Tarea de progresión número 1 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Ejercicio número 1 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{x-2}{12}-\dfrac{x+1}{4}=x-\dfrac{11}{4}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x-2}{12}-\dfrac{x+1}{4}=x-\dfrac{11}{4}$

  $12\cdot \dfrac{x-2}{12}-12\cdot \dfrac{x+1}{4}=12\,x-12\cdot \dfrac{11}{4}$

    $x-2-3\cdot (x+1)=12\,x-3\cdot 11$

      $x-2-3\,x-3=12\,x-33$

        $x-3\,x-12\,x=-33+2+3$

          $-14\,x=-28$

            $x=\dfrac{-28}{-14}=2$
$\square$

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Ejercicio número 3 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{x+1}{4}-2\,\left(x-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{3x-1}{5}+\dfrac{x}{2}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{x+1}{4}-2\,\left(x-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{3x-1}{5}+\dfrac{x}{2}$

  $\dfrac{x+1}{4}-\dfrac{2}{5}\,\left(5x-\dfrac{6}{5}\right)=\dfrac{3x-1}{5}+\dfrac{x}{2}$

    $20\cdot \dfrac{x+1}{4}-20\cdot\dfrac{2}{5}\,\left(5x-20\cdot\dfrac{6}{5}\right)=20\cdot\dfrac{3x-1}{5}+20\cdot\dfrac{x}{2}$

      $5\,(x+1)-8\,(5x-6)=4\,(3x-1)+10\,x$

        $5\,x+5-40\,x+48=12\,x-4+10\,x$

          $5\,x-40\,x-12\,x-10\,x=-4-48-5$

            $-57\,x=-57$

              $x=1$

$\square$

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Ejercicio número 13 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla la descomposición factorial de:
a) $2x^2-5x-3$
b) $x^2-4x+4$
c) $3x^2-x-2$
d) $5x^2-3x$

SOLUCIÓN.
a)
Raíces del polinomio $2x^2-5x-3$: $2x^2-5x-3\overset{\text{condición}}{=}0$
  $x=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 2 \cdot (-3)}}{2\cdot 2}=\dfrac{5\pm \sqrt{49}}{4}=\dfrac{5\pm 7}{4}=\left\{\begin{matrix}3\\ -\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$
Y por el teorema del factor: $2x^2-5x-3=2\,(x-3)\left( x- (-1/2)\right)=2\,(x-3)\left( x+\dfrac{1}{2}\right)=(x-3)( 2\,x+1 )$


b)
Raíces del polinomio $x^2-4x+4$: $x^2-4x+4\overset{\text{condición}}{=}0$
  $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{4\pm \sqrt{0}}{2}=2$ ( con multiplicidad $2$ )
Y por el teorema del factor: $x^2-4x+4=(x-2)^2$


c)
Raíces del polinomio $3x^2-x-2$: $3x^2-x-2\overset{\text{condición}}{=}0$
  $x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 3 \cdot (-2)}}{2\cdot 3}=\dfrac{1\pm \sqrt{25}}{6}=\dfrac{1\pm 5}{6}=\left\{\begin{matrix}1\\ -\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$
Y por el teorema del factor: $3x^2-x-2=3\,\left( x- (-2/3)\right)\left( x- 1\right)=(3x+2)(x-1)$


d)    $5x^2-3x=x\,(5\,x-3)$
$\square$


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Ejercicio número 14 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$x^4-25x^2+144=0$$
SOLUCIÓN.
Haciendo el cambio de variable $t\overset{.}{=}x^2$, la ecuación pedida se escribe de la forma $t^2-25t+144=0$, que es una e. cuadrática, y por tanto sabemos resolverla. Entonces, $$t=\dfrac{-(-25)\pm \sqrt{(-25)^2-4\cdot 1\cdot 144}}{2\cdot 1}=\dfrac{25\pm 7}{2}=\left\{\begin{matrix}16 \Rightarrow x=\sqrt{16}=\pm 4 \\ 9\Rightarrow x=\sqrt{9}=\pm 3 \end{matrix}\right.$$ Así pues la solución de la ecuación ( bicuadrada ) consta de los siguientes valores $$\{-4,-3,3,4\}$$
$\square$


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Ejercicio número 22 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{1}{2}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{x+2}=\dfrac{1}{2}$

  $2(x-1)(x+2)\cdot \dfrac{1}{x-1}-2(x-1)(x+2)\cdot \dfrac{2}{x+2}=2(x-1)(x+2)\cdot \dfrac{1}{2}$

