\dfrac{12\,500}{\ln\,3}\approx 8,59 \,\text{años} \approx 8 \,\text{años y}\, 216\,\text{días}$

$\square$



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OPCIÓN 2.
Ejercicio número 201 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$5\,\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}=6$$
AYUDA: Haz el cambio de variable $z\overset{.}{=}\sqrt[3]{x}$ para transformar la ecuación de partida en una ecuación más sencilla en $z$, y, finalmente, deshaz dicho cambio para encontrar los valores de $x$ a partir de los valores de $z$

SOLUCIÓN.
$5\,\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}=6$

  $5\,x^{1/3}-x^{2/3}=6$

    $5\,x^{1/3}-(x^{1/3})^2=6$, y haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^{1/3}$, la ecuación se transforma en esta otra:

      $5\,t-t^2=6$

        $t^2-5\,t+6=0 \Rightarrow t=\left\{\begin{matrix}2 \Rightarrow x^{1/3}=2 \Rightarrow x=2^3=8\\ \\ 3 \Rightarrow x^{1/3}=3 \Rightarrow x=3^3=27\end{matrix}\right.$


$\square$

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Ejercicio número 205 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La diagonal de un rectángulo mide $10$ centímetros. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden $3$ centímetros y $4$ centímetros, respectivamente.
SOLUCIÓN.
La diagonal del rectángulo semejante al primero mide ( teorema de Pitágoras ): $\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{cm}$, luego la razón de semejanza con el rectángulo original es $$\dfrac{10}{5}=2=\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{3}=2 \Rightarrow x=6\,\text{cm} \\ \\ \dfrac{y}{4}=2 \Rightarrow y=8\,\text{cm}\end{matrix}\right.$$

$\square$



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Tarea de progresión número 2 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Ejercicio número 145 de la página 82 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dos grifos, abiertos a la vez, llenan un depósito en $6$ horas. El segundo darda $5$ horas más que el primero, estando éste cerrado. Calcula el tiempo que tardan en llenar el depósito por separado.



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Ejercicio número 150 de la página 82 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$\log\,\sqrt[4]{x^3}-\log\,\sqrt{10}=\dfrac{1}{4}$$


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Ejercicio número 158 de la página 82 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$\dfrac{x-3}{1-x^2}-\dfrac{x+2}{1+x}=\dfrac{1}{1-x}$$


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Ejercicio número 159 de la página 82 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$\dfrac{x^2+4x+4}{x^2+2x+1}=\dfrac{4x+5}{4x}$$


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Ejercicio número 168 de la página 82 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}=3^{x}+3^{x-1}+3^{x-2}$$


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Ejercicio número 169 de la página 82 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$\log\,\sqrt{7x+3}+\log\,\sqrt{4x+5}=\dfrac{1}{2}+\log\,3$$


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Ejercicio número 187 de la página 82 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Se mezcla leche de tipo A, con un $4\,\%$ de materia grasa, con otra leche de tipo B, con un $8\,\%$ de materia grasa. Si se obtienen $40$ litros con un $6\,\%$ de materia grasa, ¿ cuántos litros de cada tipo se han utilizado ?.



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Ejercicio número 189 de la página 83 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dos autobuses de línea salen a la misma hora de dos ciudades, A y B, separados por $400$ kilómetros. Los dos autobuses salen por la misma carretra, en sentidos opuestos. Si el autobús que sale de A lleva una velocidad de $90$ kilómetros por hora y el que sale de $B$ lleva una velocidad de $110$ kilómetros por hora, ¿ cuánto tiempo tardarán en encontrarse ?.



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Ejercicio número 191 de la página 83 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dos desagües abiertos a la vez vacían un depósito en $15$ horas. Si se abre solo uno de ellos, tardaría en vaciar el depósito $16$ horas meos que el otro. Calcula el tiempo que tardan en vaciar el depósito los dos desagües por separado.



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SOLUCIONES. ( Lista de reproducción de vídeos )

Tarea de progresión número 1 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Ejercicio número 1 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{x-2}{12}-\dfrac{x+1}{4}=x-\dfrac{11}{4}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x-2}{12}-\dfrac{x+1}{4}=x-\dfrac{11}{4}$

  $12\cdot \dfrac{x-2}{12}-12\cdot \dfrac{x+1}{4}=12\,x-12\cdot \dfrac{11}{4}$

    $x-2-3\cdot (x+1)=12\,x-3\cdot 11$

      $x-2-3\,x-3=12\,x-33$

        $x-3\,x-12\,x=-33+2+3$

          $-14\,x=-28$

            $x=\dfrac{-28}{-14}=2$
$\square$

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Ejercicio número 3 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{x+1}{4}-2\,\left(x-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{3x-1}{5}+\dfrac{x}{2}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x+1}{4}-2\,\left(x-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{3x-1}{5}+\dfrac{x}{2}$

  $\dfrac{x+1}{4}-\dfrac{2}{5}\,\left(5x-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{3x-1}{5}+\dfrac{x}{2}$

    $20\cdot \dfrac{x+1}{4}-20\cdot\dfrac{2}{5}\,\left(5x-20\cdot\dfrac{6}{5}\right)=20\cdot\dfrac{3x-1}{5}+20\cdot\dfrac{x}{2}$

      $5\,(x+1)-8\,(5x-6)=4\,(3x-1)+10\,x$

        $5\,x+5-40\,x+48=12\,x-4+10\,x$

          $5\,x-40\,x-12\,x-10\,x=-4-48-5$

            $-57\,x=-57$

              $x=1$

$\square$

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Ejercicio número 13 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla la descomposición factorial de:
a) $2x^2-5x-3$
b) $x^2-4x+4$
c) $3x^2-x-2$
d) $5x^2-3x$

SOLUCIÓN.
a)
Raíces del polinomio $2x^2-5x-3$: $2x^2-5x-3\overset{\text{condición}}{=}0$
  $x=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 2 \cdot (-3)}}{2\cdot 2}=\dfrac{5\pm \sqrt{49}}{4}=\dfrac{5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}3\\ -\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$
Y por el teorema del factor: $2x^2-5x-3=2\,(x-3)\left( x- (-1/2)\right)=2\,(x-3)\left( x+\dfrac{1}{2}\right)=(x-3)( 2\,x+1 )$


b)
Raíces del polinomio $x^2-4x+4$: $x^2-4x+4\overset{\text{condición}}{=}0$
  $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm \sqrt{0}}{2}=2$ ( con multiplicidad $2$ )
Y por el teorema del factor: $x^2-4x+4=(x-2)^2$


c)
Raíces del polinomio $3x^2-x-2$: $3x^2-x-2\overset{\text{condición}}{=}0$
  $x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 3 \cdot (-2)}}{2\cdot 3}=\dfrac{1\pm \sqrt{25}}{6}=\dfrac{1\pm 5}{6}=\left\{\begin{matrix}1\\ -\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$
Y por el teorema del factor: $3x^2-x-2=3\,\left( x- (-2/3)\right)\left( x- 1\right)=(3x+2)(x-1)$


d)    $5x^2-3x=x\,(5\,x-3)$
$\square$


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Ejercicio número 14 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$x^4-25x^2+144=0$$
SOLUCIÓN.
Haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^2$, la ecuación pedida se escribe de la forma $t^2-25t+144=0$, que es una e. cuadrática, y por tanto sabemos resolverla. Entonces, $$t=\dfrac{-(-25)\pm \sqrt{(-25)^2-4\cdot 1\cdot 144}}{2\cdot 1}=\dfrac{25\pm 7}{2}=\left\{\begin{matrix}16 \Rightarrow x=\sqrt{16}=\pm 4 \\ 9\Rightarrow x=\sqrt{9}=\pm 3 \end{matrix}\right.$$ Así pues la solución de la ecuación ( bicuadrada ) consta de los siguientes valores $$\{-4,-3,3,4\}$$
$\square$


