OPCIÓN 1.
Ejercicio número 200 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{5}{2}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{5}{2}$
$2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot\dfrac{5}{2}$
$2\,(\sqrt{x+1})^2+2\,(\sqrt{x-2})^2=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$
$2\,(x+1)+2\,(x-2)=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$
$4x-2=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$
$2\,(2x-1)=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$
$\left(2\,(2x-1)\right)^2=\left(5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\right)^2$
$4\,(4x^2-4x+1)=25\,(x-2)(x+1)$
$16\,x^2-16\,x+4=25\,(x^2-x-2)$
$16\,x^2-16\,x+4=25\,x^2-25\,x-50$
$9\,x^2-9\,x-54=0$
$x^2-x-6=0$
$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{1\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$
Estos valores son solución de la ecuación polinómica de segundo grando en la que se ha transformado la ecuación original; ahora bien, no necesariamente todos son tamibén solución de la ecuación original, así que hay que comprobar dichos valores. Puede comprobarse que $3$ satisface la ecuación orignal, y por tanto es solución de la misma, sin embargo $-2$ no, pues al sustituir nos encontramos con raíces cuadradas de números negativos, que no están definidas en el conjunto de los números reales. En conclusión: el único valor que forma parte de la solución de la ecuación original es $3$.
$\square$
Ejercicio número 199 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una población de peces se reproduce según la fórmula $N(t)=40\cdot 3^t$, donde $N(t)$ es el númer de peces y $t$ el tiempo ( en años ). ¿ Cuántos años deben transcurrir para que haya más de $500\,000$ peces ?.
SOLUCIÓN.
Para que haya $500\,000$ peces tiene que cumplirse que $500\,000=40\cdot 3^t$, esto es $12\,500=3^t \Rightarrow \ln\,12\,500=\ln\,3^t \Rightarrow 12\,500 = t\,\ln\,3 \Rightarrow t = $
$=\dfrac{12\,500}{\ln\,3}\approx 8,59 \,\text{años} \approx 8 \,\text{años y}\, 216\,\text{días}$
$\square$
OPCIÓN 2.
Ejercicio número 201 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$5\,\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}=6$$
AYUDA: Haz el cambio de variable $z\overset{.}{=}\sqrt[3]{x}$ para transformar la ecuación de partida en una ecuación más sencilla en $z$, y, finalmente, deshaz dicho cambio para encontrar los valores de $x$ a partir de los valores de $z$
SOLUCIÓN.
$5\,\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}=6$
$5\,x^{1/3}-x^{2/3}=6$
$5\,x^{1/3}-(x^{1/3})^2=6$, y haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^{1/3}$, la ecuación se transforma en esta otra:
$5\,t-t^2=6$
$t^2-5\,t+6=0 \Rightarrow t=\left\{\begin{matrix}2 \Rightarrow x^{1/3}=2 \Rightarrow x=2^3=8\\ \\ 3 \Rightarrow x^{1/3}=3 \Rightarrow x=3^3=27\end{matrix}\right.$
$\square$
Ejercicio número 205 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La diagonal de un rectángulo mide $10$ centímetros. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden $3$ centímetros y $4$ centímetros, respectivamente.
SOLUCIÓN.
La diagonal del rectángulo semejante al primero mide ( teorema de Pitágoras ): $\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{cm}$, luego la razón de semejanza con el rectángulo original es $$\dfrac{10}{5}=2=\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{3}=2 \Rightarrow x=6\,\text{cm} \\ \\ \dfrac{y}{4}=2 \Rightarrow y=8\,\text{cm}\end{matrix}\right.$$
$\square$