    $2(x+2)-4(x-1)=(x-1)(x+2)$

      $2x+4-4x+4= x^2+x-2$

        $x^2+3x-10=0 \Rightarrow x= \dfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot (-10)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 25 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2x-3}{x^2-1}=\dfrac{7}{3}$$
SOLUCIÓN.
$\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2x-3}{x^2-1}=\dfrac{7}{3}$

  $3\cdot (x-1)(x+1)\cdot \dfrac{2}{x-1}+3(x-1)(x+1)\cdot \dfrac{2x-3}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{7}{3}\cdot 3 (x-1)(x+1)$

    $6(x+1)+3(2x-3)=7\,(x-1)(x+1)$

      $3x+3+6x-9=7\,x^2-7$

        $7\,x^2-12\,x-4=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(12)\pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot 7\cdot (-4)}}{2\cdot 7}=\left\{\begin{matrix}2\\-2/7\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 29 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\sqrt{x-1}-x+7=0$$
SOLUCIÓN.
$\sqrt{x-1}-x+7=0$

  $\sqrt{x-1}=x-7$

    $\left(\sqrt{x-1}\right)^2=(x-7)^2$

      $x-1=x^2-14x+49$

        $x^2-15x+50=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(15)\pm \sqrt{(-15)^2-4\cdot 1\cdot 50}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 32 de la página 73 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+4}=7$$
SOLUCIÓN.
$\sqrt{x-1}-x+7=0$

  $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+4}=7$

    $\left(\sqrt{2x+1}\right)^2=\left(7-\sqrt{3x+4}\right)^2$

      $2x+1=49-14\,\sqrt{3x+4}+3x+4$

        $-(x+52)=14\,\sqrt{3x+4}$

          $\left(-(x+52)\right)^2=14^2\,\left(\sqrt{3x+4}\right)^2$

            $x^2+104\,x+2\,704=14^2\,(3x+4)^2$

              $x^2+104\,x+2\,704=588+784$

        $x^2-484\,x+1920=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(-484)\pm \sqrt{(-484)^2-4\cdot 1\cdot 1920}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}4\\480\end{matrix}\right.$

$\square$

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Ejercicio número 40 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=117$$
SOLUCIÓN.
$3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2}=117$

  $3^{x}+3^{x}\cdot 3+3^{x}\cdot 3^2=117$

    $(1+3+3^2)\cdot 3^{x}=117$

      $13\cdot 3^{x}=117$

        $3^{x}=\dfrac{117}{13}$

          $3^{x}=9$

            $3^{x}=3^2 \Rightarrow x=2$

$\square$

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Ejercicio número 42 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$4^{x}=6^{1-x}$$ SOLUCIÓN.
$4^{x}=6^{1-x}$

  $\ln\,4^x=\ln\,6^{1-x}$

    $x\,\ln\,4=(1-x)\,\ln\,6$

      $x\,\ln\,4=\ln\,6-x\,\ln\,6$

        $x\,\ln\,4+x\,\ln\,6=\ln\,6$

          $x\,(\ln\,4+\ln\,6)=\ln\,6$

            $x=\dfrac{\ln\,6}{\ln\,4+\ln\,6}$

              $x=\dfrac{\ln\,6}{\ln\,(4\cdot 6)}$

                $x=\dfrac{\ln\,6}{\ln\,24}$


$\square$


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Ejercicio número 47 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$2\,\log\,x-\log\,(x+24)=2$$
SOLUCIÓN.
$2\,\log\,x-\log\,(x+24)=2$

  $\log\,x^2-\log\,(x+24)=\log\,100$

    $\log\,\left( \dfrac{x^2}{x+24}\right)=\log\,100$

      $\dfrac{x^2}{x+24}=100$

        $x^2=100\,x+2400$

          $x^2-100\,x-2400=0 \Rightarrow x= \dfrac{-(-100)\pm \sqrt{(-100)^2-4\cdot 1\cdot (-2400)}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-20\\120\end{matrix}\right.$


$\square$

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Ejercicio número 48 de la página 75 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación:
$$2\,\ln\,x-\ln\,5x=\ln\,2$$
SOLUCIÓN.
$2\,\ln\,x-\ln\,5x=\ln\,2$

  $\ln\,x^2-\ln\,5x=\ln\,2$

    $\ln\,\dfrac{x^2}{5\,x}=\ln\,2$

      $\dfrac{x^2}{5x}=2$

        $x^2=2\cdot 5x$

          $x^2=10\,x$

            $x^2-10\,x=0$

              $x\,(x-10)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ x-10=0 \Rightarrow x=10\end{matrix}\right.$


$\square$

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