Grupo B ( e. académicas ) - El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre

Tienes que elegir únicament una de las siguientes opciones:
OPCIÓN 1: Ejercicios 90, 91 y 95 de la página 64 del libro de texto base

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ENUNCIADO.
Ejercicio 90: Las semidiagonales de un rombo miden $x+2$ y $x-2$, respectivamente. Halla su área en función de $x$.
SOLUCIÓN.
El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus dos diagonales, así pues podemos escribir el siguiente polinomio en $x$: $A(x)=\dfrac{1}{2}\,\left( 2\,(x+2)\right)\left( 2\, ( x-2) \right)=2\,(x+2)(x-2)$ ( expresada en unidades de longitud al cuadrado ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 91: Escribe el polinomio que proporciona el área de un triángulo equilatero en función del lado $x$.
SOLUCIÓN.
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de uno de sus lados ( tomado como base ) por la altura correspondiente. Los tres lados de un triángulo equilátero son todos iguales. Tomando cualquiera de los tres ( de longitud $x$ ), calculamos su altura, $a$, utilizando el teorema de Pitágoras aplicado a uno de los dos triángulos rectángulos iguales en que la altura trazada desde el vértice opuesto a la base divide al mismo: $a=\sqrt{x^2-(x/2)^2}=\sqrt{x^2-\dfrac{1}{4}\,x^2}=\dfrac{\sqrt{3\,x^2}}{\sqrt{4}}=\dfrac{x\,\sqrt{3}}{2}$. Así pues, el área en función de la longitud del lado del triángulo rectángulo viene dada por el polinomio $A(x)=\dfrac{x\cdot x\,\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,x^2$ ( expresada en unidades de longitud al cuadrado ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 95. Se divide un alambre de $100\,\text{m}$ de longitud en dos trozos, y se forman un triángulo equilátero cuyo lado es $\dfrac{x}{3}$ y un cuadrado cuyo lado es $\dfrac{100-x}{4}$. Escribe el polinomio que expresa la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función de $x$.
SOLUCIÓN.
Observemos que, efectivamente, la suma de los tres trozos (iguales) que corresponden a los lados del triángulo equilátero con la de los cuatro trozos ( iguales ) que forman los lados del cuadrado es igual a la longitud total del alambre: $3\cdot \dfrac{x}{3}+4\cdot \dfrac{100-x}{4}=x+(100-x)=100\,\text{m}$. En el ejercicio número 91 hemos visto que el área de un triángulo equilátero de lado $\ell$ es igual a $\dfrac{\sqrt{3}\,\ell^2}{4}$; como, en este caso, $\ell:=\dfrac{x}{3}$, el área del triángulo que nos ocupa es por tanto igual a $\dfrac{\sqrt{3}\,(x/3)^2}{4}=\dfrac{\sqrt{3}\,x^2}{3^{2}\cdot 4}=\dfrac{\sqrt{3}\,x^2}{36}$. Por otra parte, el área de un cuadrado de lado $\dfrac{100-x}{4}$ es igual a $\left( \dfrac{100-x}{4} \right)^2 = \dfrac{1}{16}\,(100-x)^2$. Por consiguiente, el polinomio en $x$ que proporciona la suma del área del triángulo equilátero y la del cuadrado puede escribirse así: $A(x)=\dfrac{\sqrt{3}\,x^2}{36} + \dfrac{1}{16}\,(100-x)^2$, que, desarrolando el binomio al cuadrado y sumando términos semejantes, también puede expresarse de la forma $A(x)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{36}+\dfrac{1}{16}\right)\,x^2-\dfrac{25}{2}\,x+625$ (expresada en unidades de longitud al cuadrado). $\square$


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OPCIÓN 2: Ejercicios 92, 93 y 104 de la página 64 del libro de texto base

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ENUNCIADO.
Ejercicio 92 (ligeramente modificado): En una cartulina cuadrada de $60\,\text{cm}$ de lado se recorta un cuadrado de lado $x$ en cada una de sus esquinas, para construir una caja sin tapa. Escribe el polinomio que proporciona la capacidad de dicha caja.

SOLUCIÓN.
El volumen de dicha caja ( cerrada ) es igual al área de la base (cuadrada), $(60-2x)^2$, multiplicada por la longitud de la arista $x$, luego $V(x)=(60-2\,x)^2\,x=4\,x^3-240\,x^2+3\,600\,x$ ( expresado en centímetros cúbicos ), por lo que la capacidad de dicha caja es igual a $C(x)= 4\,x^3-240\,x^2+3\,600\,x$ ( expresada ésta en mililitros ), ya que $1\,\text{cm}^3$ ( de volumen ) equivale a $1\,\text{mL}$ ( de capacidad ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 93 (ligeramente modificado): Con una cartulina rectangular cuyos lados desiguales son $x$ y $2x$ se construe un cilindro sin tapas. Escribe el polinomio que proporciona el área lateral del cilindro en función de $x$ y el polinomio que proporciona el volumen de dicho cilindro (si se le añadiesen las tapas).

SOLUCIÓN.
El área de la superficie lateral del cilindro es igual al área del rectángulo que hemos recortado para curvarla y darle la forma del cilindro, luego el polinomio área lateral puede escribirse así: $A_{\text{lateral}}(x) = 2x\cdot x= 2\,x^2$ ( expresada en unidades de longitud al cuadrado ). Por otra parte, de añadirle unas tapas al cilindro que hemos construido, tendría un volumen que es igual a una tercera parte del producto del área de la base ( que es un círculo de radio $\dfrac{1}{2}\,(2x)=x$ ) por la altura ( que es $x$ ). Así pues, el polinomio volumen se escribe como: $V(x)=\dfrac{1}{3}\,(\pi\,x^2)\,x = \dfrac{\pi}{3}\,x^3$ ( expresado en unidades de longitud al cubo ).$\square$

ENUNCIADO.
Ejercicio 104 (ligeramente modificado). Simplifica la siguiente operación con fracciones algebraicas: $$\dfrac{x}{x-y} - \dfrac{x}{x+y} - \dfrac{2y^2}{x^2-y^2}$$

SOLUCIÓN.
$\dfrac{x}{x-y} - \dfrac{x}{x+y} - \dfrac{2y^2}{x^2-y^2}$

  $=\dfrac{x}{x-y} - \dfrac{x}{x+y} - \dfrac{2y^2}{(x-y)(x+y)}$

    $=\dfrac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{x(x-y)}{(x-y)(x+y)} - \dfrac{2y^2}{(x-y)(x+y)}$ (reduciendo a común denominador )

      $=\dfrac{x(x+y)-x((x-y)-2y^2}{(x-y)(x+y)}$

        $=\dfrac{x^2+xy-x^2+xy-2y^2}{(x-y)(x+y)}$

          $=\dfrac{2xy-2y^2}{(x-y)(x+y)}$

            $=\dfrac{2y\,(x-y)}{(x-y)(x+y)}$

              $=\dfrac{2y}{x+y}$
$\square$