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Ejercicio número 22 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{1}{2}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{1}{2}$

  $2(x-1)(x+2)\cdot \dfrac{1}{x-1}-2(x-1)(x+2)\cdot \dfrac{2}{x+2}=2(x-1)(x+2)\cdot \dfrac{1}{2}$

    $2(x+2)-4(x-1)=(x-1)(x+2)$

      $2x+4-4x+4= x^2+x-2$

        $x^2+3x-10=0 \Rightarrow x= \dfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 25 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2x-3}{x^2-1}=\dfrac{7}{3}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2x-3}{x^2-1}=\dfrac{7}{3}$

  $3\cdot (x-1)(x+1)\cdot \dfrac{2}{x-1}+3(x-1)(x+1)\cdot \dfrac{2x-3}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{7}{3}\cdot 3 (x-1)(x+1)$

    $6(x+1)+3(2x-3)=7\,(x-1)(x+1)$

      $3x+3+6x-9=7\,x^2-7$

        $7\,x^2-12\,x-4=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(12)\pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 7\cdot (-4)}}{2\cdot 7}=\left\{\begin{matrix}2\\-2/7\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 29 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\sqrt{x-1}-x+7=0$$
SOLUCIÓN.
$\sqrt{x-1}-x+7=0$

  $\sqrt{x-1}=x-7$

    $\left(\sqrt{x-1}\right)^2=(x-7)^2$

      $x-1=x^2-14x+49$

        $x^2-15x+50=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(15)\pm \sqrt{(-15)^2-4\cdot 1\cdot 50}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 32 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+4}=7$$
SOLUCIÓN.
$\sqrt{x-1}-x+7=0$

  $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+4}=7$

    $\left(\sqrt{2x+1}\right)^2=\left(7-\sqrt{3x+4}\right)^2$

      $2x+1=49-14\,\sqrt{3x+4}+3x+4$

        $-(x+52)=14\,\sqrt{3x+4}$

          $\left(-(x+52)\right)^2=14^2\,\left(\sqrt{3x+4}\right)^2$

            $x^2+104\,x+2\,704=14^2\,(3x+4)^2$

              $x^2+104\,x+2\,704=588+784$

        $x^2-484\,x+1920=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(-484)\pm \sqrt{(-484)^2-4\cdot 1\cdot 1920}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}4\\480\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 40 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=117$$
SOLUCIÓN.
$3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=117$

  $3^{x}+3^{x}\cdot 3+3^{x}\cdot 3^2=117$

    $(1+3+3^2)\cdot 3^{x}=117$

      $13\cdot 3^{x}=117$

        $3^{x}=\dfrac{117}{13}$

          $3^{x}=9$

            $3^{x}=3^2 \Rightarrow x=2$

$\square$

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Ejercicio número 42 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$4^{x}=6^{1-x}$$ SOLUCIÓN.
$4^{x}=6^{1-x}$

  $\ln\,4^x=\ln\,6^{1-x}$

    $x\,\ln\,4=(1-x)\,\ln\,6$

      $x\,\ln\,4=\ln\,6-x\,\ln\,6$

        $x\,\ln\,4+x\,\ln\,6=\ln\,6$

          $x\,(\ln\,4+\ln\,6)=\ln\,6$

            $x=\dfrac{\ln\,6}{\ln\,4+\ln\,6}$

              $x=\dfrac{\ln\,6}{\ln\,(4\cdot 6)}$

                $x=\dfrac{\ln\,6}{\ln\,24}$


$\square$


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Ejercicio número 47 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$2\,\log\,x-\log\,(x+24)=2$$
SOLUCIÓN.
$2\,\log\,x-\log\,(x+24)=2$

  $\log\,x^2-\log\,(x+24)=\log\,100$

    $\log\,\left( \dfrac{x^2}{x+24}\right)=\log\,100$

      $\dfrac{x^2}{x+24}=100$

        $x^2=100\,x+2400$

          $x^2-100\,x-2400=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(-100)\pm \sqrt{(-100)^2-4\cdot 1\cdot (-2400)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-20\\120\end{matrix}\right.$


$\square$

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Ejercicio número 48 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$2\,\ln\,x-\ln\,5x=\ln\,2$$
SOLUCIÓN.
$2\,\ln\,x-\ln\,5x=\ln\,2$

  $\ln\,x^2-\ln\,5x=\ln\,2$

    $\ln\,\dfrac{x^2}{5\,x}=\ln\,2$

      $\dfrac{x^2}{5x}=2$

        $x^2=2\cdot 5x$

          $x^2=10\,x$

            $x^2-10\,x=0$

              $x\,(x-10)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ x-10=0 \Rightarrow x=10\end{matrix}\right.$


$\square$

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ESO4B ( e. académicas ) - Puntualizaciones a los contenidos de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre ( Unidad Didáctica 4 - Ecuaciones )

Logaritmos

Voy a exponer primero una idea clave para entender la razón de ser de los logaritmos a partir de una situación sencilla. Supongamos la sucesión $\{1,2,4,8,16,32,64,\ldots,\}$ que puede escribirse también como la sucesión de las potencias de base $2$ cuyos exponentes son los números naturales consecutivos $\{2^0,2^1,2^2,2^3, 2^4, 2^5, 2^6, \ldots \}$.

Realizar la multiplicación de dos términos de esta sucesión reviste poco esfuerzo si dichos números pequeños, como por ejemplo $8\cdot 4=32$; y lo mismo podemos decir si dividimos dos de estos términos, quizás cueste un poco más, pero no mucho más ( por ejemplo, $8\div 4=2$ ). Ahora bien, si los números ya son un poco más grandes, estas operaciones empiezan a ser costosas.

No obstante, démonos cuenta de que la suma de los exponentes de los factores expresados en forma de potencia da el exponente del resultado de la multiplicación, esto es, en los ejemplos expuestos: $8\cdot 4 = 2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2}=2^5=32$. Y algo parecido sucede con la división ( cociente ): la resta de exponentes de los términos de la división expresados en forma de potencia proporciona el exponente del resultado del cociente: $8\div 4 = 2^3 \div 2^2 = 2^{3-2}=2^1=2$. Esto nos lleva a la idea de compilar una tabla de potencias de base $2$ con sus exponentes que muestre también el resultado de las mismsmas para así evitar las operaciones directas de multiplicación y división. Así, identificando los exponentes, y con la consulta de dichas tablas, podemos "convertir" una multiplicación en una suma, y una división en una resta ( de exponentes ). Pues bien, ésta es precisamente la idea clave a la que me refería. A los exponentes les llamaremos logaritmos ( que abreviaremos con la notación $\log$; en el caso expuesto, hablaremos de logaritmos en base 2.

