El PROBLEMA DE LA SEMANA del 12 al 18 de octubre

ENUNCIADO. Un cierto organismo unicelular se reproduce por bipartición. Cada uno de los individuos se reproduce cada hora. Se pide:

a) ¿ Cuánto tiempo se requiere para cuadruplicar la población inicial ?. Demuestra que este resultado no depende del valor de la población inicial.

b) Partiendo de una población inicial de 2000 individuos, ¿cuánto tiempo tiene que transcurrir para que tengamos 8 billones de individuos?
SOLUCIÓN.
a)
El número de individuos de la población en cada generación $t$ ( $t$ viene expresado en horas ) viene dada por la expresión $P(t)=P_{0}\,\left(1+\tau\right)^{t} \quad \quad (1)$, donde $\tau$ representa la tasa de variación (en tanto por unidad ) de la población entre una generación y otra, y $P_{0}$ representa la población inicial. Como la población se duplica en cada nueva generación dicha tasa de variación es igual $1$ ( en tanto por ciento, el $100\,\%$ ), por lo que (1) puede expresarse de la forma $P(t)=P_{0} \, (1+1)^t = P_0\cdot 2^t$. Así pues, si $P(t):=4\,P_0$ se tiene que $4\,P_0 = P_{0}\cdot 2^t$. Obsérvese ahora que podemos simplificar $P_0$ entre los dos miembros, y, por tanto nos queda que $4=2^t \quad\quad (2)$ - observemos que el resultado de esta ecuación no de penderá del valor de la población inicial $P_0$ -, y, teniendo en cuenta que $4^2$, llegamos a $2^2=2^t$, de lo cual se deduce que el tiempo pedido ( para que la población se cuadruplique ) es $t=2\,\text{horas}$.

b) Teniendo en cuenta ahora que $P(t):=8\cdot 10^{12}\,\text{individuos}$, y $P_0:=2\cdot 10^3\,\text{individuos}$, sustituyendo en (1) estos datos se llega a $8\cdot 10^{12}=2\cdot 10^{3}\cdot 2^t$, esto es $\dfrac{8\cdot 10^{12}}{2\cdot 10^{3}}=2^t$, y, simplificando: $4 \cdot 10^{9}=2^t$. Extrayendo logaritmos en sendos miembros, $\log\,4 \cdot 10^9=t\,\log\,2 \Rightarrow t=\dfrac{\log\,4 \cdot 10^9}{\log\,2}$, y con ayuda de la calculadora se obtiene $t \approx 31,90 \, \text{horas}=1\,\text{día} \,7\,\text{horas y}\,54\,\text{minutos}$. $\square$