El Problema del la Semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Tienes que elegir una de las siguientes opciones y realizar los dos ejercicios de que consta. Solamente puedes enviar el trabajo realizado en la opción que hayas elegido.


OPCIÓN 1.
Ejercicio número 200 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{5}{2}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{5}{2}$

  $2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}+2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\cdot\dfrac{5}{2}$

    $2\,(\sqrt{x+1})^2+2\,(\sqrt{x-2})^2=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

      $2\,(x+1)+2\,(x-2)=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

        $4x-2=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

          $2\,(2x-1)=5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}$

            $\left(2\,(2x-1)\right)^2=\left(5\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+1}\right)^2$

              $4\,(4x^2-4x+1)=25\,(x-2)(x+1)$

                $16\,x^2-16\,x+4=25\,(x^2-x-2)$

                  $16\,x^2-16\,x+4=25\,x^2-25\,x-50$

                    $9\,x^2-9\,x-54=0$

                      $x^2-x-6=0$

                        $x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2 \cdot 1}=\dfrac{1\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}3 \\ \\ -2\end{matrix}\right.$

Estos valores son solución de la ecuación polinómica de segundo grando en la que se ha transformado la ecuación original; ahora bien, no necesariamente todos son tamibén solución de la ecuación original, así que hay que comprobar dichos valores. Puede comprobarse que $3$ satisface la ecuación orignal, y por tanto es solución de la misma, sin embargo $-2$ no, pues al sustituir nos encontramos con raíces cuadradas de números negativos, que no están definidas en el conjunto de los números reales. En conclusión: el único valor que forma parte de la solución de la ecuación original es $3$.
$\square$

-oOo-
Ejercicio número 199 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una población de peces se reproduce según la fórmula $N(t)=40\cdot 3^t$, donde $N(t)$ es el númer de peces y $t$ el tiempo ( en años ). ¿ Cuántos años deben transcurrir para que haya más de $500\,000$ peces ?.
SOLUCIÓN.
Para que haya $500\,000$ peces tiene que cumplirse que $500\,000=40\cdot 3^t$, esto es $12\,500=3^t \Rightarrow \ln\,12\,500=\ln\,3^t \Rightarrow 12\,500 = t\,\ln\,3 \Rightarrow t = $
  $=\dfrac{12\,500}{\ln\,3}\approx 8,59 \,\text{años} \approx 8 \,\text{años y}\, 216\,\text{días}$

$\square$



-oOo-


OPCIÓN 2.
Ejercicio número 201 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la siguiente ecuación: $$5\,\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}=6$$
AYUDA: Haz el cambio de variable $z\overset{.}{=}\sqrt[3]{x}$ para transformar la ecuación de partida en una ecuación más sencilla en $z$, y, finalmente, deshaz dicho cambio para encontrar los valores de $x$ a partir de los valores de $z$

SOLUCIÓN.
$5\,\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}=6$

  $5\,x^{1/3}-x^{2/3}=6$

    $5\,x^{1/3}-(x^{1/3})^2=6$, y haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^{1/3}$, la ecuación se transforma en esta otra:

      $5\,t-t^2=6$

        $t^2-5\,t+6=0 \Rightarrow t=\left\{\begin{matrix}2 \Rightarrow x^{1/3}=2 \Rightarrow x=2^3=8\\ \\ 3 \Rightarrow x^{1/3}=3 \Rightarrow x=3^3=27\end{matrix}\right.$


$\square$

-oOo-
Ejercicio número 205 de la página 84 del libro de texto base
ENUNCIADO.
La diagonal de un rectángulo mide $10$ centímetros. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden $3$ centímetros y $4$ centímetros, respectivamente.
SOLUCIÓN.
La diagonal del rectángulo semejante al primero mide ( teorema de Pitágoras ): $\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{cm}$, luego la razón de semejanza con el rectángulo original es $$\dfrac{10}{5}=2=\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{3}=2 \Rightarrow x=6\,\text{cm} \\ \\ \dfrac{y}{4}=2 \Rightarrow y=8\,\text{cm}\end{matrix}\right.$$

$\square$



-oOo-