Convenimos pues en escribir $\log_{2}\,4=\log_{2}\,2^{2}=2$ - resultado al que denominaremos valor del logaritmo - y tal cosa es así porqué el argumento de esta operación logarítmica, $4$ en este caso, es igual a la base del logaritmo ( que es $2$ ) elevada al resultado del mismo ( que en este ejemplo es tambíen $2$ ).

Esto es generalizable a cualquier número real positivo que tomemos como base y a cualquier número real positivo que tomemos como argumento de la operación logaritmo: $$\log_{b}\,a=\ell \Leftrightarrow b^{\ell}=a$$ con lo cual podremos hablar de logaritmos en base arbitraria ( siempre que dicha base sea un positivo ).

John Napier introdujo, en esencia, esta idea en el siglo XVII y compiló las correspondientes tablas para poder dar utilidad práctica al uso de los logaritmos. El descubrimiento de esta técnica de cálculo supuso un gran avance práctico y teórico pues los navagantes, en sus travesías oceánicas, pudieron realizar de una manera viable los cálculos de trigonometría esférica necesarios oara que, a partir de los datos de la altura de al menos dos astros (estrellas reconocibles, los planetas observables, el Sol y la Luna), puediesen determinar calcular a continuación las coordenadas geográficas de la posición de la nave en el momento en el que se midieron las alturas de los astros.

Los contables también se beneficiaron de esta facilidad para realizar sus balances y cálculos financieros ( modelo de interés compuesto ). La base de los logaritos neperanos ( se notan con $\ln\,\equiv \log_e$ ) es el número irracional $=2,718\,281\,828\,\ldots$, que aparece en el estudio histórico del problema del interés compuesto al hacer tender a infinito la frecuencia anual a la que se hacen efectivos los intereses, además de encontrarlo tambíen en muchas situaciones y problemas de distinta índole.

Henry Briggs también elaboró tablas de cálculo, pero escogiendo como base logarítmica el número $10$. Los logaritmos de Neper ( $\log_e\,(.) \equiv \ln\,(.)$ ) y de Brigg ( $\log_{10}\,(.) \equiv \log\,(.)$ ) constituyen las llamadas bases estándar, y aparecen implementados hoy en día ( mediante cálculo de series ) en las calculadoras científicas, y, por supuesto, también en los libros de tablas logarítmicas que se usaban antes de la aparición de las calculadoras y de las computadoras. Además de dichos libros de tablas, se usaron dispositivos mecánicos como las llamadas reglas de cálculo, muy populares en los años cincuenta, sesenta y setenta del siglo pasado.

Las siguientes propiedades se deducen fácilmente de la definición de logaritmo arriba explicada ( propiedad fundamental ):
P1.     $\log_{b}\,a^m = m\,\log_{b}\,a$
P2.     $\log_{b}\,(c\cdot d) = \log_{b}\,c+\log_{b}\,d$
P3.     $\log_{b}\,\dfrac{c}{d} = \log_{b}\,c-\log_{b}\,d$

Ejemplos:
(1)   $\log_{10}\,1000=\log_{10}\,10^3\overset{\text{P1}}{=}3\,\log_{10}\,10=3\cdot 1 = 3$ (2)   $\log_{0,1}\,0,0001=\log_{0,1}\,0,1^{4}\overset{\text{P1}}{=}4\,\log_{0,1}\,10=4\cdot 1 = 4$ (3)   $\log_{3}\,(9\cdot 81)=\log_{3}\,(3^2\cdot 3^4)\overset{\text{P2}}{=}\log_{3}\,3^2+\log_3\, 3^4\overset{\text{P1}}{=}$
    $=2\,\log_3\,3+4\,\log_3\,3=2\cdot 1+ 4\cdot 1= 2+4=6$
(4)   $\log_{5}\,\dfrac{125}{25}=\log_{5}\,\dfrac{5^3}{5^2}\overset{\text{P3}}{=}\log_{5}\,5^3-\log_5\, 5^2\overset{\text{P1}}{=}$
    $=3\,\log_5\,5-2\,\log_5\,5=3\cdot 1- 2\cdot 1= 3-2=1$

Los logaritmos tienen una gran aplicación en física y electrónica. Así por ejemplo, en en acústica, el decibelio es la medida utilizada para expresar el nivel de potencia o el nivel de intensidad del sonido, y se define como el logaritmos del cociente de intesindad de señales saliente y entrante, ya que la percepción del oído humano ( y de otros animales ) presenta una sensibilidad no lineal que se aproxima bastante bien de forma logarítmica.

También encontramos los logaritmos en la escala de medida del grado de acidez/basicidad de una disolución, mediante el pH de la misma, que se define como $pH=-\log\,([H^+])$, donde el argumento representa la concentración molar de protones presentes en la disolución ( una disolución neutra tiene asociado un $pH=7$ ). $\square$

Grupo B ( e. académicas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre

Tienes que elegir únicament una de las siguientes opciones:
OPCIÓN 1: Ejercicios 90, 91 y 95 de la página 64 del libro de texto base

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ENUNCIADO.
Ejercicio 90: Las semidiagonales de un rombo miden $x+2$ y $x-2$, respectivamente. Halla su área en función de $x$.
SOLUCIÓN.
El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus dos diagonales, así pues podemos escribir el siguiente polinomio en $x$: $A(x)=\dfrac{1}{2}\,\left( 2\,(x+2)\right)\left( 2\, ( x-2) \right)=2\,(x+2)(x-2)$ ( expresada en unidades de longitud al cuadrado ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 91: Escribe el polinomio que proporciona el área de un triángulo equilatero en función del lado $x$.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de uno de sus lados ( tomado como base ) por la altura correspondiente. Los tres lados de un triángulo equilátero son todos iguales. Tomando cualquiera de los tres ( de longitud $x$ ), calculamos su altura, $a$, utilizando el teorema de Pitágoras aplicado a uno de los dos triángulos rectángulos iguales en que la altura trazada desde el vértice opuesto a la base divide al mismo: $a=\sqrt{x^2-(x/2)^2}=\sqrt{x^2-\dfrac{1}{4}\,x^2}=\dfrac{\sqrt{3\,x^2}}{\sqrt{4}}=\dfrac{x\,\sqrt{3}}{2}$. Así pues, el área en función de la longitud del lado del triángulo rectángulo viene dada por el polinomio $A(x)=\dfrac{x\cdot x\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,x^2$ ( expresada en unidades de longitud al cuadrado ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 95. Se divide un alambre de $100\,\text{m}$ de longitud en dos trozos, y se forman un triángulo equilátero cuyo lado es $\dfrac{x}{3}$ y un cuadrado cuyo lado es $\dfrac{100-x}{4}$. Escribe el polinomio que expresa la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función de $x$.
SOLUCIÓN.
Observemos que, efectivamente, la suma de los tres trozos (iguales) que corresponden a los lados del triángulo equilátero con la de los cuatro trozos ( iguales ) que forman los lados del cuadrado es igual a la longitud total del alambre: $3\cdot \dfrac{x}{3}+4\cdot \dfrac{100-x}{4}=x+(100-x)=100\,\text{m}$. En el ejercicio número 91 hemos visto que el área de un triángulo equilátero de lado $\ell$ es igual a $\dfrac{\sqrt{3}\,\ell^2}{4}$; como, en este caso, $\ell:=\dfrac{x}{3}$, el área del triángulo que nos ocupa es por tanto igual a $\dfrac{\sqrt{3}\,(x/3)^2}{4}=\dfrac{\sqrt{3}\,x^2}{3^{2}\cdot 4}=\dfrac{\sqrt{3}\,x^2}{36}$. Por otra parte, el área de un cuadrado de lado $\dfrac{100-x}{4}$ es igual a $\left( \dfrac{100-x}{4} \right)^2 = \dfrac{1}{16}\,(100-x)^2$. Por consiguiente, el polinomio en $x$ que proporciona la suma del área del triángulo equilátero y la del cuadrado puede escribirse así: $A(x)=\dfrac{\sqrt{3}\,x^2}{36} + \dfrac{1}{16}\,(100-x)^2$, que, desarrolando el binomio al cuadrado y sumando términos semejantes, también puede expresarse de la forma $A(x)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{36}+\dfrac{1}{16}\right)\,x^2-\dfrac{25}{2}\,x+625$ (expresada en unidades de longitud al cuadrado). $\square$


