Tarea de progresión número 1 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio número 57 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el valor de $x$:
a) $2^5=x$
b) $x^{-1}=2$
c) $2^x=\dfrac{1}{8}$

SOLUCIÓN.
a)
$2^5=32$, luego $x=32$
b)
$x^{-1}=2$   $\dfrac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$
c)
$2^x=\dfrac{1}{8}$
  $2^x=\dfrac{1}{2^3}$
    $2^x=2^{-3} \Rightarrow x=-3$

$\square$

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Ejercicio número 58 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla el valor de $x$:
a) $2^{-3}=x$
b) $x^3=8$
c) $2^x=\dfrac{1}{4}$

SOLUCIÓN.
a)
$2^{-3}=x$
  $x=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$
b)
$x^3=8$
  $x=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$
c)
$2^x=\dfrac{1}{4}$
  $2^x=\dfrac{1}{2^2}$
    $2^x=2^{-2} \Rightarrow x=-2$


$\square$

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Ejercicio número 59 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) $\log_{10}\,1000$
b) $\log_{10}\,1$
c) $\log_{10}\,10^{-6}$
NOTA. Se suele notar $\log\,(.)$ como una abreviación de $\log_{10}\,(.)$
SOLUCIÓN.
a)
$\log_{10}\,1000=\log_{10}\,10^3=3\cdot \log_{10}\,10=3\cdot 1 =3$
b)
$\log_{10}\,1=\log_{10}\,10^0=0\cdot \log_{10}\,10=0\cdot 1 =0$
c)
$\log_{10}\,10^{-6}=-6\cdot \log_{10}\,10=-6\cdot 1=-6$


$\square$

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Ejercicio número 60 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora:
a) $\log_{2}\,32$
b) $\log_{2}\,1$
c) $\log_{2}\,\dfrac{1}{8}$

SOLUCIÓN.
a) $\log_{2}\,32=\log_{2}\,2^5=5\cdot \log_{2}\,2=5\cdot 1=5$

b) $\log_{2}\,1=\log_{2}\,2^0=0\cdot \log_{2}\,2=0\cdot 1=0$

c) $\log_{2}\,\dfrac{1}{8}=\log_{2}\,\dfrac{1}{2^3}=\log_{2}\,2^{-3}=-3\cdot \log_{2}\,2=-3\cdot 1=-3$

$\square$

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Ejercicio número 61 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) $\log_{10}\,405,75$
b) $\log_{10}\,1,9$
c) $\log_{10}\,0,0005$

SOLUCIÓN.
a) $\log_{10}\,405,75\approx 2,6083$
b) $\log_{10}\,1,9\approx 0,2788$
a) $\log_{10}\,0,0005\approx -3,3010$

$\square$

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Ejercicio número 62 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando la calculadora, halla los siguientes logaritmos ( aproximando por redondeo hasta la cuarta cifra decimal):
a) $\ln\,5$
b) $\ln\,25,8$
c) $\ln\,0,034$
NOTA. $\ln\,(.)$ es una abreviación de $\log_{e}\,(.)$

SOLUCIÓN.
a) $\ln\,5 \approx 1,6094$
b) $\ln\,25,8 \approx 3,2504$
c) $\ln\,0,034 \approx -3,3814$

$\square$

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Ejercicio número 66 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe en forma radical las siguientes potencias y halla el resultado sin utilizar la calculadora:
a) $8^{1/3}$
b) $9^{-1/2}$
c) $25^{3/2}$
d) $8^{2/3}$

SOLUCIÓN.
a) $8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$
b) $9^{-1/2}\sqrt[3]{8}=\sqrt{9^{-1}}=\sqrt{(3^2)^{-1}}=\sqrt{3^{-2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3^{2}}}=\dfrac{1}{3}$
c) $25^{3/2}=\sqrt[2]{25^3}=\sqrt[2]{(5^2)^3}=\sqrt[2]{(5^3)^2}=5^3=125$
d) $8^{2/3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{(2^3)^2}=\sqrt[3]{(2^2)^3}=2^2=4$


