ENUNCIADO. Halla el valor de x:
a) 2^5=x
b) x^{-1}=2
c) 2^x=\dfrac{1}{8}
SOLUCIÓN.
a)
2^5=32, luego x=32
b)
x^{-1}=2 \dfrac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}
c)
2^x=\dfrac{1}{8}
2^x=\dfrac{1}{2^3}
2^x=2^{-3} \Rightarrow x=-3
\square
Ejercicio número 58 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el valor de x:
a) 2^{-3}=x
b) x^3=8
c) 2^x=\dfrac{1}{4}
SOLUCIÓN.
a)
2^{-3}=x
x=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}
b)
x^3=8
x=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2
c)
2^x=\dfrac{1}{4}
2^x=\dfrac{1}{2^2}
2^x=2^{-2} \Rightarrow x=-2
\square
Ejercicio número 59 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) \log_{10}\,1000
b) \log_{10}\,1
c) \log_{10}\,10^{-6}
NOTA. Se suele notar \log\,(.) como una abreviación de \log_{10}\,(.)
SOLUCIÓN.
a)
\log_{10}\,1000=\log_{10}\,10^3=3\cdot \log_{10}\,10=3\cdot 1 =3
b)
\log_{10}\,1=\log_{10}\,10^0=0\cdot \log_{10}\,10=0\cdot 1 =0
c)
\log_{10}\,10^{-6}=-6\cdot \log_{10}\,10=-6\cdot 1=-6
\square
Ejercicio número 60 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) \log_{2}\,32
b) \log_{2}\,1
c) \log_{2}\,\dfrac{1}{8}
SOLUCIÓN.
a) \log_{2}\,32=\log_{2}\,2^5=5\cdot \log_{2}\,2=5\cdot 1=5
b) \log_{2}\,1=\log_{2}\,2^0=0\cdot \log_{2}\,2=0\cdot 1=0
c) \log_{2}\,\dfrac{1}{8}=\log_{2}\,\dfrac{1}{2^3}=\log_{2}\,2^{-3}=-3\cdot \log_{2}\,2=-3\cdot 1=-3
\square
Ejercicio número 61 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) \log_{10}\,405,75
b) \log_{10}\,1,9
c) \log_{10}\,0,0005
SOLUCIÓN.
a) \log_{10}\,405,75\approx 2,6083
b) \log_{10}\,1,9\approx 0,2788
a) \log_{10}\,0,0005\approx -3,3010
\square
Ejercicio número 62 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) \ln\,5
b) \ln\,25,8
c) \ln\,0,034
NOTA. \ln\,(.) es una abreviación de \log_{e}\,(.)
SOLUCIÓN.
a) \ln\,5 \approx 1,6094
b) \ln\,25,8 \approx 3,2504
c) \ln\,0,034 \approx -3,3814
\square
Ejercicio número 66 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe en forma radical las siguientes potencias y halla el resultado sin utilizar la calculadora:
a) 8^{1/3}
b) 9^{-1/2}
c) 25^{3/2}
d) 8^{2/3}
SOLUCIÓN.
a) 8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2
b) 9^{-1/2}\sqrt[3]{8}=\sqrt{9^{-1}}=\sqrt{(3^2)^{-1}}=\sqrt{3^{-2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3^{2}}}=\dfrac{1}{3}
c) 25^{3/2}=\sqrt[2]{25^3}=\sqrt[2]{(5^2)^3}=\sqrt[2]{(5^3)^2}=5^3=125
d) 8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3)^2}=\sqrt[3]{(2^2)^3}=2^2=4
\square
Ejercicio número 72 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe con un solo radical:
a) \sqrt{\sqrt{a}}
b) \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}
SOLUCIÓN.
a) \sqrt{\sqrt{a}}=\left(\left(a\right)^{1/2}\right)^{1/2}=\left(a\right)^{(1/2)\cdot (1/2)}=a^{1/4}=\sqrt[4]{a}
b) \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=\left(\left(\left(x\right)^{1/2}\right)^{1/2}\right)^{1/2}=x^{(1/2)\cdot (1/2)\cdot (1/2)}=x^{1/8}=\sqrt[8]{x}
\square
Ejercicio número 73 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) \dfrac{8}{\sqrt{2}}
b) \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
c) \dfrac{6}{\sqrt{3}}
d) \dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}
SOLUCIÓN.
a) \dfrac{8}{\sqrt{2}}=\dfrac{8}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{2}=4\,\sqrt{2}
b) \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{(1+\sqrt{3})\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}
c) \dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{3}=2\,\sqrt{3}
d) \dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{(1-\sqrt{5})\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-5}{5}
\square
Ejercicio número 63 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando las propiedades de los logarimos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos, redondeando el resultado a la cuarta cifra decimal
a) \log\,3^{15}
b) \log\,\sqrt[7]{23}
c) \log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})
SOLUCIÓN.
a) \log\,3^{15}=15\,\log\,3 \approx 7,1568
b) \log\,\sqrt[7]{23}=\log\,23^{1/7}=\dfrac{1}{7}\,\log\,23\approx 0,1945
c) \log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})=\log\,0,5^{30}+\log\, 7^{23}=30\,\log\,0,5+23\,\log\,7\approx 10,4064
\square
Ejercicio número 65 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Sabiendo que \log\,2\approx 0,3010, calcula:
a) \log\,25
b) \log\,50
SOLUCIÓN.
a) \log\,25=\log\,\dfrac{100}{4}=\log\,100-\log\,4=\log\,10^2-\log\,2^2=
=2\,\log\,10-2\,\log\,2=2\cdot 1-2\log\,2\approx 2\,(1-0,3010)=1,3980
b) \log\,50=\log\,\dfrac{100}{2}=\log\,100-\log\,2=\log\,10^2-\log\,2=
=2\,\log\,10-\log\,2=2\cdot 1-\log\,2\approx 2-0,3010=1,6990
\square
Ejercicio número 78 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}
b) \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}
SOLUCIÓN.
a) \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}}=
=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=
=\dfrac{3+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5+\sqrt{3\cdot 2}=5+\sqrt{6}
b) \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}}=
=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=
=\dfrac{3-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5-\sqrt{3\cdot 2}=5-\sqrt{6}
\square
Ejercicio número 79 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
\log\,5+\log\,6-\log\,2
SOLUCIÓN.
\log\,5+\log\,6-\log\,2=\log\,\dfrac{5\cdot 6}{2}=\log\,\dfrac{30}{2}=\log\,15
\square
Ejercicio número 80 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
2\,\log\,7+3\,\log\,5
SOLUCIÓN.
2\,\log\,7+3\,\log\,5=\log\,7^2+\log\,5^3=\log\,(7^2\cdot 5^3)=\log\,(49\cdot 125)=\log\,6\,125
\square
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