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OPCIÓN 2: Ejercicios 92, 93 y 104 de la página 64 del libro de texto base

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ENUNCIADO.
Ejercicio 92 (ligeramente modificado): En una cartulina cuadrada de $60\,\text{cm}$ de lado se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas, para construir una caja sin tapa. Escribe el polinomio que proporciona la capacidad de dicha caja.

SOLUCIÓN.
El volumen de dicha caja ( cerrada ) es igual al área de la base (cuadrada), $(60-2x)^2$, multiplicada por la longitud de la arista $x$, luego $V(x)=(60-2\,x)^2\,x=4\,x^3-240\,x^2+3\,600\,x$ ( expresado en centímetros cúbicos ), por lo que la capacidad de dicha caja es igual a $C(x)= 4\,x^3-240\,x^2+3\,600\,x$ ( expresada ésta en mililitros ), ya que $1\,\text{cm}^3$ ( de volumen ) equivale a $1\,\text{mL}$ ( de capacidad ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 93 (ligeramente modificado): Con una cartulina rectangular cuyos lados desiguales son $x$ y $2x$ se construe un cilindro sin tapas. Escribe el polinomio que proporciona el área lateral del cilindro en función de $x$ y el polinomio que proporciona el volumen de dicho cilindro (si se le añadiesen las tapas).

SOLUCIÓN.
El área de la superficie lateral del cilindro es igual al área del rectángulo que hemos recortado para curvarla y darle la forma del cilindro, luego el polinomio área lateral puede escribirse así: $A_{\text{lateral}}(x) = 2x\cdot x= 2\,x^2$ ( expresada en unidades de longitud al cuadrado ). Por otra parte, de añadirle unas tapas al cilindro que hemos construido, tendría un volumen que es igual a una tercera parte del producto del área de la base ( que es un círculo de radio $\dfrac{1}{2}\,(2x)=x$ ) por la altura ( que es $x$ ). Así pues, el polinomio volumen se escribe como: $V(x)=\dfrac{1}{3}\,(\pi\,x^2)\,x = \dfrac{\pi}{3}\,x^3$ ( expresado en unidades de longitud al cubo ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 104 (ligeramente modificado). Simplifica la siguiente operación con fracciones algebraicas: $$\dfrac{x}{x-y} - \dfrac{x}{x+y} - \dfrac{2y^2}{x^2-y^2}$$

SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{x-y} - \dfrac{x}{x+y} - \dfrac{2y^2}{x^2-y^2}$

  $=\dfrac{x}{x-y} - \dfrac{x}{x+y} - \dfrac{2y^2}{(x-y)(x+y)}$

    $=\dfrac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{2y^2}{(x-y)(x+y)}$ (reduciendo a común denominador )

      $=\dfrac{x(x+y)-x((x-y)-2y^2}{(x-y)(x+y)}$

        $=\dfrac{x^2+xy-x^2+xy-2y^2}{(x-y)(x+y)}$

          $=\dfrac{2xy-2y^2}{(x-y)(x+y)}$

            $=\dfrac{2y\,(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

              $=\dfrac{2y}{x+y}$
$\square$

Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 2 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 20 de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Descompón en factores el numerador y el denominador, y simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) $\dfrac{x^2-x}{3x-3}$

b) $\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$


SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{x^2-x}{3x-3}=\dfrac{x\,(x-1)}{3\,(x-1}=\dfrac{x}{3}$

b)
$\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\dfrac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x-2}{x+2}$


$\square$
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Ejercicio número 22, aparatados a y b, de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula:
a) $\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{2}{x-3}$

b) $\dfrac{8}{x^2+2x}-\dfrac{4x}{2x+4}$


SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{2\,(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\dfrac{2\,(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{2\,(x-3)+2\,(x+3)}{(x-3)(x+3)}=$

  $=\dfrac{4x}{x^2-9}$

b)
$\dfrac{8}{x^2+2x}-\dfrac{4x}{2x+4}=\dfrac{8}{x\,(x+2)}-\dfrac{4x}{2\,(x+2)}=\dfrac{8\cdot 2}{2\,x\,(x+2)}-\dfrac{4x\cdot x}{2\,x\,(x+2)}=$

  $=\dfrac{16-4\,x^2}{2\,x\,(x+2)}=-\dfrac{4\,(x^2-4)}{2\,x\,(x+2)}=-\dfrac{4}{2}\,\dfrac{x^2-4}{x\,(x+2)}=-2\,\dfrac{x^2-4}{x\,(x+2)}$


$\square$
-oOo-
Ejercicio número 24, apartados b y c, de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula:
b) $\dfrac{x^2-x}{x-3}\div\dfrac{4x-4}{x^2-9}$

c) $\dfrac{x+1}{x-2}\div \dfrac{x^2-1}{x^2+x-6}$


SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{x^2-x}{x-3}\div\dfrac{4x-4}{x^2-9}$

  $=\dfrac{x\,(x-1)}{x-3}\div\dfrac{4\,(x-1)}{(x-3)(x+3)}$

    $=\dfrac{x\,(x-1)}{x-3}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{4\,(x-1)}{(x-3)(x+3)}\right)$

      $=\dfrac{x\,(x-1)}{x-3}\cdot \dfrac{(x-3)(x+3)}{4\,(x-1)}$

        $=\dfrac{x\,(x-1)(x-3)(x+3)}{4\,(x-1)(x-3)}$

          $=\dfrac{x\,(x+3)}{4}$


b)
$\dfrac{x+1}{x-2}\div \dfrac{x^2-1}{x^2+x-6}$

  $=\dfrac{x+1}{x-2}\div \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+3)}$, puesto que $x^2+x-6$ tiene $2$ y $-3$ por raíces, luego $x^2+x-6=(x-2)(x-(-3))$. Entonces, la expresión con fracciones es igual a:

    $=\dfrac{x+1}{x-2}\cdot \text{inverso}\left(\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+3)}\right)$

      $=\dfrac{x+1}{x-2}\cdot \dfrac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+1)}$

        $=\dfrac{(x+1)(x-2)(x+3)}{(x-2)(x-1)(x+1)}$

          $=\dfrac{x+3}{x-1}$


$\square$
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Ejercicio número 25, apartado b, de la página 57 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Opera y simplifica:
b) $\left(x+\dfrac{x}{1-x}\right)\div \left(x-\dfrac{x}{1-x}\right)$