$\square$

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Ejercicio número 72 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe con un solo radical:
a) $$\sqrt{\sqrt{a}}$$
b) $$\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$$

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SOLUCIÓN.
a) $\sqrt{\sqrt{a}}=\left(\left(a\right)^{1/2}\right)^{1/2}=\left(a\right)^{(1/2)\cdot (1/2)}=a^{1/4}=\sqrt[4]{a}$

b) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=\left(\left(\left(x\right)^{1/2}\right)^{1/2}\right)^{1/2}=x^{(1/2)\cdot (1/2)\cdot (1/2)}=x^{1/8}=\sqrt[8]{x}$


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$\square$
Ejercicio número 73 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) $$\dfrac{8}{\sqrt{2}}$$
b) $$\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$
c) $$\dfrac{6}{\sqrt{3}}$$
d) $$\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{8}{\sqrt{2}}=\dfrac{8}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{8\,\sqrt{2}}{2}=4\,\sqrt{2}$

b) $\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{(1+\sqrt{3})\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}$

c) $\dfrac{6}{\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{6\,\sqrt{3}}{3}=2\,\sqrt{3}$

d) $\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{(1-\sqrt{5})\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}-5}{5}$


$\square$

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Ejercicio número 63 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Utilizando las propiedades de los logarimos y la calculadora, halla los siguientes logaritmos, redondeando el resultado a la cuarta cifra decimal
a) $\log\,3^{15}$
b) $\log\,\sqrt[7]{23}$
c) $\log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})$

SOLUCIÓN.
a) $\log\,3^{15}=15\,\log\,3 \approx 7,1568$

b) $\log\,\sqrt[7]{23}=\log\,23^{1/7}=\dfrac{1}{7}\,\log\,23\approx 0,1945$

c) $\log\,(0,5^{30}\cdot 7^{23})=\log\,0,5^{30}+\log\, 7^{23}=30\,\log\,0,5+23\,\log\,7\approx 10,4064$


$\square$

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Ejercicio número 65 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Sabiendo que $\log\,2\approx 0,3010$, calcula:
a) $\log\,25$
b) $\log\,50$

SOLUCIÓN.
a) $\log\,25=\log\,\dfrac{100}{4}=\log\,100-\log\,4=\log\,10^2-\log\,2^2=$
  $=2\,\log\,10-2\,\log\,2=2\cdot 1-2\log\,2\approx 2\,(1-0,3010)=1,3980$

b) $\log\,50=\log\,\dfrac{100}{2}=\log\,100-\log\,2=\log\,10^2-\log\,2=$
  $=2\,\log\,10-\log\,2=2\cdot 1-\log\,2\approx 2-0,3010=1,6990$

$\square$

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Ejercicio número 78 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Racionaliza las siguientes expresiones radicales:
a) $$\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$
b) $$\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}}=$

  $=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=$

  $=\dfrac{3+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5+2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5+\sqrt{3\cdot 2}=5+\sqrt{6}$

b) $\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$

  $=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2))}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^2)}{3-2}=$

  $=\dfrac{3-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{1}=5-2\,\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5-\sqrt{3\cdot 2}=5-\sqrt{6}$


$\square$

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Ejercicio número 79 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
$$\log\,5+\log\,6-\log\,2$$

SOLUCIÓN.
$\log\,5+\log\,6-\log\,2=\log\,\dfrac{5\cdot 6}{2}=\log\,\dfrac{30}{2}=\log\,15$


$\square$

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Ejercicio número 80 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO. Escribe la expresión en un solo logaritmo:
$$2\,\log\,7+3\,\log\,5$$

SOLUCIÓN.
$2\,\log\,7+3\,\log\,5=\log\,7^2+\log\,5^3=\log\,(7^2\cdot 5^3)=\log\,(49\cdot 125)=\log\,6\,125$


$\square$

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