SOLUCIÓN.
$\left(x+\dfrac{x}{1-x}\right)\div \left(x-\dfrac{x}{1-x}\right)$

  $=\dfrac{x\,(1-x)+x}{1-x}\div \dfrac{x\,(1-x)-x}{1-x}$

    $=\dfrac{-x\,(x+2)}{1-x}\div \dfrac{-x^2}{1-x}$

      $=\dfrac{-x\,(x+2)}{1-x}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{-x^2}{1-x}\right)$

        $=\dfrac{-x\,(x+2)}{1-x}\cdot \dfrac{ 1-x}{-x^2}$

          $=\dfrac{x\,(x+2)}{1-x}\cdot \dfrac{ 1-x}{x^2}$

            $=\dfrac{x\,(x+2)(1-x)}{x^2\,(1-x)}$

              $=\dfrac{x+2}{x}$


$\square$
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Ejercicio número 51 de la página 62 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla la siguiente potencia de binomio aplicando la fórmula de Newton $$\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^5$$ SOLUCIÓN.
$\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^5=$

  $\dfrac{1}{y^5}\,\left(xy+1\right)^5$, y desarrollando por la fórmula del binomio de Newton el segundo factor:

    $\dfrac{1}{y^5}\,\left( xy^5+5xy^4+10xy^2+5xy+1 \right)$

      $\dfrac{xy^5}{y^5}+\dfrac{5xy^4}{y^5}+\dfrac{10xy^2}{y^5}+\dfrac{5xy}{y^5}+\dfrac{1}{y^5}$

        $x+5\cdot\dfrac{x}{y}+10\cdot\dfrac{x}{y^3}+5\cdot\dfrac{x}{y^4}+\dfrac{1}{y^5}$


$\square$
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Ejercicio número 59 de la página 62 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división $(2x^3-x+k)\div (x-2)$ sea $3$


SOLUCIÓN.
Llamemos $P(x)$ al polinomio dividendo: $P(x)=2x^3-x+k$. Entonces,según el teorema del resto, $P(2)=3$, luego $2\cdot 2^3-2+k=3$, esto es, $14+k=3 \Rightarrow k =-11$


$\square$
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Ejercicio número 79 de la página 63 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Efectúa las siguientes operaciones y simplifica los resultados $$\left( \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x^2-4} \right)\div \left( 4 + \dfrac{12}{x-2}\right)$$

SOLUCIÓN.
$\left( \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{x^2-4} \right)\div \left( 4 + \dfrac{12}{x-2}\right)=$

  $=\left( \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{3}{(x-2)(x+2)} \right)\div \left( 4\cdot (1+\dfrac{3}{x-2})\right)$

    $=\dfrac{2\,(x-2)+3}{(x+2)(x-2)} \div \left( 4\cdot \dfrac{x-2+3}{x-2}\right)$

      $=\dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x-2)} \div \left( 4\cdot \dfrac{x+1}{x-2}\right)$

        $=\dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x-2)} \cdot \text{inverso} \left( 4\cdot \dfrac{x+1}{x-2}\right)$

          $=\dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{4\,(x+1)}$

            $=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{(2\,x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)}$

              $=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2\,x-1}{(x+2)(x+1)}$




$\square$
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Grupo B ( e. académicas ) - Tarea de progresión número 1 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 3 de la página 51 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Desarrolla la potencia del binomio aplicando la fórmula de Newton: $(x+2\,y)^6$


SOLUCIÓN.
$(x+2\,y)^6=\binom{6}{0}\,x^6\,(2y)^0+\binom{6}{1}\,x^5\,(2y)^1+\binom{6}{2}\,x^4\,(2y)^2+\binom{6}{3}\,x^3\,(2y)^3+$ ( continúa en la siguiente línea )

  $+\binom{6}{4}\,x^2\,(2y)^4+\binom{6}{5}\,x^1\,(2y)^5+\binom{6}{6}\,x^0\,(2y)^6=$

    $=x^6+12\,x^5\,y+60\,x^4\,y^2+160\,x^3\,y^3+240\,x^2\,y^4+129\,x\,y^5+64\,y^6$
$\square$


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Ejercicio número 7 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula $P(x)\div Q(x)$, siendo $(x)=4\,x^5-6\,x^4+2\,x^2+8$ y $Q(x)=x^2-2\,x-1$


SOLUCIÓN.

$\square$


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Ejercicio número 10 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
¿ Cuál de estos números, $2$ o $-2$, es raíz del polinomio $P(x)=3\,x^3-6\,x^2+12\,x-24$ ?


SOLUCIÓN.
$P(2)=3\cdot 2^3-6\cdot 2^2+12\cdot 2-24=0$, luego $2$ es una raíz de $P(x)$
$P(-2)=3\cdot (-2)^3-6\cdot (-2)^2+12\cdot (-2)-24 =-96 \neq 0$, luego $-2$ no es una raíz de $P(x)$
$\square$


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Ejercicio número 11 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla, sin hacer la división, el resto de la división del polinomio $P(x)=x^2+2\,x^3-4\,x+5$ entre el polinomio $x+3$


SOLUCIÓN.
Según el teorema del resto, el resto de la división de $P(x)$ entre un polinomio de primer grado mónico $x-k$ es igual a $P(k)$.
Entonces, como $x+3=x-(-3)$, $k=-3$ y por tanto el resto pedido es $P(-3)=(-3)^2+2\cdot (-3)^3-4\cdot (-3)+5=-28$ $\square$


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Ejercicio número 14 de la página 53 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división $(x^4+k\,x^3-k\,x+5)\div (x-2)$ sea $-3$


SOLUCIÓN.
Como, según el teorema del resto, el resto de la división de $P(x)=x^4+k\,x^3-k\,x+5$ entre $x-2$ es igual a $P(2)$, podemos escribir que $P(2)=-3$, y por tanto, $2^4+2^3\,k-2\,k+5=-3$. Resolviendo esta ecuación en $k$, obtenemos: $16+8k-2k+5=-3 \Rightarrow 6\,k=-24 \Rightarrow k=-24/6=-4$
$\square$


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Ejercicio número 17, apartado d, de la página 55 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Factoriza el siguiente polinomio, hallando previamente las raíces del mismo:

d) $P(x)=x^5-4\,x^4+5\,x^3-2\,x^2$

SOLUCIÓN.
La condición necesaria para que encontrar las raíces de $P(x)$ es que el polinomio se anule para dichos valores: $P(x)=0$. Así, $x^5-4\,x^4+5\,x^3-2\,x^2=0$, ecuación que podemos expresar de la forma $x^2\,(x^3-4\,x^2+5\,x-2)= \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^0=0 \Rightarrow x=0 \\ x^3-4\,x^2+5\,x-2 = 0\end{matrix}\right.$, luego una raíz es $r_1=0$ con multiplicidad $m_1=2$; veamos ahora cuáles son las raíces de $Q(x)=x^3-4\,x^2+5\,x-2$, y, para ello impondremos que se anule, $Q(x)=0$, con lo que las posibles raíces enteras del mismo han de ser divisores del término independiente - que es $-2$ -, y que son $\{\pm 1,\pm 2\}$. Al probar cuáles de estos cuatro números anulan el polinomio $Q(x)$, encontramos que $Q(2)=Q(1)=0$, por lo que podemos decir que $1$ es una raíz de $Q(x)$, y por tanto, también lo es de $P(x)$, ya que $P(x)=x^2\,Q(x)$, y lo mismo con $2$, luego podemos afirmar que otras dos raíces de $P(x)$ son $r_2=1$ y $r_3=2$. Examinemos ahora cuáles son sus multiplicidades. Al dividir $Q(x)$ entre $(x-1)$ encontramos que el cociente de dicha división ( el resto es cero, como debe ser, por ser $1$ raíz de $Q(x)$) es el polinomio $x^2-3x+2$, y, al buscar sus raíces, nos encontramos con que $1$ también es raíz de dicho polinomio, por lo que la multiplicidad de $r_2=1$ es $m_2 =2$. Como la suma de las multiplicidades $m_1+m_2=2+2=4$, la multiplicidad de $r_3=2$ ha de ser $m_2=5-4=1$, ya que la suma de las multiplicidades de las raíces halladas, $m_1+m_2+m_3$ ha de ser menor o igual que el grado del polinomio ( que es $5$ ). De todo ello concluimos que $P(x)$ factoriza de la siguiente manera: $$P(x)=x^2\,(x-1)^2\,(x-2)$$ $\square$


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Ejercicio número 18, apartado d, de la página 55 del libro de texto base ( ligeramente modificado )
ENUNCIADO.
Halla el polinomio de grado $4$ que tenga las siguientes raíces:
d) $x_1=0$, $x_2=x_3=2$, $x_4=-3$

SOLUCIÓN.
Como la raíz $2$ aparece por partida doble, su multiplicidad es $2$; por otra parte, las de las otras dos, $0$ y $-3$, son ambas $1$. Al ser la suma de las multiplicidades igual al grado del polinomio que queremos determinar, que es $4$, podemos escribir que, según el teorema del factor: $P(x)=(x-0)\,((x-2)^2\,(x-(-3))$, esto es $$P(x)=x\,(x-2)^2\,(x+3)$$ $\square$


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Ejercicio número 19, apartado d, de la página 55 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla los polinomios máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:
d) $\{P(x)=x^3-4\,x^2+5\,x-2\,,\,Q(x)=x^3-5\,x^2+8\,x-4\}$

SOLUCIÓN.
Factorizando los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ tal como lo hemos hecho en el ejercicio 17, encontramos ( omito los cálculos, que tenéis que hacer vosotras ): $P(x)= (x-1)^2\,(x-2)$ y $Q(x)= (x-2)^2\,(x-1)$. Entonces, según el algoritmo usual para calcular el mínimo común divisor y el algoritmo usual del máximo común divisor ( los mismos que utilizamos con los números enteros ), podemos decir que $\text{m.c.m}(\{P(x),Q(x)\})=(x-1)^2\,(x-2)^2$, y $\text{m.c.d}(\{P(x),Q(x)\})=(x-1)\,(x-2)$.
$\square$

Grupo B ( e. académicas) - Puntualizaciones a los contenidos de la semana del 19 al 25 de octubre ( Unidad Didáctica 3 - Polinomios y fracciones algebraicas )

Lista de reproducción de vídeos:

Tarea de progresión número 2 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio número 91 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una escalera está apoyada sobre la fachada de un edificiio. Si la escalera mide 13 metros de longitud y el pie de la escalera está a 5 metros de la pared, ¿ a qué altura de la pared llega la escalera ?

SOLUCIÓN. La situación del enunciado configura un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide $13\,\text{m}$, y el cateto del extremo de la escalera a la pared mide $5\,\text{m}$. Entonces, la altura, $a$, a la que se encuentra el otro extremo sobre el suelo viene dada por la longitud del segundo cateto. Aplicando el teorema de Pitágoras: $$a=|\sqrt{13^2-5^2}|=|\sqrt{144}|=12\,\text{m}$$ $\square$
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Ejercicio número 92 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una población crece según la función dada por $P(t)=p\,\cdot 1,0025^t$, donde $t$ es el tiempo en años. Si en el año 2010 la población constaba de un millón de habitantes, siendo $p$ la población inicial, ¿ cuántos habitantes tendrá en el año 2060 ( suponiendo que evolucione siguiendo el mismo modelo de crecimiento ) ?

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que $t=2060-2010=50$ años, y $p=10^6$ habitantes, obtenemos: $$P(50)=10^6\,\cdot 1,0025^{50}\overset{\text{(1)}}{\approx} 11\,329\,717\,\text{habitantes}$$ Nota (1): Redondeamos el resultado a la cifra de las unidades
$\square$
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Ejercicio número 96 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. La fórmula del capital final según el modelo de interés compuesto es $C=c\,(1+r)^t$, donde $C$ es el capital final, $c$ el capital inicial, $r$ es la tasa de interés anual ( en tanto por uno ) y $t$ es el tiempo en años. Calcula en cada caso la incógnita que falta:
a) $c=10\,000$ euros, $r=0,05$, $t=6$ años
b) $C=15\,000$ euros, $r=0,03$, $t=8$ años
c) $C=30\,000$ euros, $c=15\,000$ euros, $t=10$ años
d) $C=50\,000$ euros, $c=25\,000$ euros, $r=0,07$

SOLUCIÓN.
a) $C(6)=10\,000\,\left( 1+0,05\right)^6 = 10\,000\cdot 1,05^6 \approx 13\,496$ euros

b) $15\,0000=c\,\left( 1+0,03\right)^8 \Rightarrow c=\dfrac{15\,000}{1,03^8} \approx 11\,841,14$ euros

c) $30\,0000=15\,000\,\left( 1+i\right)^{10} \Rightarrow 1+i=\sqrt[10]{\dfrac{30\,000}{15\,000}}=\sqrt[10]{2}$
  Entonces, $i=\sqrt[10]{2}-1 = 2^{1/10}-1\approx 0,072 = 7,2\,\%$

d) $50\,0000=25\,000\,\left( 1+0,07\right)^t \Rightarrow \dfrac{50\,000}{25\,000}=\left( 1+0,07\right)^t$
con lo cual, $2=\left( 1+0,07\right)^t \Rightarrow \ln\,2=(\ln\,1,07)\,t \Rightarrow t= \dfrac{\ln\,2}{\ln\,1,07}\approx 10,24 \,\text{años} \approx 10\,\text{años y}\, 92\,\text{días}$
$\square$

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Ejercicio número 97 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Las medidas de las tarjetas de crédito están en proporción áurea, es decir, el coente entre la madida del largo y la medida del ancho es el número áureo $\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Si miden $53$ milímetros de ancho, ¿ cuánto miden de largo ?.

SOLUCIÓN. Denotando por $\ell$ la longitud (del largo de la tarjeta) y teniendo en cuenta que la razón de las longitudes de los lados desiguales del rectángulo áureo es igual al número $\Phi$, podemos escribir $\dfrac{\ell}{53}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, de donde despejando $\ell$ llegamos a $$\ell=\dfrac{53\,(1+\sqrt{5})}{3} \approx 86\,\text{mm}$$ $\square$
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Ejercicio número 101 de la página 40 del libro de texto base
ENUNCIADO. Una moto se devalúa un $15\,\%$ cada año. Si nos ha costado $5\,000$ euros, ¿ qué valor tendrá al cabo de $10$ años ?.
SOLUCIÓN.
Llamemos $V(t)$ al valor de la moto al cabo de $t$ años; $t$ al tiempo en años; $d$ a la tasa de devaluación anual (en tanto por unidad), y $V_0$ al valor inicial. Entonces $V(t)=V_{0}\,\left(1-d\right)^{t}$, luego $V(10)=5\,000\cdot \left(1-0,15\right)^{10}=5\,000\cdot 0,85^{10}\approx 984,37$ euros. $\square$

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Ejercicio número 104 de la página 40 del libro de texto base ( enunciado debidamente corregido )
ENUNCIADO. El número de núcleos radioactivos en un cierto instante de tiempo viene dado por la función $N(t)=N_0\,e^{-\lambda\,t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido expresado en años desde que empezó el proceso de desintegración; $\lambda=\dfrac{\ln\,2}{\tau}$ es una constante que donominamos constante de desintegración radioactiva, y $e\approx 2,7183$ es la base de los logaritmos neperianos. El periodo de semidesintegración radioactiva ( tiempo necesario para reducirse el número de núcleos radioactivos inicial a la mitad ) del Carbono-14 es igual a $\tau=5\,730$ años. Si en un principio tenemos $7\cdot 10^{24}$ núcleos radioactivos de Carbono-14, ¿ cuántos tiempo transcurre para que dicha cantidad se reduzca a $6\cdot 10^{24}$ núcleos ?.


SOLUCIÓN. De acuerdo con la definición dada en el enunciado, la constante de desintegración es igual a $\dfrac{\ln\,2}{5\,730}\,\dfrac{1}{\text{años}}$. Entonces, podemos escribir $$6\cdot 10^{24}=7\cdot 10^{24}\cdot e^{-\lambda\,t}$$ de donde $$\ln\,\dfrac{6\cdot 10^{24}}{7\cdot 10^{24}}=-\lambda\,t\cdot\ln\,e$$ y como $\ln\,e=1$, y simplificando, tenemos que $$\ln\,\dfrac{6}{7}=-\lambda\,t$$ luego, despejando $t$, obtenemos $$t= -\dfrac{\ln\,\dfrac{6}{7}}{\lambda} = \dfrac{\ln\,(7/6)}{(\ln\,2)/5730} = \dfrac{5730\cdot \ln\,(7/6)}{\ln\,2} \,\text{años} \approx 1\,274 \,\text{años}$$ $\square$
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Tarea de progresión número 1 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio número 57 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el valor de $x$:
a) $2^5=x$
b) $x^{-1}=2$
c) $2^x=\dfrac{1}{8}$

SOLUCIÓN.
a)
$2^5=32$, luego $x=32$
b)
$x^{-1}=2$   $\dfrac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$
c)
$2^x=\dfrac{1}{8}$
  $2^x=\dfrac{1}{2^3}$
    $2^x=2^{-3} \Rightarrow x=-3$

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Ejercicio número 58 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el valor de $x$:
a) $2^{-3}=x$
b) $x^3=8$
c) $2^x=\dfrac{1}{4}$

SOLUCIÓN.
a)
$2^{-3}=x$
  $x=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$
b)
$x^3=8$
  $x=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$
c)
$2^x=\dfrac{1}{4}$
  $2^x=\dfrac{1}{2^2}$
    $2^x=2^{-2} \Rightarrow x=-2$


$\square$

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Ejercicio número 59 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) $\log_{10}\,1000$
b) $\log_{10}\,1$
c) $\log_{10}\,10^{-6}$
NOTA. Se suele notar $\log\,(.)$ como una abreviación de $\log_{10}\,(.)$
SOLUCIÓN.
a)
$\log_{10}\,1000=\log_{10}\,10^3=3\cdot \log_{10}\,10=3\cdot 1 =3$
b)
$\log_{10}\,1=\log_{10}\,10^0=0\cdot \log_{10}\,10=0\cdot 1 =0$
c)
$\log_{10}\,10^{-6}=-6\cdot \log_{10}\,10=-6\cdot 1=-6$


$\square$

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Ejercicio número 60 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) $\log_{2}\,32$
b) $\log_{2}\,1$
c) $\log_{2}\,\dfrac{1}{8}$

SOLUCIÓN.
a) $\log_{2}\,32=\log_{2}\,2^5=5\cdot \log_{2}\,2=5\cdot 1=5$

b) $\log_{2}\,1=\log_{2}\,2^0=0\cdot \log_{2}\,2=0\cdot 1=0$

c) $\log_{2}\,\dfrac{1}{8}=\log_{2}\,\dfrac{1}{2^3}=\log_{2}\,2^{-3}=-3\cdot \log_{2}\,2=-3\cdot 1=-3$

$\square$

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Ejercicio número 61 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) $\log_{10}\,405,75$
b) $\log_{10}\,1,9$
c) $\log_{10}\,0,0005$

SOLUCIÓN.
a) $\log_{10}\,405,75\approx 2,6083$
b) $\log_{10}\,1,9\approx 0,2788$
a) $\log_{10}\,0,0005\approx -3,3010$

$\square$

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Ejercicio número 62 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) $\ln\,5$
b) $\ln\,25,8$
c) $\ln\,0,034$
NOTA. $\ln\,(.)$ es una abreviación de $\log_{e}\,(.)$

SOLUCIÓN.
a) $\ln\,5 \approx 1,6094$
b) $\ln\,25,8 \approx 3,2504$
c) $\ln\,0,034 \approx -3,3814$

$\square$

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Ejercicio número 66 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe en forma radical las siguientes potencias y halla el resultado sin utilizar la calculadora:
a) $8^{1/3}$
b) $9^{-1/2}$
c) $25^{3/2}$
d) $8^{2/3}$

SOLUCIÓN.
a) $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$
b) $9^{-1/2}\sqrt[3]{8}=\sqrt{9^{-1}}=\sqrt{(3^2)^{-1}}=\sqrt{3^{-2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3^{2}}}=\dfrac{1}{3}$
c) $25^{3/2}=\sqrt[2]{25^3}=\sqrt[2]{(5^2)^3}=\sqrt[2]{(5^3)^2}=5^3=125$
d) $8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3)^2}=\sqrt[3]{(2^2)^3}=2^2=4$


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Ejercicio número 72 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe con un solo radical:
a) $$\sqrt{\sqrt{a}}$$
b) $$\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$$

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SOLUCIÓN.
a) $\sqrt{\sqrt{a}}=\left(\left(a\right)^{1/2}\right)^{1/2}=\left(a\right)^{(1/2)\cdot (1/2)}=a^{1/4}=\sqrt[4]{a}$

b) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=\left(\left(\left(x\right)^{1/2}\right)^{1/2}\right)^{1/2}=x^{(1/2)\cdot (1/2)\cdot (1/2)}=x^{1/8}=\sqrt[8]{x}$


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Ejercicio número 73 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) $$\dfrac{8}{\sqrt{2}}$$
b) $$\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
c) $$\dfrac{6}{\sqrt{3}}$$
d) $$\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{8}{\sqrt{2}}=\dfrac{8}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{2}=4\,\sqrt{2}$

b) $\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{(1+\sqrt{3})\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}$

c) $\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{3}=2\,\sqrt{3}$

d) $\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{(1-\sqrt{5})\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-5}{5}$


$\square$

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Ejercicio número 63 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando las propiedades de los logarimos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos, redondeando el resultado a la cuarta cifra decimal
a) $\log\,3^{15}$
b) $\log\,\sqrt[7]{23}$
c) $\log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})$

SOLUCIÓN.
a) $\log\,3^{15}=15\,\log\,3 \approx 7,1568$

b) $\log\,\sqrt[7]{23}=\log\,23^{1/7}=\dfrac{1}{7}\,\log\,23\approx 0,1945$

c) $\log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})=\log\,0,5^{30}+\log\, 7^{23}=30\,\log\,0,5+23\,\log\,7\approx 10,4064$


$\square$

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Ejercicio número 65 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Sabiendo que $\log\,2\approx 0,3010$, calcula:
a) $\log\,25$
b) $\log\,50$

SOLUCIÓN.
a) $\log\,25=\log\,\dfrac{100}{4}=\log\,100-\log\,4=\log\,10^2-\log\,2^2=$
  $=2\,\log\,10-2\,\log\,2=2\cdot 1-2\log\,2\approx 2\,(1-0,3010)=1,3980$

b) $\log\,50=\log\,\dfrac{100}{2}=\log\,100-\log\,2=\log\,10^2-\log\,2=$
  $=2\,\log\,10-\log\,2=2\cdot 1-\log\,2\approx 2-0,3010=1,6990$

$\square$

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Ejercicio número 78 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) $$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$
b) $$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}}=$

  $=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=$

  $=\dfrac{3+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5+\sqrt{3\cdot 2}=5+\sqrt{6}$

b) $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$

  $=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=$

  $=\dfrac{3-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5-\sqrt{3\cdot 2}=5-\sqrt{6}$


$\square$

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Ejercicio número 79 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
$$\log\,5+\log\,6-\log\,2$$

SOLUCIÓN.
$\log\,5+\log\,6-\log\,2=\log\,\dfrac{5\cdot 6}{2}=\log\,\dfrac{30}{2}=\log\,15$


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Ejercicio número 80 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
$$2\,\log\,7+3\,\log\,5$$

SOLUCIÓN.
$2\,\log\,7+3\,\log\,5=\log\,7^2+\log\,5^3=\log\,(7^2\cdot 5^3)=\log\,(49\cdot 125)=\log\,6\,125$


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El PROBLEMA DE LA SEMANA del 12 al 18 de octubre

ENUNCIADO. Un cierto organismo unicelular se reproduce por bipartición. Cada uno de los individuos se reproduce cada hora. Se pide:

a) ¿ Cuánto tiempo se requiere para cuadruplicar la población inicial ?. Demuestra que este resultado no depende del valor de la población inicial.

b) Partiendo de una población inicial de 2000 individuos, ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 8 billones de individuos?
SOLUCIÓN.
a)
El número de individuos de la población en cada generación $t$ ( $t$ viene expresado en horas ) viene dada por la expresión $P(t)=P_{0}\,\left(1+\tau\right)^{t} \quad \quad (1)$, donde $\tau$ representa la tasa de variación (en tanto por unidad ) de la población entre una generación y otra, y $P_{0}$ representa la población inicial. Como la población se duplica en cada nueva generación dicha tasa de variación es igual $1$ ( en tanto por ciento, el $100\,\%$ ), por lo que (1) puede expresarse de la forma $P(t)=P_{0} \, (1+1)^t = P_0\cdot 2^t$. Así pues, si $P(t):=4\,P_0$ se tiene que $4\,P_0 = P_{0}\cdot 2^t$. Obsérvese ahora que podemos simplificar $P_0$ entre los dos miembros, y, por tanto nos queda que $4=2^t \quad\quad (2)$ - observemos que el resultado de esta ecuación no de penderá del valor de la población inicial $P_0$ -, y, teniendo en cuenta que $4^2$, llegamos a $2^2=2^t$, de lo cual se deduce que el tiempo pedido ( para que la población se cuadruplique ) es $t=2\,\text{horas}$.

b) Teniendo en cuenta ahora que $P(t):=8\cdot 10^{12}\,\text{individuos}$, y $P_0:=2\cdot 10^3\,\text{individuos}$, sustituyendo en (1) estos datos se llega a $8\cdot 10^{12}=2\cdot 10^{3}\cdot 2^t$, esto es $\dfrac{8\cdot 10^{12}}{2\cdot 10^{3}}=2^t$, y, simplificando: $4 \cdot 10^{9}=2^t$. Extrayendo logaritmos en sendos miembros, $\log\,4 \cdot 10^9=t\,\log\,2 \Rightarrow t=\dfrac{\log\,4 \cdot 10^9}{\log\,2}$, y con ayuda de la calculadora se obtiene $t \approx 31,90 \, \text{horas}=1\,\text{día} \,7\,\text{horas y}\,54\,\text{minutos}$. $\square$

Puntualizaciones a los contenidos de la semana del 12 al 18 de octubre ( Unidad Didáctica número 2 )

ESO4 B - Contenidos de la semana del 5 al 11 de octubre

El Problema de la Semana ( semana del 5 al 11 de octubre )

ENUNCIADO. Se realiza la medida de uno de los lados de una tabla de madera con un metro de carpintero, obteniendo como resultado $8,3$ cm. Por otr parte, medimos el diámetro de un cilindro metálico con un pie de rey, obteniendo como resultado $7,230$ cm. Establece una cota razonable del error absoluto en cada una de las dos medidas y, a partir de las mismas así como de los resultados de las medidas, obtén una cota del error relativo de cada una de ellas. Finalmente, a partir de este resultado, calcula cuántas veces es más precisa la medida del diámetro del cilindro metálico que la medida del lado de la tabla de madera.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $\bar{x_1}$ el resultado de la primera medición; por $E_1$, el error absoluto; por $\Delta_1$, una cota razonable del mismo; y por $\varepsilon_1$, la cota de error relativo correspondiente.

Por otra parte designaremos por $\bar{x_2}$ el resultado de la primera medición; por $E_2$, el error absoluto; por $\Delta_2$, una cota razonable del mismo; y por $\varepsilon_2$, la cota de error relativo correspondiente.

Teniendo en cuenta la sensibilidad de los aparatos de medida que se han utilizado, podemos escribir:

$E_1 \le 0,1\,\text{cm}$, luego $\Delta_1:=0,1\,\text{cm}$. Por tanto: $e_1\le \dfrac{\Delta_1}{\bar{x_1}-\Delta_1}$, con lo cual $$\varepsilon_1:=\dfrac{\Delta_1}{\bar{x_1}-\Delta_1}=\dfrac{0,1}{8,3-0,1}\overset{\text{exceso}}{\approx}=0,02$$

$E_2 \le 0,001\,\text{cm}$, luego $\Delta_2:=0,001\,\text{cm}$. Por tanto: $e_2\le \dfrac{\Delta_2}{\bar{x_2}-\Delta_2}$, con lo cual $$\varepsilon_2:=\dfrac{\Delta_2}{\bar{x_2}-\Delta_2}=\dfrac{0,001}{7,230-0,001}\overset{\text{exceso}}{\approx}0,0002$$

Así pues, como $\varepsilon_2 \prec \varepsilon_1$, es más precisa la segunda medición que la primera; y, lo es, $\dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}=\dfrac{0,02}{0,0002}=100$ veces más.
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